11.2: Operadores que no realizan desplazamientos
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En la sección anterior, vimos que si una partícula puede estar en un estado definido para dos observables, entonces los dos operadores asociados a esos observables se conmutarán. Por lo tanto, lo contrario también es cierto; si dos operadores no conmutan, entonces no es posible que un estado cuántico tenga un valor definido de los dos observables correspondientes al mismo tiempo.
Ya hemos visto ejemplos de esto. Una partícula no puede tener un\(x\) giro definido y un\(y\) giro definido al mismo tiempo. Si nuestra teoría va a ser útil, entonces esperaríamos eso\(\hat{S}_{x}\) y no se\(\hat{S}_{y}\) conmutarían cuando operan en un estado normalizado general\(|\psi\rangle\). Vamos a probarlo primero en un orden:
\ [\ begin {alineado}
\ hat {S} _ {x}\ hat {S} _ {y} |\ psi\ rangle &=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ derecho]\ left [\ begin {array} {cc}
0 & -i\
i & 0
\ end {array}\ derecha ]\ left [\ begin {array} {l}
\ psi_ {1}\
\ psi_ {2}
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
-i psi_ _ {2}\\
i\ psi_ {1}
\ end {array}\ derecha]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {c}
i\ psi_ {1}\
-i\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]\\
&=i\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {c}
\ psi_ {1}\\
-\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]
\ end {alineado}\ tag {11.4}\]
Ahora vamos a probarlo en el otro orden:
\ [\ begin {aligned}
\ hat {S} _ {y}\ hat {S} _ {x} |\ psi\ rangle &=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {cc}
0 & -i\\
i & 0
\ end {array}\ derecha]\ izquierda [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 y 0
\ end {array}\ derecha ]\ left [\ begin {array} {l}
\ psi_ {1}\
\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {cc}
0 & -i\\
i & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
\ psi_ {2 }\\
\ psi_ {1}
\ end {array}\ derecha]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {c}
-i\ psi_ {1}\
i\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]\\
&=-i\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ izquierda [\ begin {array} {c}
\ psi_ {1}\\
-\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]
\ end {alineado}\ tag {11.5}\]
Claramente los dos no son iguales; uno es el negativo del otro. Por lo tanto,\(\hat{S}_{x}\) y\(\hat{S}_{y}\) no conmutar cuando opere en un estado general\(\psi\), como se esperaba.
Es interesante señalar el efecto que tiene\(\hat{S}_{z}\) sobre este mismo estado general:
\ [\ begin {aligned}
\ hat {S} _ {z} |\ psi\ rangle &=\ frac {\ hbar} {2}\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
\ psi_ {1}
\\ psi_ {2}
\ end {array} derecha]\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ izquierda [\ begin {array} {c}
\ psi_ {1}\
-\ psi_ {2}
\ end {array}\ derecha]
\ end {alineado}\ tag {11.6}\]
Observe que a excepción de la constante por delante, el vector producido por\(\hat{S}_{z}\) en este estado es el mismo que el vector producido por\(\hat{S}_{x} \hat{S}_{y}\) y\(\hat{S}_{y} \hat{S}_{x}\). De hecho, podemos juntar los dos:
\ [\ comenzar {reunido}
\ izquierda (\ sombrero {S} _ {x}\ sombrero {S} _ {y} -\ sombrero {S} _ {y}\ sombrero {S} _ {x}\ derecha) |\ psi\ rangle=i\ frac {\ hbar^ {2}} {2} |\ psi\ rangle\\
{\ izquierda [\ sombrero {S} _ {x},\ hat {S} _ {y}\ derecha] |\ psi\ rangle=i\ hbar\ sombrero {S} _ _ {z} |\ psi\ rangle}
\ end {reunidos}\ tag {11.7}\]
El término entre paréntesis,\(\left[\hat{S}_{x}, \hat{S}_{y}\right]\) se llama el conmutador de\(\hat{S}_{x}\) y\(\hat{S}_{y}\). Se define por el término entre paréntesis sobre él:\(\left(\hat{S}_{x} \hat{S}_{y}-\hat{S}_{y} \hat{S}_{x}\right)\). Funciona para los colectores de los tres operadores de momento angular de giro que:
\[\left[\hat{S}_{x}, \hat{S}_{y}\right]=i \hbar \hat{S}_{z}\tag{11.8}\]
\ [\ begin {alineado}
& {\ izquierda [\ hat {S} _ {y},\ hat {S} _ {z}\ derecha] =i\ hbar\ hat {S} _ {x}}\\
& {\ izquierda [\ hat {S} _ {z},\ hat {S} _ {x}\ derecha] =i\ hbar\ sombrero {S} _ {y}
\ fin {alineado}\ etiqueta {11.9}\]