14.1: La ecuación de Schrödinger
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El potencial unidimensional de Coulomb se presentó en la sección 13.6. Por supuesto, el verdadero átomo de Hidrógeno es tridimensional. La ecuación de Schr¨odinger que resulta es casi idéntica:
\[\hat{K} \psi(\vec{r})+V(r) \psi(\vec{r})=E \psi(\vec{r})\tag{14.1}\]
Primero, recuerda que cuando decimos\(\psi(\vec{r})\), eso es una taquigrafía para\(\psi(x, y, z)\). A la izquierda, hemos roto al hamiltoniano\(\hat{H}\) en la parte de energía cinética\((\hat{K})\) y el potencial. Observe que aquí dentro, no tenemos\(V(x, y, z)\), sino solo\(V(r)\). Cuando decimos\(r\) sin la pequeña flecha vectorial, nos referimos a la distancia desde el origen, es decir,\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\). El potencial aquí es esféricamente simétrico. Debido a que depende sólo del origen, si giras todo el sistema en cualquier ángulo, el potencial no sería diferente.
Si sustituimos en la expresión correcta el potencial\(V(r)\), esta ecuación se convierte en:
\[\hat{K} \psi(\vec{r})-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r} \psi(\vec{r})=E \psi(\vec{r})\tag{14.2}\]
Como se señaló en el capítulo anterior, el potencial siempre es negativo. A medida que\(r\) se vuelve muy grande (es decir, el electrón está muy lejos del protón), el potencial se acerca a cero. Nuevamente, esto es solo una convención; podríamos agregar cualquier constante que quisiéramos al potencial sin cambiar la física de lo que está sucediendo. Hemos elegido esto porque es conveniente no tener que preocuparnos por los núcleos de átomos que están muy lejos. La solución a esta ecuación serán funciones individuales\(\psi(\vec{r})\), cada una correspondiente a un estado permitido diferente, cada una con un nivel de energía correspondiente. Las soluciones que representan un átomo —donde el electrón está unido al protón— tienen\(E<0\). Clásicamente, si una partícula se mueve en este potencial, eso establecerá una distancia máxima lejos del origen que podría alcanzar la partícula.