3.7: Momentum Angular

Notación:

• $\textbf{L}_{C}$= momento angular del sistema con respecto al centro de masa C.
• $\textbf{L}$= momento angular del sistema relativo a algún otro origen O.
• $\overline{\textbf{r}}$= vector de posición de C con respecto a O.
• $\textbf{P}$= impulso lineal del sistema con respecto a O.
• (El impulso lineal con respecto a C es, por supuesto, cero.)

Teorema:

$$\textbf{L} = \textbf{L}_{C} + \overline{\textbf{r}} \times \textbf{P} \tag{3.7.1}\label{eq:3.7.1}$$

Así:

$$\begin{align*} \textbf{L} &= \sum \textbf{r}_{i}\times \textbf{p}_{i} = \sum m_{i}(\textbf{r}_{i}\times \textbf{v}_{i}) = \sum m_{i}(\overline{\textbf{r}} + \textbf{r}_{i}^{\prime})\times(\overline{\textbf{v}} + \textbf{v}_{i}^{\prime}) \\[5pt] &=(\overline{\textbf{r}}\times \overline{\textbf{v}})\sum m_{i} + \overline{\textbf{r}}\times \sum m_{i}\textbf{v}_{i}^{\prime} + (\sum m_{i}\textbf{r}_{i}^{\prime}) \times \overline{\textbf{v}} + \sum \textbf{r}_{i}^{\prime} \times \textbf{p}_{i}^{\prime} \\[5pt] &=M(\overline{\textbf{r}}\times \overline{\textbf{v}}) +\overline{\textbf{r}}\times 0 + 0 \times \overline{\textbf{v}} + \textbf{L}_{C} \end{align*} \nonumber$$

por lo tanto

$$\qquad \textbf{L} =\textbf{L}_{C} + \overline{\textbf{r}} \times \textbf{P} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Un aro de radio a rodando a lo largo del suelo (Figura III.6):

El momento angular con respecto a C es L _C =$I_{C \omega}$ donde$I_{C}$ está la inercia rotacional alrededor de C. El momento angular alrededor de O es por lo tanto

$$I = I_{C}\omega+M\overline{v}a=I_{C}\omega+Ma^{2}\omega=(I_{C}+Ma^{2})=I\omega \nonumber$$

donde

$$I = I_{C}+Ma^{2} \nonumber$$

es la inercia rotacional alrededor de O.