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17.3: Modos normales

Última actualización

30 oct 2022
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- 17.2: Dos Péndulos Acoplados
- 17.4: Principio de superposición

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$

$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$

$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$

$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$

$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$

$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$

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$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$

$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$

$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$

$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$

$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$

$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

$\newcommand{\bcal}{\cal B}$

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$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

$\newcommand{\ecal}{\cal E}$

$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$

$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

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$\newcommand{\col}{\text{Col}}$

$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$

$\newcommand{\var}{\text{Var}}$

$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$

$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$

$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$

$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$

$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$

$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$

$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$

$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

El movimiento físico correspondiente a las amplitudes autovector (1,1) tiene dos constantes de integración (amplitud y fase), muchas veces escritas en términos de un solo número complejo, es decir,

\ begin {ecuación}\ left (\ begin {array} {l}\ theta_ {1} (t)\\\ theta_ {2} (t)\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {l} 1\\ end {array}\ right)\ operatorname {Re} B e^ {i\ omega_ {0} t =\ left (\ begin {array} {l} A\ cos\ left (\ omega_ {0} t+\ delta\ right)\\ A\ cos\ left (\ omega_ {0} t+\ delta\ right)\ end {array}\ right),\ quad B=A e^ {i\ delta}
\ end {ecuación}

con $A, \delta \text { real. }$

Claramente, este es el modo en el que los dos péndulos están sincronizados, oscilando a su frecuencia natural, sin que el resorte desempeñe ningún papel.

En física, este autoestado matemático de la matriz se denomina modo normal de oscilación. En un modo normal, todas las partes del sistema oscilan a una sola frecuencia, dada por el valor propio.

El otro modo normal,

\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {c}
\ theta_ {1} (t)\
\ theta_ {2} (t)
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ operatorname {Re} B e^ {i\ omega^ {\ prime} t} =\ left (\ begin {array} {c}
A\ cos\ izquierda (\ omega^ {\ prime} t+\ delta\ derecha)\\
-A\ cos\ izquierda (\ omega^ {\ prime} t+\ delta\ derecha)
\ end {array}\ derecha),\ quad B=A e^ {i\ delta}
\ end {ecuación}

donde hemos escrito $\omega^{\prime}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+2 k}$ . Aquí el sistema está oscilando con la frecuencia única $\omega^{\prime}$ , los péndulos ahora están exactamente desfasados, por lo que cuando se separan el resorte los tira de regreso al centro, aumentando así la frecuencia de oscilación del sistema.

La estructura de la matriz se puede clarificar separando la contribución del resorte:

\ begin {ecuación}
\ mathbf {M} =\ left (\ begin {array} {cc}
\ omega_ {0} ^ {2} +k & -k\\
-k &\ omega_ {0} ^ {2} +k
\ end {array}\ derecha) =\ omega_ {0} ^ {2}\ left (\ begin {array} {cc}
1 y 0\
0 & 1
\ end {array}\ derecha) +k\ left (\ begin {array} {cc}
1 & -1\\
-1 & 1
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}

Todos los vectores son vectores propios de la identidad, por supuesto, por lo que la primera matriz solo contribuye $\omega_{0}^{2}$ al valor propio. Se encuentra fácilmente que la segunda matriz tiene valores propios son 0,2, y los autoestados (1,1) y (1, −1).

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