12.5: El principio de exclusión de Pauli

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El Principio de Exclusión de Pauli establece que no hay dos fermiones que puedan ocupar el mismo estado cuántico. Este principio es absolutamente crucial para la vida tal como la conocemos; sin él, no tendríamos la Tabla Periódica de la Química, ni tendríamos mucho del resto de la estructura de la materia. ¡Esto no significa, sin embargo, que solo un electrón en el Universo pueda tener un\(z\) giro positivo! Obviamente, tenemos muchos más de dos electrones en el Universo. No obstante, si tienes un estado cuántico, como un nivel de energía en un átomo, donde puedes poner electrones, solo puedes poner dos electrones en ese nivel de energía. ¿Por qué dos, y no uno? Debido al espín de electrones; siempre y cuando los dos electrones tengan espín opuesto (o, más precisamente, estén en un estado de espín combinado con un momento angular de giro cero tal que sean antisimétricos bajo intercambio), entonces puedes poner dos electrones en el mismo estado. Es posible tener dos electrones con el mismo giro, siempre y cuando algo más sea diferente en sus estados cuánticos. Entonces, por ejemplo, podrías tener dos electrones con el mismo giro si estuvieran en diferentes orbitales en un átomo.

¿Por qué no puedes poner más de un fermión en el mismo estado? Porque es imposible construir un vector de estado antisimétrico dos fermiones en el mismo estado. Supongamos que tienes un estado\(|\psi\rangle\), y quieres ponerle dos fermiones. Sabemos que el estado:

\[\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\psi_{2}\right\rangle\tag{12.17}\]

no va a funcionar, porque el operador de cambio que trabaja en él solo produce el mismo estado de vuelta, no el negativo del mismo estado:

\[\hat{P}_{12}\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\psi_{2}\right\rangle=\left|\psi_{2}\right\rangle\left|\psi_{1}\right\rangle=\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\psi_{2}\right\rangle\tag{12.18}\]

Este es un valor propio del operador de intercambio, que es bueno, pero el valor propio es +1. Esto funcionaría para los bosones; efectivamente, debido a esto, puedes poner a tantos bosones como quieras todos en el mismo estado. Sin embargo, para los fermiones, el valor propio del operador de intercambio que trabaja en el estado de dos partículas necesita ser −1. Si tratamos de construir un vector de onda antisimétrica con ambos electrones en el mismo estado:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\psi_{2}\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\psi_{2}\right\rangle\left|\psi_{1}\right\rangle\tag{12.19}\]

simplemente terminamos con 0, que no es un estado en absoluto. Así, si tienes dos fermiones indistinguibles, debe haber algo diferente en sus estados; no puedes poner más de un fermión en un solo estado cuántico.