12.2: Notación de múltiples estados de partículas

Antes de ir más allá, necesitamos refinar nuestra notación para que podamos hacer un seguimiento de dos partículas diferentes. Podemos construir un estado de dos partículas juntando dos estados para cada partícula individual con:

\[\left|\psi_{1}\right\rangle \otimes\left|\phi_{2}\right\rangle\tag{12.3}\]

El operador indica que estamos juntando estos dos estados para formar un estado compuesto. A veces se le llama “producto directo”, pero en realidad no se parece tanto a la multiplicación. Realmente, solo significa que estamos haciendo algún estado compuesto que combina la partícula 1 en estado\(|\psi\rangle\) y la partícula 2 en estado\(|\phi\rangle\). El subíndice indica de qué partícula estamos hablando; el resto de las cosas dentro del ket indica el estado de esa partícula en particular.

Por simplicidad, a menudo omitiremos el símbolo en el “producto directo”, y solo escribiremos los dos estados uno al lado del otro, p. ej.

\[\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\phi_{2}\right\rangle\tag{12.4}\]

Nuevamente, esto no quiere decir que estemos multiplicando dos vectores ket, que es algo que no podemos hacer. En cambio, significa que estamos componiendo los estados. Si estos fueran estados de giro, no representaríamos esto con dos vectores de columna. En cambio, lo representaríamos con un solo vector de columna de cuatro filas; las dos primeras filas tienen la representación vectorial de columna de cualquier estado en el que se encuentre la primera partícula, y las dos segundas filas tienen la representación vectorial de columna de cualquier estado en el que se encuentre la segunda partícula.

Si un operador opera en este estado, solo afecta el estado de la partícula para la que es operador. Es decir, si “spin-z para partícula 2” es lo observable de lo que estamos hablando, entonces el operador\(\hat{S}_{z 2}\) solo opera sobre (en este ejemplo) el estado\(\left|\phi_{2}\right\rangle\). En efecto, se puede tratar\(\left|\phi_{1}\right\rangle\) como si se tratara de una constante:

\[\hat{S}_{z 2}\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\phi_{2}\right\rangle=\left|\psi_{1}\right\rangle \hat{S}_{z 2}\left|\phi_{2}\right\rangle\tag{12.5}\]

Como ejemplo, supongamos que la partícula 1 está en el estado\(|+z\rangle\) y la partícula 2 está en el estado\(|-z\rangle\). Si aplicamos el\(\hat{S}_{z 2}\) operador a este estado, obtenemos:

\ [\ begin {alineado}
\ hat {S} _ {z 2}\ izquierda|+z_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda|-z_ {2}\ derecha\ rangle &=\ izquierda|+z_ {1}\ derecha\ rangle\ sombrero {S} _ _ {z 2}\ izquierda|-z_ {2}\ derecha\ rangle\\
&= izquierda|+z_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda (\ frac {-\ hbar} {2}\ derecha)\ izquierda|-z_ {2}\ derecha\ rangle\\
&=\ izquierda (-\ frac {\ hbar } {2}\ derecha)\ izquierda|+z_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda|-z_ {2}\ derecha\ rangle
\ end {alineado}\ tag {12.6}\]

Aquí, hemos aprovechado el hecho de que\(\left|-z_{2}\right\rangle\) es un estado propio de\(\hat{S}_{z 2}\), y sustituimos la acción del operador con una simple multiplicación por el valor propio.

Habrá algunos operadores (por ejemplo, el próximo operador de intercambio) que no operen solo en una de las dos partículas, sino en ambas al mismo tiempo.

De igual manera, con los productos internos, las versiones de sujetador de un estado solo se “pegan” a las versiones ket de un estado en el lado recto de la notación bra-ket si son estados para la misma partícula. Así, supongamos que teníamos un estado compuesto:

\[|\xi\rangle=\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\phi_{2}\right\rangle\tag{12.7}\]

El vector sujetador correspondiente es:

\[\langle\xi|=\left\langle\psi_{1}\right|\left\langle\phi_{2}\right|\tag{12.8}\]

La normalización de este estado se expresa entonces como:

\ [\ begin {alineado}
\ langle\ xi\ mid\ xi\ rangle &=\ izquierda (\ izquierda\ langle\ psi_ {1}\ izquierda|\ izquierda\ langle\ phi_ {2}\ derecha|\ derecha)\ izquierda (\ izquierda|\ psi_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda|\ phi_ {2}\ derecha\ rangle\ derecha) derecha\. \ derecho. \\
&=\ izquierda\ langle\ psi_ {1}\ mid\ psi_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda\ langle\ phi_ {2}\ mid\ phi_ {2}\ derecha\ rangle\\
&=1
\ end {alineado}\ tag {12.9}\]

Aquí hemos reorganizado un poco los estados. Trasladamos el\(\left|\psi_{1}\right\rangle\) de después del\(\left\langle\phi_{2}\right|\) a antes de él. Esto debería ponerle un poco nervioso; hemos visto que con matrices y otras cosas que no son simples números, la multiplicación no es necesariamente conmutativa. Sin embargo, nuevamente, en este caso, cuando se trata de productos internos, un estado para una partícula diferente puede tratarse como una constante con respecto a los productos internos para la primera partícula. Como tal, es totalmente legítimo\(\left|\psi_{1}\right\rangle\) entrar, salir y atravesar productos internos en la partícula 2 (al menos en el caso de los estados compuestos simples de los que estamos hablando aquí).