8.2: La aproximación de WKB

La aproximación WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) es, en sentido que se aclarará a continuación, un método cuasi-clásico para resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional (y efectivamente unidimensional, como la radial) independiente del tiempo. El paso no trivial en el método son las fórmulas de conexión (ver abajo), ese problema lo resolvió primero Lord Rayleigh (Proc. Roy. Soc. A, 86, 1912, 207) y como señala Jeffries (Mathematical Physics, p 526) “ha sido redescubierto por varios escritores posteriores” presumiblemente refiriéndose a W, K y B. Por cierto, los ingleses la llaman la aproximación Jeffries, o, si se siente suficientemente ecuménica, la aproximación WKBJ. (En esta conferencia, solo consideramos estados encuadernados: la aplicación más famosa de WKB,\(\alpha\) - decaimiento, fue cubierta en detalle en el curso de licenciatura de mecánica cuántica basado en el libro de Griffiths.)

Seguiremos el desarrollo en Landau y Lifshitz, quienes consideran todo esto lo suficientemente obvio como para que no mencionen a ninguna de estas personas. De hecho, lo llaman

La aproximación semiclásica al orden principal

Considera que una partícula se mueve a lo largo de un potencial unidimensional que varía lentamente. Por “variar lentamente” queremos decir aquí que en cualquier región pequeña la función de onda está bien aproximada por una onda plana, y que la longitud de onda solo cambia en distancias largas en comparación con una longitud de onda. También estamos asumiendo por el momento que la partícula tiene energía cinética positiva en la región. Bajo estas condiciones, es fácil ver la forma general de la solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{8.2.1}\]

Muy aproximadamente,\(\psi(x)\) se verá como\(A(x)e^{\pm ip(x)x/\hbar}\) dónde\(p(x)\) está el “impulso local” que definimos clásicamente por

\[ p(x)^2/2m+V(x)=E, \tag{8.2.2}\]

y\(A(x)\) varía lentamente en comparación con el factor de fase.

Claramente se trata de un límite semiclásico:\(\hbar\) tiene que ser lo suficientemente pequeño para que haya muchas oscilaciones en la distancia típica sobre la que varía el potencial.

Para manejar esto un poco más precisamente, enfatizamos la rápida variación de fase en este límite semiclásico escribiendo la función de onda

\[ \psi(x)=e^{(i/\hbar)\sigma(x)} \tag{8.2.3}\]

y escribir la ecuación de Schrödinger para\(\sigma(x)\).

Así que de

\[ i\hbar\psi′(x)=-\sigma′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.4}\]

y

\[ -\hbar^2\psi′′(x)=-i\hbar\sigma′′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}+(\sigma′(x))^2e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.5}\]

La ecuación de Schrödinger escrita para la función de fase es:

\[ -i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2. \tag{8.2.6}\]

Y, como estamos asumiendo que el sistema es cercano al clásico, tiene sentido expandirse\(\sigma\) como una serie en\(\hbar\) (siguiendo a Landau y Lifshitz):

\[ \sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+(\hbar/i)^2\sigma_2+\dots \tag{8.2.7}\]

La aproximación de orden cero es

\[ (\sigma′_0)^2=p^2 \tag{8.2.8}\]

y fijando el signo de\(p\) por

\[ p(x)=+\sqrt{2m(E-V(x))} \tag{8.2.9}\]

concluimos que

\[ \sigma_0=\pm \int p(x)dx. \tag{8.2.10}\]

(Como discutimos en la conferencia sobre integrales de trayectoria, en el límite clásico domina un camino, y la fase de la función de onda es\((i/\hbar )\) veces la acción clásica\(S\) a lo largo de ese camino. En el presente caso,\(S=-Et\pm \int pdx\), ya hemos factorizado el\(Et\) ya que estamos tratando aquí con la función de onda independiente del tiempo.)

Región de Validez de la Aproximación

A partir de la ecuación de Schrödinger\(-i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2\), es evidente que esta solución aproximada sólo es válida si podemos ignorar ese primer término. Es decir, debemos tener\[ |\hbar\sigma′′(x)/(\sigma′(x))^2|\ll 1, \tag{8.2.11}\]

o\[ \left| \frac{d(\hbar/\sigma′)}{dx}\right| \ll 1. \tag{8.2.12}\]

Pero en la aproximación principal\(\sigma′=p\), y\(p=2\pi \hbar/\lambda\), así la condición es\[ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{d\lambda}{dx}\right|  \ll   1. \tag{8.2.13}\]

Esto solo significa que el cambio en la longitud de onda en una distancia de una longitud de onda debe ser pequeño. Obviamente, este no puede ser siempre el caso: si la partícula está confinada por un potencial atractivo, en el borde de la región clásicamente permitida, es decir, donde\(E=V(x)\),\(p\) es cero y la longitud de onda es infinita. La aproximación sólo es buena bien alejada de ese punto, a lo que volveremos en breve.

Junto a Corrección de orden principal

El segundo término en la\(\hbar\) ampliación de la fase,

\[\sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+\dots\]

satisface

\[ -i\hbar\sigma′′_0+2\sigma′_0(\hbar/i)\sigma′_1=0 \tag{8.2.14}\]

por lo\[ \sigma′_1=-\sigma′′_0/2\sigma′_0=-p′/2p, \tag{8.2.15}\]

y\[ \sigma_1=-\frac{1}{2}\ln p. \tag{8.2.16}\]

Entonces la función de onda a este orden es:\[ \psi(x)=\frac{C_1}{\sqrt{p(x)}}e^{(i/\hbar )\int pdx}+\frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}e^{-(i/\hbar )\int pdx}. \tag{8.2.17}\]

(Recordemos fijamos el signo\(p\) de ser positivo.)

Para interpretar el\(\sqrt{p(x)}\) factor, considere el primer término, una onda que se mueve hacia la derecha. Ya que\(p\) es real, lo exponencial tiene unidad de módulo, y la amplitud local cuadrada es proporcional a\(1/p\), es decir\(1/v\), dónde\(v\) está la velocidad de la partícula. Esto es simple de entender físicamente: la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier intervalo pequeño dado es proporcional al tiempo que pasa allí, de ahí inversamente proporcional a su velocidad.

Pasamos ahora a la función de onda en la región clásicamente prohibida,\[ p(x)^2/2m=E-V(x)<0. \tag{8.2.18}\]

Aquí\(p\) es por supuesto imaginario puro, pero funciona la misma solución de fase formal de la ecuación de Schrödinger, de nuevo siempre que la partícula esté muy lejos de los puntos donde\(E=V(x)\).

La función de onda es:

\[ \psi(x)=\frac{C′_1}{\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar ) \int |p|dx}+\frac{C′_2}{\sqrt{|p(x)|}}e^{(1/\hbar )\int |p|dx}. \tag{8.2.19}\]

Fórmulas de conexión, condiciones de contorno y reglas de cuantificación

Supongamos que estamos tratando con un potencial unidimensional, y la región clásicamente permitida lo es\(b\le x\le a\). (Aquí sólo estoy siguiendo la notación de Landau.) Claramente, en la región prohibida a la derecha\(x>a\),, sólo\(\psi(x)\) aparece el primer término en la ecuación anterior para, y\(x<b\) sólo para el segundo término. Además, en la región “interior” (clásicamente permitida)\(b\le x\le a\), la función de onda tiene la forma oscilante discutida anteriormente.

Pero, ¿cómo conectamos las tres regiones juntas? Hacemos una suposición: tomamos que el potencial varía lo suficientemente suavemente que es una buena aproximación para llevarlo a ser lineal en las proximidades de los puntos de inflexión clásicos. Es decir, suponemos que un potencial lineal es una aproximación suficientemente buena al punto en que la descripción de la longitud de onda corta (o longitud de decaimiento para las regiones de tunelización) es adecuada.

Por lo tanto\(x=a\), cerca, tomamos el potencial de ser\[ E-V(x)\cong F_0(x-a) \tag{8.2.20}\]

(así\(F_0\) sería la fuerza) y luego aproximar la función de onda por la solución exacta conocida para un potencial lineal en todas partes: la función Airy.

Se sabe que para la función Airy, la solución que tiene la forma\[ \psi(x)=\frac{C}{2\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar )\int_a^x |p|dx} \tag{8.2.21}\]

a la derecha se convierte\[ \begin{matrix} \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\cos\left( (1/h)\int_a^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \\ =\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_x^a pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \end{matrix} \tag{8.2.22}\]

(La derivación de esta “conexión” se da en mis notas aquí.)

En\(b\), el mismo argumento da\[ \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_b^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) . \tag{8.2.23}\]

Para que estas dos expresiones sean consistentes, debemos tener\[ \frac{1}{\hbar}\int_b^a pdx+\frac{1}{2}\pi =(n+1)\pi ,\; or\; \oint pdx=2\pi \hbar \left( n+\frac{1}{2}\right). \tag{8.2.24}\]

donde esta última integral se encuentra a lo largo de un ciclo completo del movimiento clásico.

Aquí \(n\) es el número de ceros de la función de onda: esta es la condición de cuantificación.

Relacionar el tiempo del circuito clásico con los niveles de energía cuantificados

El tiempo para un circuito clásico completo es

\[T=2\int_b^a dx/v=2m\int_b^a dx/p\]

es el área de la trayectoria clásica en el espacio de fases, por lo que vemos que cada estado tiene un elemento de espacio de fase\(2\pi \hbar\). A partir de esto, podemos averiguar la división energética aproximada entre niveles en el límite cuasi-clásico: el cambio en la integral con energía\(\Delta E\) correspondiente a un nivel debe ser\(2\pi \hbar\). Es decir,\[ \Delta E\oint (\partial p/\partial E)dx=2\pi \hbar . \tag{8.2.25}\]

Ahora\((\partial E/\partial p)=v\), entonces

\[\oint (\partial p/\partial E)dx=\oint dx/v=T.\]

Por lo tanto,\(\Delta E=2\pi \hbar/T=\hbar \omega.\)

Esto es sólo decir que si la partícula emite un fotón y cae al siguiente nivel, la frecuencia del fotón emitido es solo la frecuencia orbital de la partícula, una conclusión muy natural en el límite cuasi-clásico.

El caso radial

En el análisis anterior para una partícula confinada a una dimensión, las fórmulas de conexión se pueden entender con una imagen simple: la función de onda “se derrama” en el régimen prohibido, y su torsión allí cuenta como un extra\(\frac{1}{4}\pi\) de cambio de fase, por lo que en el estado más bajo el cambio de fase total en el región permitida sólo necesita ser\(\frac{1}{2}\pi\). En el caso radial, asumiendo que el potencial se comporta bien en el origen, la función de onda va a cero ahí. Un estado vinculado seguirá derramándose más allá del punto de inflexión clásico en\(r_0\), digamos, pero claramente debe haber un cambio de fase total de\(\frac{3}{4}\pi\) en la región permitida para el estado más bajo, ya que no puede haber derrama a negativo\(r\).

La fórmula general será

\[ \dfrac{1}{\hbar}\int_0^{r_0} p(r)dr=(n+34)\pi ,\; n=0,1,2,\dots , \tag{8.2.26}\]

la serie termina si y cuando el punto de inflexión alcanza el infinito.

Advertencia: en realidad, algunos potenciales, incluido el potencial de Coulomb y la barrera centrífuga para\(l\neq 0\), son de hecho singulares en\(r=0\). Estos casos requieren un tratamiento especial.