6.3: Gases de electrones degenerados

Considera\(N\) los electrones atrapados en una caja cúbica de dimensión\(a\). Tratemos a los electrones como partículas esencialmente no interactuantes. Según la Sección [snon], la energía total de un sistema que consiste en muchas partículas que no interactúan es simplemente la suma de las energías de una sola partícula de las partículas individuales. Además, los electrones están sujetos al principio de exclusión Pauli (ver Sección [siden]), porque son fermiones indistinguibles. El principio de exclusión establece que no hay dos electrones en nuestro sistema que puedan ocupar el mismo nivel de energía de una sola partícula. Ahora, de la sección anterior, los niveles de energía de una sola partícula para una partícula en una caja se caracterizan por los tres números cuánticos\(l_x\),\(l_y\), y\(l_z\). Así, concluimos que no hay dos electrones en nuestro sistema que puedan tener el mismo conjunto de valores de\(l_x\),\(l_y\), y\(l_z\). Resulta que esto no es del todo cierto, porque los electrones poseen un momento angular intrínseco llamado spin. Los estados de espín de un electrón están gobernados por un número cuántico adicional, que puede tomar uno de dos valores diferentes. (Ver Capítulo [sspin].) De ahí que cuando se toma en cuenta el espín, concluimos que un máximo de dos electrones (con diferentes números cuánticos de espín) pueden ocupar un nivel de energía de una sola partícula correspondiente a un conjunto particular de valores de\(l_x\),\(l_y\), y\(l_z\). Obsérvese, de las Ecuaciones ([e7.38]) y ([e7.39]), que la energía de partícula asociada es proporcional a\(l^{\,2} = l_x^{\,2} + l_y^{\,2}+ l_z^{\,2}\).

Supongamos que nuestros electrones son fríos: es decir, tienen comparativamente poca energía térmica. En este caso, esperaríamos que llenaran los niveles más bajos de energía de partículas individuales disponibles para ellos. Podemos imaginar los niveles de energía de una sola partícula como existentes en una especie de espacio numérico cuántico tridimensional cuyas coordenadas cartesianas son\(l_x\),\(l_y\), y\(l_z\). Así, los niveles de energía se distribuyen uniformemente en este espacio sobre una celosía cúbica. Además, la distancia entre los niveles de energía del vecino más cercano es la unidad. Esto implica que el número de niveles de energía por unidad de volumen también es unidad. Por último, la energía de un nivel de energía dado es proporcional a su distancia,\(l^{\,2} = l_x^{\,2} + l_y^{\,2}+ l_z^{\,2}\), desde el origen.

Porque esperamos que los electrones fríos ocupen los niveles de energía más bajos disponibles para ellos, pero solo dos electrones pueden ocupar un nivel de energía dado, se deduce que si el número de electrones,\(N\), es muy grande entonces los niveles de energía llenos se distribuirán aproximadamente en una esfera centrada en el origen del espacio numérico cuántico. El número de niveles de energía contenidos en una esfera de radio\(l\) es aproximadamente igual al volumen de la esfera—porque el número de niveles de energía por unidad de volumen es unidad. Resulta que esto no es del todo correcto, porque hemos olvidado que los números cuánticos\(l_x\),\(l_y\), y sólo\(l_z\) pueden tomar valores positivos. De ahí que los niveles de energía llenados en realidad solo ocupan un octante de una esfera. El radio\(l_F\) del octante de los niveles de energía llenos en el espacio numérico cuántico se puede calcular equiparando el número de niveles de energía que contiene con el número de electrones,\(N\). Así, podemos escribir\[N = 2\times\frac{1}{8}\times \frac{4\,\pi}{3}\,l_F^{\,3}.\] Aquí, el factor 2 es tomar en cuenta los dos estados de espín de un electrón, y el factor\(1/8\) es tener en cuenta el hecho de que\(l_x\),\(l_y\), y sólo\(l_z\) puede tomar valores positivos. Así,\[l_F = \left(\frac{3\,N}{\pi}\right)^{1/3}.\] según la ecuación ([e7.38]), la energía de los electrones más energéticos —que se conoce como la energía Fermi — viene dada por

\[\label{e7.42} E_F = \frac{l_F^{\,2}\,\pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{2\,m_e\,a^{\,2}}=\frac{\pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}\left(\frac{3\,N}{\pi}\right)^{2/3},\]donde\(m_e\) está la masa de electrones. Esto también se puede escribir como \[\label{e7.43} E_F = \frac{\pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{2\,m_e}\left(\frac{3\,n}{\pi}\right)^{2/3},\]dónde\(n=N/a^{\,3}\) está el número de electrones por unidad de volumen (en el espacio real). Tenga en cuenta que la energía Fermi solo depende de la densidad numérica de los electrones confinados.

La energía media de los electrones viene dada por\[\bar{E} = E_F\left.\int_0^{l_F}l^{\,2}\,4\pi\,l^{\,2}\,dl\right/\frac{4}{3}\,\pi\,l_F^{\,5}= \frac{3}{5}\,E_F,\] porque\(E\propto l^{\,2}\), y los niveles de energía se distribuyen uniformemente en el espacio numérico cuántico dentro de un octante de radio\(l_F\). Ahora bien, según la física clásica, la energía térmica media de los electrones es\((3/2)\,k_B\,T\), dónde\(T\) está la temperatura de los electrones, y\(k_B\) la constante de Boltzmann. Así, si\(k_B\,T\ll E_F\) entonces es válida nuestra suposición original de que los electrones son fríos. Tenga en cuenta que, en este caso, la energía de los electrones es mucho mayor que la predicha por la física clásica; los electrones en este estado se denominan degenerados. Por otro lado, si\(k_B\,T\gg E_F\) entonces los electrones están calientes y están gobernados esencialmente por la física clásica, los electrones en este estado se denominan no degenerados.

La energía total de un gas de electrones degenerados es\[E_{\rm total} = N\,\bar{E} = \frac{3}{5}\,N\,E_F.\] Por lo tanto, la presión del gas toma la forma \[\label{e7.46} P = -\frac{\partial E_{\rm total}}{\partial V} = \frac{2}{5}\,n\,E_F,\]porque\(E_F\propto a^{\,-2}=V^{\,-2/3}\). [Ver Ecuación ([e7.42]).] Ahora bien, la presión predicha por la física clásica es\(P= n\,k_B\,T\). Así, un gas de electrones degenerado tiene una presión mucho mayor que la que sería predicha por la física clásica. Este es un efecto totalmente mecánico cuántico, y se debe a que los fermiones idénticos no pueden acercarse significativamente más que una longitud de onda de Broglie sin violar el principio de exclusión de Pauli. Obsérvese que, según la Ecuación ([e7.43]), el espaciamiento medio entre los electrones degenerados es\[d\sim n^{-1/3}\sim \frac{h}{\sqrt{m_e\,E}}\sim \frac{h}{p}\sim \lambda,\] donde\(\lambda\) está la longitud de onda de Broglie. Así, un gas de electrones no es degenerado cuando el espaciamiento medio entre los electrones es mucho mayor que la longitud de onda de Broglie, y se degenera a medida que el espaciamiento medio se acerca a la longitud de onda de Broglie.

Resulta que los electrones de conducción (es decir, libres) dentro de los metales son altamente degenerados (porque el número de electrones por unidad de volumen es muy grande, y\(E_F\propto n^{\,2/3}\)). De hecho, la mayoría de los metales son difíciles de comprimir como consecuencia directa de la alta presión de degeneración de sus electrones de conducción. Para ser más exactos, la resistencia a la compresión generalmente se mide en términos de una cantidad conocida como el módulo volumétrico, que se define\[B = - V\,\frac{\partial P}{\partial V}\] Ahora, para un número fijo de electrones,\(P\propto V^{\,-5/3}\). [Ver Ecuaciones ([e7.42]) y ([e7.46]).] De ahí,\[B = \frac{5}{3}\,P = \frac{\pi^{\,3}\,\hbar^{\,2}}{9\,m}\left(\frac{3\,n}{\pi}\right)^{5/3}.\] por ejemplo, la densidad numérica de los electrones libres en magnesio es\(n\sim 8.6\times 10^{28}\,{\rm m}^{-3}\). Esto lleva a la siguiente estimación para el módulo volumétrico:\(B\sim 6.4\times 10^{10}\,{\rm N}\,{\rm m}^{-2}\). El módulo aparente real es\(B= 4.5\times 10^{10}\,{\rm N}\,{\rm m}^{-2}\).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)