2.3: Espacios de funciones

Álgebra lineal en dimensiones infinitas

La motivación para nuestra revisión del álgebra lineal fue la observación de que el conjunto de soluciones a la ecuación de Schrödinger satisface algunos de los requisitos básicos de un espacio vectorial, en que las combinaciones lineales de soluciones dan otra solución a la ecuación. Además, la propia ecuación de Schrödinger, como operador diferencial que actúa sobre una función, sugiere que el concepto de un operador de matriz que actúa sobre vectores en un espacio vectorial n-dimensional puede extenderse a operadores más generales, como operadores diferenciales, que actúan sobre funciones en un espacio infinito -dimensional.

Nuestro análisis de los espacios vectoriales lineales comenzó definiendo un producto interno, el cual se utilizó para establecer una base ortonormal para el espacio. Construir una base bien definida para el espacio de todas las funciones en el eje real suena imposible, y probablemente lo es. Afortunadamente, no necesitamos ser tan abarcadoras. Por un lado, no nos interesan las funciones con discontinuidades, porque en la mecánica cuántica eso sería una función de onda correspondiente a la energía infinita. (Podemos permitir discontinuidades en pendiente, aunque, como se discutió en la conferencia Electron in a Box, eso ocurre solo donde el potencial es infinito. Los potenciales infinitos son, por supuesto, poco físicos, pero son aproximaciones convenientes en algunos casos, así que mantendremos esa opción abierta). Otra restricción importante surge del requisito de que la función de onda describa una sola partícula, debe ser normalizable, es decir, la norma

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx <\infty \label{2.3.1}\]

y de hecho\(\psi\) debe ser escalada para que esta integral sea igual a la unidad para el cálculo real de probabilidades. Tenga en cuenta que\(\psi(x)\) significa\(\psi(x,t=0)\), pero la norma resulta ser independiente del tiempo, como debe ser, para el caso de una sola partícula.

A partir de la analogía con los espacios vectoriales n-dimensionales, el requisito de norma finita sugiere una definición para el producto interno en el espacio funcional:\[ \langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^*(x)g(x)dx \label{2.3.2}\]

Esta definición satisface el requisito de Dirac de que\(\langle f|g\rangle^*=\langle g|f\rangle\), da una norma positiva, y es lineal en\(f,\; g\). El espacio de funciones con este producto interior, y con norma finita\(\sqrt{\langle f|f\rangle}\), está escrito\(L_2(-\infty,\infty)\) o simplemente\(L_2\). Se dice que las funciones son “integrables cuadradas”.

Observe que este producto interno se asemeja al producto de bra-ket algebraico lineal si imaginamos cada punto de la línea como un vector de base independiente, matemáticamente sin sentido, por supuesto, pero una pista de hacia dónde vamos.

Electrón en una caja otra vez

Como preliminar para discutir funciones en la línea infinita, vale la pena considerar aquellas restringidas al intervalo finito\((0, L)\) y desapareciendo en los dos extremos. Estas son precisamente las condiciones satisfechas por las funciones de onda de electrones en una caja (ver la conferencia anterior):

\[ |n\rangle=\psi_n(x,t=0)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L} \label{2.3.3}\]

Recuerde de la conferencia de la serie de Fourier que cualquier función sin discontinuidades puede representarse como una suma sobre componentes de Fourier. Para el presente caso de funciones iguales a cero en los dos extremos (como debe ser cualquier función de onda física en una caja) los sine kets\(|n\rangle\) anteriores forman un conjunto completo, es decir, en\(t = 0\), se puede escribir cualquiera que\(\psi(x)\) satisfaga la condición límite:

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle \label{2.3.4}\]

donde, a partir de la ortonormalidad del conjunto de bases\(|n\rangle\), los coeficientes de Fourier\(a_n=\langle n|\psi\rangle\), así (haciendo explícito que de hecho\(\psi(x)\) es un ket en este espacio vectorial)

\[ |\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\psi\rangle \label{2.3.5}\]

dando un operador de identidad en el espacio de funciones continuas que se desvanecen en 0 y\(L\):

\[ I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.6}\]

exactamente análoga a la de los espacios vectoriales de dimensiones finitas. El producto interno de dos funciones

\[ \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle,\; \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n|n\rangle \label{2.3.7}\]

definido como en la sección anterior por

\[ \langle \phi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(x)\psi(x)dx \label{2.3.8}\]

es equivalente, en términos de coeficientes de Fourier,\[ \langle \phi|\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} b_n^*a_n \label{2.3.9}\]

y la normalización\[ \langle \psi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2=1 \label{2.3.10}\]

Entonces, para las funciones de onda de electrones en una caja, la base ortonormal de las funciones sinusoidales proporciona un espacio vectorial infinito-dimensional bien definido.

Anteriormente hemos afirmado que la interpretación estándar de la función de onda es que\(\psi(x)\)\(|\psi(x)|^2 dx\) es la probabilidad de encontrar la partícula en un pequeño intervalo\(dx\) cercano\(x\), y al integrar sobre todo\(x\) la probabilidad total de encontrar la partícula es una. Pero también podríamos buscar la partícula en un estado particular, más que en un intervalo pequeño en particular\(dx\). En este caso,\(|a_n|^2\) es la probabilidad de encontrar la partícula en el\(n^{th}\) estado. Esto es consistente con la interpretación anterior, y es paralelo a nuestro análisis anterior de la probabilidad de que una partícula tenga un impulso particular. El coeficiente de estado\(a_n\) se llama amplitud, o a veces amplitud de probabilidad.

Quizás se esté preguntando cómo mediríamos que una partícula está en un estado particular. La respuesta es esperar a que salte. Si un átomo es excitado (por ejemplo, por una breve ráfaga de radiación) se excitará a un estado que es una superposición lineal de diferentes estados propios de energía\(\sum a_n|E_n\rangle\), en lugar de a un solo estado propio. Por lo general, volverá al estado fundamental emitiendo uno o una serie de fotones, y la frecuencia de un fotón emitido revela la diferencia de energía entre los estados atómicos involucrados. Para una colección de átomos excitados de la misma manera, las intensidades relativas de diferentes líneas espectrales dan las probabilidades relativas de diferentes estados. Por supuesto, un paquete largo de ondas casi monocromáticas de radiación entrante tenderá a poner todos los átomos excitados en el mismo estado.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escriba el operador de identidad para el electrón en una caja\(I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\) usando la forma explícita\(|n\rangle=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}\). Demostrar que esto es equivalente a la función delta cuando se opera en otras funciones dentro de la caja. ¿Cuál es el comportamiento de esta función fuera de la caja?

Funciones en la Línea Infinita

¿Qué pasa si tomamos el análisis de la sección anterior y dejamos\(L\) ir al infinito? Esto es paralelo al análisis (dos conferencias atrás) de pasar de la serie de Fourier a la transformada de Fourier, la suma sobre una serie de ondas planas que satisfacen una condición límite convirtiéndose en una integral sobre el continuo de todas las ondas planas. En esa conferencia, vimos que como\(L\) fue al infinito, la amplitud de los autoestados normalizados\(|n\rangle\) fue a cero como\(1/\sqrt{L}\), y por lo tanto también lo hicieron los coeficientes individuales\(a_n=\langle n|\psi\rangle\). Sin embargo, la densidad de estos autoestados en el espacio de impulso aumentó a medida que\(L\), por lo general los factores de\(L\) cancelado y la suma tendieron a una integral finita, específicamente

\[ \psi(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} a(k)e^{ikx}dk\]

con

\[a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx \label{2.3.11}\]

Para el electrón en una caja (serie de Fourier) anterior escribimos la ecuación correspondiente en notación Dirac como

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle\]

con

\[a_n=\langle n|\psi\rangle, \; so \; I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.12}\]

Es tentador escribir las ecuaciones análogas para el caso de la línea infinita, traduciendo las ecuaciones de la transformada de Fourier a notación Dirac, y escribiendo ciegamente\(e^{ikx}=|k\rangle\):

\[ |\psi(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}a(k)|k\rangle, \; a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx=\langle k|\psi(x)\rangle,\; I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} |k\rangle \langle k| \label{2.3.13}\]

Esto se ve bien, pero tiene un problema, a diferencia de las funciones básicas de la serie de Fourier\(|n\rangle\), estos “estados base” de la transformada de Fourier\(|k\rangle\) son estados de onda de plano infinitamente largo\(e^{ikx}\) y, por lo tanto, no normalizables en el sentido que hemos usado ese término hasta ahora. ¡Ni siquiera están en el espacio en el que se supone que debemos trabajar!

Además, no\(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2\) es la probabilidad de que una medición del momento del electrón produzca precisamente el valor\(p=\hbar k\). La interpretación probabilística correcta para un continuo de k-valores es exactamente paralela al continuo de valores x en el espacio ordinario:\(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2dk\) es la probabilidad de que una medición de impulso encuentre que el valor k esté en un pequeño intervalo de ancho\(dk\) cercano\(k\) . La probabilidad va a cero con el ancho del intervalo, y así es muy pequeña si exigimos un valor exacto de\(k\).

Pero nunca medimos\(k\) con infinita precisión de todos modos, eso requeriría un aparato infinitamente grande. La cantidad físicamente significativa es la probabilidad de encontrar\(k\) en un intervalo pequeño\(dk\) —en la práctica, con detectores reales, siempre estamos integrando sobre algún rango (pequeño) en\(k\).

Esto significa que podríamos estar bien con esta base continua de estados: no queremos que se normalicen de la manera tradicional\(\langle k|k\rangle=1\), porque eso correspondería a una probabilidad finita de que la partícula tenga un valor matemáticamente preciso de\(k\), lo que no tiene sentido físico, de hecho es una tontería . La normalización que necesitamos es una que tenga sentido en el contexto de una integral a lo largo de un pequeño intervalo en\(k\) —pero aún por supuesto sobre una infinidad continua de estados básicos!

A partir de nuestra definición anterior de la función delta, podemos expresar la ortogonalidad de estos\(|k\rangle\) estados:\[ \langle k'|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k-k')x}dx=2\pi\delta(k-k') \label{2.3.14}\]

y, dado que la\(\delta\) función -se normaliza en el sentido de que tiene peso total uno en una integral, tomamos esta ecuación como la definición de la normalización de las funciones\(|k\rangle\). Es decir, tomamos el estado\(|k\rangle\) para tener función de onda\(Ae^{ikx}\) con\(A=1\).

Ahora la función delta solo tiene sentido dentro de una integral, por lo tanto también lo es nuestra normalización, y el formalismo, una base continua de estados de onda plana con ortogonalidad de función delta, aunque tal vez dejando algo que desear desde una estricta perspectiva matemática, resulta ser una consistente y manera confiable de formular la mecánica cuántica.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

De la expresión para el operador de identidad anterior:

\(|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|\psi\rangle\)

sustituir\(|k\rangle=e^{ikx}\) y comprobar que esto tenga sentido.

Nota: algunos autores prefieren definir los estados de onda plana normalizados por\(|k\rangle=\sqrt{1/2\pi}e^{ikx}\), en cuyo caso\(\langle k'|k\rangle=\delta(k'-k)\), y la\(dk/2\pi\) aparición en la integral anterior para el operador de identidad se vuelve simple\(dk\). Con nuestra convención,\(dk\) siempre aparece con una\(2\pi\) en el denominador.

Nota adicional: algunos prefieren ir a una caja enorme, pero no infinita, por lo que las funciones de onda de los propios estados de impulso base son el conjunto discreto\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{L}}e^{ikx}\), o en tres dimensiones\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{V}}e^{i\vec k \cdot \vec x}\),\(V\) siendo el volumen. Para esta enorme caja, es seguro sustituir la suma sobre estados de impulso discretos por una integral, teniendo en cuenta que la densidad de estados en el espacio de fase es proporcional a\(L\) da\(\sum_n \equiv\int L\frac{dk}{2\pi}\) o\(\int V\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\) en tres dimensiones. Los\(V\) factores\(L\) o finalmente cancelan en cálculos, como descubriremos más adelante.

La ecuación de Schrödinger como operador en un espacio vectorial

Como relatamos al inicio de este curso, cuando Schrödinger fue desafiado a encontrar una ecuación de onda para la onda electrónica, construyó una paralela a la “ecuación de onda fotónica” electromagnética, es decir, tomó la ecuación energía-impulso y escribió

\[E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \; p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \label{2.3.15}\]

Descubrió que la versión tridimensional de la ecuación diferencial construida de esta manera podría resolverse mediante métodos analíticos estándar para un electrón en un campo de fuerza de cuadrado inverso: el átomo de hidrógeno. Las soluciones de onda estacionaria arrojaron el conjunto correcto de niveles de energía, los que Bohr había encontrado anteriormente con su modelo simplista. Esto confirmó que efectivamente se había descubierto la ecuación de onda que describía la propagación de las ondas electrónicas, y era

\[ \left( E-\frac{p^2}{2m}-V(x) \right)\psi(x,t)=0 \label{2.3.16}\]

con\(E,\; p\) los operadores diferenciales indicados anteriormente. Dado que el operador entre paréntesis es lineal, las soluciones\(\psi(x,t)\) forman un espacio vectorial lineal.

Operadores Diferenciales: el Operador Momentum\(L_2\)

Nuestra tarea ahora es reformular este viejo enfoque de operadores diferenciales que actúan sobre funciones de onda en el lenguaje Dirac equivalente. Empecemos por lo más simple, el operador de momentum. Primero, tenemos que demostrar que es hermitiano. El truco es integrar por partes:

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \phi^*(x)\frac{d\psi(x)}{dx}=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}-[\phi^*(x)\psi(x)]_{-\infty}^{\infty} \label{2.3.17}\]

El último término, la contribución desde los extremos infinitos de la integración, debe ser cero porque las funciones integrables al cuadrado deben ir a cero en el infinito, por lo que

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx} \label{2.3.18}\]

Ahora\(p_x|\phi\rangle=-i\hbar d\phi/dx=|p_x\phi\rangle\), entonces\(\langle p_x\phi|=i\hbar d\phi^*/dx=\langle \phi|p_x^{\dagger}\), y

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}=\langle \phi|p_x^{\dagger}|\psi\rangle \label{2.3.19}\]

hemos establecido que\(p_x=p_x^{\dagger}\) entre dos estados cualesquiera en el espacio: entonces esta es una identidad de operador, y\(p_x=-i\hbar d/dx\) es hermitiana. (El\(i\) es importante: el operador diferencial\(d/dx\) por sí solo no es hermitiano, ¡es anti hermitiano en\(L_2\)!

Así\(p_x\) es un operador hermitiano, y por lo tanto tiene valores propios reales, que debe tener ya que el impulso es una cantidad física. Pero, ¿cuáles son sus vectores propios? Ya sabemos, por supuesto, que son los estados de onda plana; esta es la razón por la que este operador en particular fue elegido para construir la ecuación de onda en primer lugar. Estrictamente hablando, sin embargo, como ya hemos comentado, estos estados de onda plana no están en\(L_2\). Sin embargo, cualquier función suave en\(L_2\) puede expresarse como una integral sobre estos estados, por lo que forman una base completa para las funciones relevantes para la física.

(Es cierto que más adelante, en la teoría de la dispersión y en algunos otros lugares, podemos hablar de ondas planas sin hacer siempre una integral: tal charla suelta debe entenderse como una referencia a un paquete de ondas muy largo pero finito, bien aproximado por una onda plana durante el evento de dispersión).

El operador de posición y sus estados propios

La “posición” es solo la coordenada\(x\), manifiestamente siempre real, y un operador hermitiano.

Prueba:

\[ \langle \varphi|x|\psi\rangle=\int \varphi^*(x)x\psi(x)dx=(\int \psi^*(x)x\varphi(x)dx)^*=\langle \psi|x|\varphi\rangle^*\]

Dejaremos claro que en este contexto lo vemos\(x\) como un operador escribiéndolo con un sombrerita,\(\hat{x}\). Es igualmente claro que los estados propios de\(\hat{x}\), estados en los que la partícula tiene probabilidad igual a uno de estar en una posición particular, deben ser funciones delta correspondientes a esa posición: esa es la única función con probabilidad cero de encontrar la partícula en cualquier otro lugar. Entonces, si\(|a\rangle\) es un estado propio de\(x\) con valor propio\(a\),\[ |a\rangle=C\delta(x-a) \label{2.3.20}\]

donde\(C\) es una constante. Pero, sea cual sea el valor que escojamos\(C\), esta función de onda, como el estado propio de impulso, no es normalizable, ¡así que, de hecho, en\(|a\rangle\) sí misma nunca podría ser la función de onda de una partícula!

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Toma tu definición favorita de la función delta, y prueba que no es normalizable, como se define en\(L_2\).

Solución

(De todos modos, no sería físicamente razonable, localizar una partícula a un punto requeriría energía infinita). Pero el conjunto de todos\(|a\rangle\) es ciertamente completo, y ahí radica su valor: es una base para el espacio. La convención es “normalizar” estos kets, o más bien construir un “conjunto ortonormal”, por analogía con la convención de ortonormalización para los estados de impulso de onda plana, es decir, tomar

\[ \langle a|b\rangle=\delta(a-b)\]

Del resultado anterior

\[ \int \delta(a-x)\delta(x-b)dx=\delta(a-b) \]

de ello se deduce inmediatamente que\(C=1\).

Por lo tanto,

\[ \langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx'\delta(x-x')\psi(x')=\psi(x) \label{2.3.22}\]

Tomando el producto interior de\(|\psi\rangle\) con el sujetador\(\langle x|\) solo da el valor de\(\psi\) en el punto\(x\). En consecuencia, cualquier función\(\psi(x)\) en\(L_2\) puede ser escrita:

\[ |\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle \label{2.3.23}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Comprueba que la Ecuación\ ref {2.3.23} es verdadera encontrando\(\langle x'|\psi\rangle\).

De la Ecuación\ ref {2.3.23} se deduce que el operador de identidad\(L_2\) puede escribirse en términos de los autoestados de\(\hat{x}\):\[I=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle \langle x| \label{2.3.24}\]

A partir de esto, se\(|k\rangle\) puede escribir\[ |k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dxe^{ikx}|x\rangle \label{2.3.25}\]

y\[ |x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}e^{-ikx}|k\rangle \label{2.3.26}\]

Estas son posiblemente las ecuaciones menos rigurosas en esta sección: estamos expresando un conjunto de estados fuera de\(L_2\) en términos de otro conjunto, ¡usando ambos conjuntos como bases en\(L_2\)! Obviamente, esto solo es significativo con un\(|x\rangle\) estado definido como un límite de ancho cero de gaussianos que se estrechan (digamos) y un\(|k\rangle\) estado como un límite de paquetes de ondas cada vez más largos, tendiendo a un solo valor k. Sin embargo, a pesar de la falta de rigor en la presentación anterior, estos estados, utilizados con cuidado, son de hecho herramientas confiables y eficientes para analizar problemas mecánicos cuánticos. Los usaremos a menudo.

Ejercicio: mostrar que estas ecuaciones son consistentes sustituyendo\(|k\rangle\) del primero al lado derecho del segundo, para dar\(|x\rangle=|x\rangle\).

El operador hamiltoniano

El operador hamiltoniano da el tiempo de desarrollo de la función de onda. Corresponde a la energía total. Si la función de onda corresponde a una energía definida, la dependencia del tiempo puede ser factorizada, y la función de onda espacial es una solución de la ecuación independiente del tiempo de Schrödinger:\[ H\psi(x)=\left( \frac{p^2}{2m}+V(x) \right)\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \label{2.3.27}\]

_{Ya que sólo consideramos el espacio\(L_2\) de las funciones de onda en el que ambos\(p\) y\(x\) son hermitianos,\(H\) debe ser hermitiano, y por lo tanto tiene valores propios reales.}

Las reglas básicas de la mecánica cuántica

Cualquier función de onda mecánica cuántica debe ser normalizable, ya que la norma representa la probabilidad total de encontrar la partícula (o, más generalmente, el sistema) en algún lugar de su espacio de fase, por lo que

Primera Regla Básica: cualquier estado de la partícula es un ket\(|\psi\rangle\), simbolizando una función\(\psi(x)\) en\(L_2\).

Los matemáticos utilizan el término espacio Hilbert para referirse a espacios internos-producto de funciones normalizables de tal manera que cualquier secuencia convergente en el espacio tiene un límite en el espacio (una propiedad que, por ejemplo, los números racionales no tienen, pero los números reales sí). Nuestras funciones anteriores para el electrón en la caja sí forman tal espacio, con las ondas sinusoidales una base ortonormal. Sin embargo, al ir a la línea infinita, aunque todavía tenemos funciones de onda normalizables, las dos bases que hemos discutido anteriormente, las ondas planas (base de impulso) y las funciones delta (base de posición) no están ellas mismas en el espacio, por lo que queremos decir que no se normalizan como se define en \(L_2\).

Pero estas bases son ambas completas, lo que significa que cualquier función de onda puede expresarse en términos de una suma (continua) sobre los elementos de cualquiera de ellas.

La construcción de estas bases completas pero no normalizadas convencionalmente fue obra de Dirac, y es extremadamente conveniente para describir la mecánica cuántica. Pero molestó a los matemáticos. Afortunadamente, posteriormente la justificaron inventando la teoría de las distribuciones, que son funciones generalizadas, e incluyen funciones delta.

En pocas palabras: seguiremos a los otros físicos en el uso del término “espacio Hilbert” de manera más floja que lo hacen los matemáticos, para referirse\(L_2\), extendido para incluir estas bases no normalizables.

Siguiente Regla básica: Una variable física, u observable, corresponde a un operador hermitiano\(A\) que actúa sobre\(L_2\).

Supondremos que los propios mercados de tal variable abarcan el espacio: esto siempre es cierto para un espacio dimensional finito, como se discutió anteriormente, pero no para un operador hermitiano general en un espacio Hilbert, por lo que esta es una suposición no trivial.

Para un operador con un conjunto discreto de valores propios,\(A|n\rangle=\lambda_n|n\rangle\), se puede escribir cualquier función de onda\[ |\psi\rangle=\sum c_n|n\rangle,\; with \; c_n=\langle n|\psi\rangle \label{2.3.28}\]

Regla para Relacionar Operadores con Experimentos: cualquier medición del valor de la variable física\(A\) producirá uno de los valores propios\(\lambda_n\) del operador\(A\), y la probabilidad de encontrar el valor particular \(\lambda_n\)es igual a\(|c_n|^2=|\langle n|\psi\rangle|^2\).

El valor de expectativa de un observable\(A\) es el valor promedio de una serie de mediciones en sistemas cuánticos idénticos,\[ \langle A\rangle=\langle \psi|A|\psi\rangle=\sum |c_n|^2\lambda_n \label{2.3.29}\]

Es importante señalar que dos mediciones del mismo observable\(A\) en un mismo sistema, una medición que se realiza inmediatamente después de la otra, deben dar el mismo resultado. Es decir, si la primera medición lee\(\lambda_n\), la segunda debe ser\(\lambda_n\) con 100% de probabilidad. Pero esto sólo puede suceder si la función de onda después de la primera medición es\(|n\rangle\), que en general no fue antes de la primera medición. La descripción jerga de esto es que el acto de medición “colapsa la función de onda” en uno de los autoestados de la variable que se mide.

Medición de una Variable de Continuum: Para variables como la posición y el momento que tienen conjuntos continuos de vectores propios, la interpretación estadística es en términos de encontrar la partícula dentro de algún rango pequeño, la probabilidad de encontrarla entre\(x\) y\(x+dx\), es\[ \langle\psi|\int_{x}^{x+dx} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{x}^{x+dx} |\psi(x)|^2dx \label{2.3.30}\]

y el valor esperado de\(x\) es\[ \langle \psi|x|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{x}\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x)|^2dx \label{2.3.31}\]

donde hemos puesto un pequeño sombrero en el\(x\) para recordarnos que es un operador, con eigenkets\(|x\rangle\).