5.1: Sistemas compuestos

Supongamos que tenemos dos sistemas, descritos por Hilbert spaces\(\mathscr{H}_{1}\) y\(\mathscr{H}_{2}\), respectivamente. Podemos elegir bases ortonormales para cada sistema:

\[\mathscr{H}_{1}:\left\{\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle, \ldots,\left|\phi_{N}\right\rangle\right\} \quad \text { and } \mathscr{H}_{2}:\left\{\left|\psi_{1}\right\rangle,\left|\psi_{2}\right\rangle, \ldots,\left|\psi_{M}\right\rangle\right\}\tag{5.1}\]

Las dimensiones respectivas de\(\mathscr{H}_{1}\) y\(\mathscr{H}_{2}\) son\(N\) y\(M\). Podemos construir estados de\(N \times M\) base para el sistema compuesto vía\(\left|\phi_{j}\right\rangle\) y\(\left|\psi_{k}\right\rangle\). Esto implica que el espacio total de Hilbert del sistema compuesto puede ser abarcado por el producto tensor

\[\left\{\left|\phi_{j}\right\rangle \otimes\left|\psi_{k}\right\rangle\right\}_{j k} \quad \text { on } \quad \mathscr{H}_{1+2}=\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\tag{5.2}\]

Un estado puro arbitrario\(\mathscr{H}_{1+2}\) puede escribirse como

\[|\Psi\rangle=\sum_{j k} c_{j k}\left|\phi_{j}\right\rangle \otimes\left|\psi_{k}\right\rangle \equiv \sum_{j k} c_{j k}\left|\phi_{j}, \psi_{k}\right\rangle\tag{5.3}\]

Por ejemplo, el sistema de dos qubits se puede escribir sobre la base\(\{|0,0\rangle,|0,1\rangle,|1,0\rangle,|1,1\rangle\}\). Si el sistema 1 está en estado\(|\phi\rangle\) y el sistema 2 está en estado\(|\psi\rangle\), el seguimiento parcial sobre el sistema 2 rinde

\[\operatorname{Tr}_{2}(|\phi, \psi\rangle\langle\phi, \psi|)=\operatorname{Tr}_{2}(|\phi\rangle\langle\phi|\otimes| \psi\rangle\langle\psi|)=|\phi\rangle\langle\phi|\operatorname{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=| \phi\rangle\langle\phi|,\tag{5.4}\]

ya que la traza sobre cualquier operador de densidad es 1. ¡Ya hemos perdido el sistema 2 de nuestra descripción! Por lo tanto, tomar el rastro parcial sin insertar ningún otro operador es la versión matemática de olvidarlo. Esta es una característica muy útil: a menudo no quieres lidiar con todos los sistemas posibles que te interesan. Por ejemplo, si el sistema 1 es un qubit, y el sistema dos es un entorno muy grande, el rastreo parcial le permite “rastrear el entorno”.

No obstante, rastrear el entorno no siempre te dejará con un estado puro como en la Ec. (5.4). Si el sistema ha interactuado con el entorno, tomar el rastro parcial generalmente te deja con un estado mixto. Esto se debe al enredo entre el sistema y su entorno.