4.1: Simetrías

Volvamos al sistema de dos péndulos idénticos acoplados por un resorte, discutido en el capítulo 3, en (3.78) - (3.93). Este sencillo sistema tiene más que enseñarnos. Se muestra en la Figura$4.1$. Al igual que en (3.78) - (3.93), ambos bloques tienen masa$m$, ambos péndulos tienen longitud$\ell$ y la constante de resorte es$\kappa$. Nuevamente etiquetamos los pequeños desplazamientos de los bloques a la derecha,$x_{1}$ y$x_{2}$.

Encontramos los modos normales de este sistema en el último capítulo. Pero de hecho, podríamos haberlos encontrado aún más fácilmente haciendo uso de la simetría de este sistema. Si reflejamos este sistema en un plano a medio camino entre los dos bloques, recuperamos un sistema completamente equivalente. Decimos que el sistema es “invariante” bajo reflexiones en el plano entre los bloques. Sin embargo, si bien la física no cambia por la reflexión, nuestra descripción del sistema se ve afectada. Las coordenadas cambian alrededor. El sistema reflejado se muestra en la Figura$4.2$. Comparando las dos figuras, podemos describir la reflexión en términos de su efecto sobre los desplazamientos, $$x_{1} \rightarrow-x_{2}, \quad x_{2} \rightarrow-x_{1} .$$

Figura$4.1$: Un sistema de péndulos acoplados. Los desplazamientos se miden a la derecha, como se muestra.

Figura$4.2$: El sistema de péndulos acoplados después de la reflexión en el plano a través entre los dos.

En particular, si\ [X (t) =\ left (\ begin {array} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ end {array}\ right)\]

es una solución a las ecuaciones de movimiento para el sistema, luego el vector reflejado,\ [\ tilde {X} (t)\ equiv\ left (\ begin {array} {l}
-x_ {2} (t)\\
-x_ {1} (t)
\ end {array}\ right),\]

también debe ser una solución, porque el sistema reflejado es en realidad idéntico al original. Si bien esto debe ser así desde la física, es útil entender cómo funcionan las matemáticas. Para ver matemáticamente que (4.3) es una solución, defina la matriz de simetría$S$,,\ [S\ equiv\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right),\]

así que$\tilde{X}(t)$ se relaciona con$X(t)$ por multiplicación matricial:\ [\ tilde {X} (t) =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ end {array}\ right) =S X (t) .\]

La declaración matemática de la simetría es la siguiente condición en las$K$ matrices$M$ y: ¹ $$M S=S M,$$

y $$K S=S K .$$

Se puede comprobar explícitamente que (4.6) y (4.7) son verdaderos. De estas ecuaciones, se deduce que si$X(t)$ es una solución a la ecuación del movimiento, $$M \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-K X(t) ,$$

entonces también$\tilde{X}(t)$ lo es. Para ver esto explícitamente, multiplique ambos lados de (4.8) por$S$ para obtener $$S M \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-S K X(t) .$$

Luego usando (4.6) y (4.7) en (4.9), obtenemos $$M S \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-K S X(t) .$$

La matriz$S$ es una constante, independiente del tiempo, así podemos moverla a través de las derivadas del tiempo en (4.10) para obtener $$M \frac{d^{2}}{d t^{2}} S X(t)=-K S X(t) .$$

Pero ahora usando (4.5), esta es la ecuación del movimiento para$\tilde{X}(t)$, $$M \frac{d^{2}}{d t^{2}} \tilde{X}(t)=-K \tilde{X}(t) .$$

Así, como se prometió, (4.6) y (4.7) son los enunciados matemáticos de la simetría de reflexión porque implican, como ahora hemos visto explícitamente, que si$X(t)$ es una solución,$\tilde{X}(t)$ es también.

Tenga en cuenta que a partir del (4.6), puede demostrar que $$M^{-1} S=S M^{-1}$$

multiplicando en ambos lados por$M^{-1}$. Entonces (4.13) se puede combinar con (4.7) para dar $$M^{-1} K S=S M^{-1} K .$$

Utilizaremos esto más adelante.

Ahora supongamos que el sistema está en modo normal, por ejemplo $$X(t)=A^{1} \cos \omega_{1} t .$$

Entonces$\tilde{X}(t)$ es otra solución. Pero tiene la misma dependencia del tiempo, y por lo tanto la misma frecuencia angular. Debe, por lo tanto, ser proporcional al mismo vector de modo normal porque ya sabemos por nuestro análisis anterior que las dos frecuencias angulares de los modos normales del sistema son diferentes,$\omega_{1} \neq \omega_{2}$. Cualquier cosa que oscile con frecuencia angular$\omega_{1}$,, debe ser proporcional al modo normal,$A^{1}$: $$\tilde{X}(t) \propto A^{1} \cos \omega_{1} t .$$

Así, la simetría implica $$S A^{1} \propto A^{1} .$$

Es decir, esperamos de la simetría que los modos normales también sean vectores propios de$S$. Esto debe ser cierto siempre que las frecuencias angulares sean distintas. De hecho, podemos ver comprobando las soluciones que esto es cierto. La constante de proporcionalidad es solo −1,\ [S A^ {1} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right) A^ {1} =-A^ {1},\]

y de manera similar\ [S A^ {2} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right) A^ {2} =A^ {2}.\]

Además, podemos ejecutar el argumento hacia atrás. Si$A$ es un vector propio de la matriz de simetría$S$, y si todos los valores propios de$S$ son diferentes, entonces debido a la simetría, (4.13),$A$ es un modo normal. Para ver esto, considera el vector$M^{-1}KA$ y actúa sobre él con la matriz$S$. Usando (4.14), vemos que si $$S A=\beta A$$

entonces $$S M^{-1} K A=M^{-1} K S A=\beta M^{-1} K A .$$

En palabras, (4.21) significa que$M^{-1}KA$ es un vector propio de$S$ con el mismo valor propio que$A$. Pero si los valores propios de$S$ son todos diferentes, entonces$M^{-1}KA$ deben ser proporcionales a$A$, lo que significa que$A$ es un modo normal. Matemáticamente podríamos decirlo de esta manera. Si los vectores propios de$S$ están$A^{n}$ con valores propios$\beta_{n}$, entonces $$S A^{n}=\beta_{n} A^{n}, \text { and } \beta_{n} \neq \beta_{m} \text { for } n \neq m \Rightarrow A^{n} \text { are normal modes. }$$

Resulta que para las simetrías que nos importan, los valores propios de siempre$S$ son todos diferentes. ²

Así, aunque no hubiéramos conocido la solución, ¡podríamos haber utilizado (4.20) para determinar los modos normales sin molestarnos en resolver el problema del valor propio para la$M^{-1}K$ matriz! En lugar de resolver el problema del valor propio, $$M^{-1} K A^{n}=\omega_{n}^{2} A^{n} ,$$

podemos resolver el problema del valor propio $$S A^{n}=\beta_{n} A^{n} .$$

Podría parecer que acabamos de negociar un problema de valor propio por otro. Pero de hecho, (4.24) es más fácil de resolver, porque podemos usar la simetría para determinar los valores propios,$\beta_{n}$, sin computar nunca un determinante. La simetría de reflexión tiene la bonita propiedad de que si lo haces dos veces, vuelves a donde empezaste. Esto se refleja en la propiedad de la matriz$S$, $$S^{2}=I .$$

En palabras, esto significa que aplicar la matriz$S$ dos veces te devuelve exactamente el vector con el que empezaste. Multiplicando ambos lados de la ecuación del valor propio, (4.24), por$S$, obtenemos\ [\ begin {alineado}
A^ {n} =& I A^ {n} =S^ {2} A^ {n} =S\ beta_ {n} A^ {n} A^ {n}\
&=\ beta_ {n} S A^ {n} =\ beta_ {n} ^ {2} A^ {n},
\ final {alineado}\]

lo que implica $$\beta_{n}^{2}=1 \quad \text { or } \quad \beta_{n}=\pm 1 .$$

Esto ahorra algo de trabajo. Una vez que$S$ se conocen los valores propios de, es más fácil encontrar los vectores propios de$S$. Pero debido a la simetría, sabemos que los vectores propios de también$S$ serán los modos normales, los vectores propios de$M^{-1}K$. Y una vez que se conocen los modos normales, es sencillo encontrar la frecuencia angular actuando sobre los vectores propios de modo normal con$M^{-1}K$.

Lo que hemos visto aquí, en un ejemplo sencillo, es cómo utilizar la simetría de un sistema oscilante para determinar los modos normales. En lo que resta de este capítulo generalizaremos esta técnica a una situación mucho más interesante. La idea es siempre la misma.

Podemos encontrar los modos normales resolviendo el problema del valor propio para la matriz de simetría,$S$, en lugar de$M^{-1}K$. Y podemos usar la simetría para determinar los valores propios.

Beats

4-1
Los inicios de los fenómenos de olas ya se pueden ver en este sencillo ejemplo. Supongamos que iniciamos el sistema oscilando desplazando al bloque 1 una cantidad$d$ con el bloque 2 mantenido fijo en su posición de equilibrio, y luego liberando ambos bloques del descanso en el tiempo$t = 0$. La solución general tiene la forma $$X(t)=A^{1}\left(b_{1} \cos \omega_{1} t+c_{1} \sin \omega_{1} t\right)+A^{2}\left(b_{2} \cos \omega_{2} t+c_{2} \sin \omega_{2} t\right) .$$

Las posiciones de los bloques en$t = 0$ da la ecuación matricial:\ [X (0) =\ left (\ begin {array} {l}
d\\
0
\ end {array}\ right) =A^ {1} b_ {1} +A^ {2} b_ {2},\]

o\ [\ begin {reunió}
d=b_ {1} +b_ {2}\\
0=-b_ {1} +b_ {2}
\ end {reunidos}\ Rightarrow b_ {1} =b_ {2} =\ frac {d} {2}.\]

Porque ambos bloques se liberan del descanso, eso lo sabemos$c1 = c2 = 0$. Podemos ver esto de la misma manera mirando las velocidades iniciales de los bloques:\ [\ punto {X} (0) =\ left (\ begin {array} {l}
0\\
0
\ end {array}\ right) =\ omega_ {1} A^ {1} c_ {1} +\ omega_ {2} A^ {2} c_ {2},\]

o\ [\ comenzar {reunidos}
0=c_ {1} +c_ {2}\\
0=-c_ {1} +c_ {2}
\ end {reunidos}\ Rightarrow c_ {1} =c_ {2} =0.\]

Así\ [\ begin {alineado}
&x_ {1} (t) =\ frac {d} {2}\ izquierda (\ cos\ omega_ {1} t+\ cos\ omega_ {2} t\ derecha)\\
&x_ {2} (t) =\ frac {d} {2}\ izquierda (\ cos\ omega_ {1} t-\ cos\ omega_ _ {2} t\ derecha).
\ end {alineado}\]

Lo destacable de esta solución es la forma en que la energía se transfiere completamente del bloque 1 al bloque 2 y de vuelta de nuevo. Para ver esto, podemos reescribir (4.34) como (usando (1.64) y otra identidad similar)\ [\ begin {aligned}
&x_ {1} (t) =d\ cos\ Omega t\ cos\ delta\ omega t\\
&x_ {2} (t) =d\ sin\ Omega t\ sin\ delta omega t
\ end {alineado}\]

donde $$\Omega=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}, \quad \delta \omega=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2} .$$

Cada uno de los bloques exhibe “beats”. Oscilan con la frecuencia angular promedio$\Omega$, pero la amplitud de la oscilación cambia con la frecuencia angular$\delta \omega$. Después de un tiempo, la$\frac{\pi}{2 \delta \omega}$ energía ha sido transferida casi en su totalidad del bloque 1 al bloque 2. Este comportamiento se muestra en el programa 4-1 en el disco de su programa. Observe cómo los beats son producidos por la interacción entre los dos modos normales. Cuando los dos modos están en fase para uno de los bloques para que el bloque se mueva con amplitud máxima, los modos están$180^{\circ}$ desfasados para el otro bloque, por lo que el otro bloque está casi quieto.

La transferencia completa de energía de ida y vuelta del bloque 1 al bloque 2 es una característica tanto de nuestra condición inicial especial, con el bloque 2 en reposo y en su posición de equilibrio, como de la forma especial de los modos normales que se desprende de la simetría de reflexión. Como veremos con más detalle más adelante, este es el mismo tipo de transferencia de energía que tiene lugar en los fenómenos de las olas.

Ejemplo menos trivial

4-2
Tome una hoja de sierra para metales, fije un extremo y fije una masa al otro. Esto hace un buen oscilador con esencialmente solo un grado de libertad (porque la hoja de sierra para metales solo se doblará hacia adelante y hacia atrás fácilmente de una manera). Ahora tome seis aspas idénticas y fije un extremo de cada una en un solo punto para que las aspas se ventilen en$60^{\circ}$ ángulos desde el centro con su orientación de tal manera que puedan doblarse hacia adelante y hacia atrás en el plano formado por las aspas. Si pones una masa al final de cada uno, en un patrón hexagonal, tendrás seis osciladores desacoplados. Pero si en cambio pones imanes idénticos en los extremos, los osciladores se acoplarán entre sí de alguna manera complicada. Puedes ver cómo se ven las oscilaciones de este sistema en el programa 4-2 del programa

Figura$4.3$: Un sistema de seis osciladores de hoja de sierra acoplados. Las flechas indican las direcciones en las que se miden los desplazamientos.

disco. Si los desplazamientos desde las posiciones de equilibrio simétrico son pequeños, el sistema es aproximadamente lineal. A pesar de la aparente complejidad de este sistema, podemos anotar los modos normales y las frecuencias angulares correspondientes ¡casi sin trabajo! El truco es hacer un uso inteligente de la simetría de este sistema.

Este sistema se ve exactamente igual si lo giramos$60^{\circ}$ alrededor de su centro. Por lo tanto, debemos esforzarnos en analizarlo de una manera manifiestamente simétrica. Etiquetemos las masas del 1 al 6 comenzando en cualquier lugar y dando vueltas en sentido antihorario. Dejar$x_{j}$ ser el desplazamiento en sentido antihorario del bloque$j$ th desde su posición de equilibrio. Como de costumbre, organizaremos estas coordenadas en un vector: ³\ (X=\ left (\ begin {array} {l}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
x_ {4}\\
x_ {5}\\
x_ {6}
\ end {array}\\ right).\]

La operación de simetría de rotación se implementa mediante la sustitución cíclica $$x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{6} \rightarrow x_{1} .$$

Esto se puede representar en una notación matricial como $$X \rightarrow S X ,$$

donde la matriz de simetría$S$,, es\ [S=\ left (\ begin {array} {llllll}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha).\]

Tenga en cuenta que los 1s a lo largo de la siguiente diagonal de la matriz,$S$, en (4.40) implementan las sustituciones $$x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{6} ,$$

mientras que el 1 en la esquina inferior izquierda cierra el círculo con la sustitución $$x_{6} \rightarrow x_{1} .$$

La simetría requiere que la matriz K para este sistema tenga la siguiente forma:\ [K=\ left (\ begin {array} {cccccc}
E & -B & -C & -D & -C & -B\\
-B & -B & -B & -C & -D & -C\\
-C & -B & -B & -B & -C & -D\\
-D y -C y -B y E & -B y -C\\
-C & -D y -C & -B y E & -B\\
-B & -C & -D & -C & -B & E
\ end {array}\ derecho).\]

Observe que todos los elementos diagonales son iguales$(E)$, ya que deben ser por la simetría. El elemento diagonal$j$ th de la$K$ matriz es menos la fuerza por unidad de desplazamiento sobre la masa$j$ th debido a su desplazamiento. Debido a la simetría, cada una de las masas se comporta exactamente de la misma manera cuando es desplazada con todas las demás masas mantenidas fijas. Así todos los elementos de la matriz diagonal de la$K$ matriz,$K_{jj}$, son iguales. Asimismo, la simetría asegura que el efecto del desplazamiento de cada bloque,$j$, sobre su vecino,$j \pm 1$ ($j+1 \rightarrow 1$si$j = 6$,$j - 1 \rightarrow 6$ si$j = 1$ — ver (4.42)), sea exactamente el mismo. Así, los elementos de la matriz a lo largo de la siguiente diagonal ($B$) son todos iguales, junto con los$B$ s en las esquinas. ¡Y así sucesivamente! La$K$ matriz satisface entonces (4.7), $$S K=K S$$

que, como vimos en (4.13) - (4.12), es la declaración matemática de la simetría. En efecto, podemos ir hacia atrás y elaborar la matriz simétrica más general consistente con (4.44) y comprobar que debe tener la forma, (4.43). Esto lo harás en problema (4.4).

Debido a la simetría, sabemos que si un vector$A$ es un modo normal, entonces el vector también$SA$ es un modo normal con la misma frecuencia. Esto es físicamente obvio. Si el sistema oscila con todas sus partes en paso de cierta manera, también puede oscilar con las partes giradas por$60^{\circ}$, pero por lo demás moviéndose de la misma manera, y la frecuencia será la misma. Esto sugiere que buscamos modos normales que se comporten simplemente bajo la transformación de simetría$S$. En particular, si encontramos los vectores propios de$S$ y descubrimos que los valores propios de$S$ son todos diferentes, entonces sabemos que todos los vectores propios son modos normales, desde (4.22). En el ejemplo anterior, encontramos modos que entraron en sí mismos multiplicados por$\pm 1$ bajo la simetría. En general, sin embargo, no debemos esperar que los valores propios sean reales porque los modos pueden involucrar exponenciales complejos. En este caso, debemos buscar modos que correspondan a valores propios complejos de$S$, ⁴ $$S A=\beta A .$$

Como anteriormente en (4.25) - (4.27), podemos encontrar los posibles valores propios usando la simetría. Tenga en cuenta que debido a que seis$60^{\circ}$ rotaciones nos llevan de vuelta al punto de partida, la matriz$S$,, satisface $$S^{6}=I .$$

Debido a (4.46), de ello se deduce que$\beta^{6} = 1$. Así$\beta$ es una sexta raíz de uno, $$\beta=\beta_{k}=e^{2 i k \pi / 6} \text { for } k=0 \text { to } 5 \text { . }$$

Entonces para cada uno$k$, hay un modo normal $$S A^{k}=\beta_{k} A^{k} .$$

Expresamente,\ [S A^ {k} =\ izquierda (\ begin {array} {c}
A_ {2} ^ {k}\\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\\
A_ {5} ^ {k}\
A_ {6} ^ {k}\
A_ {1} ^ {k}
\ fin {array}\ derecha) =\ beta_ {k}\ cdot\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1} ^ {k}\\
A_ {2} ^ {k}\\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\\
A_ {5} ^ {k}\\
A_ {6} ^ {k}
\ fin {matriz}\ derecha).\]

Si tomamos$A_{1}^{k}=1$ podemos resolver para todos los demás componentes, $$A_{j}^{k}=\left(\beta_{k}\right)^{j-1} .$$

Así\ [\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1} ^ {k}\\
A_ {2} ^ {k}\\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\\
A_ {5} ^ {k}\\
A_ {6} ^ {k}
\ end {array}\ derecha) =\ izquierda (\ begin {array} {c}
1\\
e^ {2 i k\ pi/6}\\
e^ {4 i k\ pi/6}\\
e^ {6 i k\ pi/6}\\
e^ {8 i k\ pi/6}\\
e^ {10 i k\ pi/6}
\ end {array}\ derecho).\]

Ahora para determinar las frecuencias angulares correspondientes a los modos normales, tenemos que evaluar $$M^{-1} K A^{k}=\omega_{k}^{2} A^{k} .$$

Como ya conocemos la forma de los modos normales, esto es sencillo. Por ejemplo, podemos comparar los primeros componentes de estos dos vectores:\ [\ begin {reunió}
\ omega_ {k} ^ {2} =\ left (E-B e^ {2 i k\ pi/6} -C e^ {4 i k\ pi/6} -D e^ {6 i k\ pi/6} -C e^ {8 i k\ pi/6} -B e^ {10 k i\ pi/6}\ derecha)/m\\
=\ frac {E} {m} -2\ frac {B} {m}\ cos\ frac {k\ pi} {3} -2\ frac { C} {m}\ cos\ frac {2 k\ pi} {3} - (-1) ^ {k}\ frac {D} {m}.
\ end {reunido}\]

Observe que$\omega_{1}^{2}=\omega_{5}^{2}$ y$\omega_{2}^{2}=\omega_{4}^{2}$. Este tuvo que ser el caso, debido a que los modos normales correspondientes son pares conjugados complejos, $$A^{5}=A^{1^{*}}, \quad A^{4}=A^{2^{*}} .$$

Cualquier modo normal complejo debe ser parte de un par con su modo normal conjugado complejo a la misma frecuencia, para que podamos hacer modos normales reales de ellos. Este debe ser el caso porque los modos normales describen un sistema físico real cuyos desplazamientos son reales. Los modos reales son combinaciones lineales (véase (1.19)) de los modos complejos, $$A^{k}+A^{k^{*}} \text { and }\left(A^{k}-A^{k^{*}}\right) / i \text { for } k=1 \text { or } 2 \text { . }$$

Estos modos se pueden ver en el programa 4-2 en el disco del programa. Consulte el apéndice A y el manual de instrucciones de su programa para obtener más detalles.

Observe que las soluciones reales, (4.55), no son vectores propios de la matriz de simetría,$S$. Esto es posible porque las frecuencias angulares no son todas diferentes. Sin embargo, los valores propios de$S$ son todos diferentes, de (4.47). Así, aunque podemos construir modos normales que no son vectores propios de$S$, sigue siendo cierto que todos los vectores propios de$S$ son modos normales. Esto es lo que utilizamos en (4.48) - (4.50) para determinar el$A^{n}$.

Observamos que (4.55) es otro ejemplo de un principio muy importante de (3.117) que vamos a utilizar muchas veces en lo que sigue:

Si$A$ y$A^{\prime}$ son modos normales de un sistema con la misma frecuencia angular$\omega$, entonces cualquier combinación lineal,$b A+c A^{\prime}$, es (4.56) también un modo normal con la misma frecuencia angular.

Los modos normales con la misma frecuencia se pueden combinar linealmente para dar nuevos modos normales (ver problema 4.3). Por otro lado, una combinación lineal de dos modos normales con diferentes frecuencias no da nada muy simple.

Las técnicas utilizadas aquí podrían haber sido utilizadas para cualquier número de masas en una disposición simétrica similar. Con$N$ masas y simetría bajo rotación de$2 \pi / N$ radianes, las raíces$N$ th de 1 reemplazarían a las raíces 6 de una en nuestro ejemplo. Los argumentos de simetría también se pueden utilizar para determinar los modos normales en situaciones más interesantes, por ejemplo cuando las masas están en las esquinas de un cubo. Pero ese caso es más complicado que el que hemos analizado porque el orden de las transformaciones de simetría importa —las transformaciones no se desplazan entre sí—. Quizás quieras volver a verlo después de haber estudiado alguna teoría de grupos.

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¹ Dos matrices,$A$ y$B$, que satisfacen$AB = BA$ se dice que “conmutan”.
² Ver la discusión en la página 103.
³ A partir de aquí, asumiremos que el lector está suficientemente acostumbrado a números complejos que no es necesario distinguir entre una coordenada real y una coordenada compleja.
⁴ Incluso esta no es la posibilidad más general. En general, podríamos tener que considerar conjuntos de modos que van uno al otro bajo multiplicación matricial. Eso no es necesario aquí porque las transformaciones de simetría todas conmutan entre sí.