5.3: Olas

Cadena con Cuentas

Figura\( 5.4\): La cuerda con cuentas en equilibrio.

Otro sistema instructivo es la cuerda con cuentas, que experimenta oscilaciones transversales. Las oscilaciones se denominan “transversales” si el movimiento es perpendicular a la dirección en la que se estira el sistema. Considera una cuerda sin masa con tensión\(T\), a la que\(m\) se unen cuentas idénticas de masa a intervalos regulares,\(a\). Una porción de dicho sistema en su configuración de equilibrio se representa en la Figura\( 5.4\). Las cuentas no pueden oscilar longitudinalmente, porque la cuerda se rompería. ³ Sin embargo, para pequeñas oscilaciones transversales, el estiramiento de la cuerda es insignificante, y la tensión y la componente horizontal de la fuerza de la cuerda son aproximadamente constantes. El componente horizontal de la fuerza en cada bloque de la cuerda a su derecha es cancelado por el componente horizontal de la cuerda de la izquierda. La fuerza horizontal total en cada bloque es cero (esto debe ser, porque los bloques no se mueven horizontalmente). Pero las cuerdas producen una fuerza restauradora transversal cuando las cuentas vecinas no tienen el mismo desplazamiento transversal, como se ilustra en la Figura\( 5.5\). Se muestra la fuerza de la cuerda sobre el cordón 1, junto con el componente transversal. Las líneas punteadas completan triángulos similares, así que eso\(F / T=\left(\psi_{2}-\psi_{1}\right) / a\). Se puede ver en la Figura\( 5.5\) que la fuerza restauradora,\(F\) en la figura, para pequeñas oscilaciones transversales es lineal, y corresponde a una constante de resorte\(T / a\).

Figura\( 5.5\): Dos cuentas vecinas sobre una cuerda de cuentas.

Así (5.37) es también la relación de dispersión para las pequeñas oscilaciones transversales de la cuerda con cuentas con\[B=\frac{T}{m a},\]

donde\(T\) está la tensión de la cuerda,\(m\) es la masa del cordón y\(a\) es la separación entre cuentas. La relación de dispersión para la cuerda con cuentas se puede escribir así como\[\omega^{2}=\frac{4 T}{m a} \sin ^{2} \frac{k a}{2}\]

Esta relación de dispersión, (5.39), tiene la interesante propiedad que\(\omega \rightarrow 0\) como\(k \rightarrow 0\). Esto se discute desde el punto de vista de la simetría en el apéndice C, donde discutimos la conexión de esta relación de dispersión con lo que se llama “bosones Goldstone”. Aquí debemos discutir las propiedades especiales del\(k = 0\) modo con frecuencia angular exactamente cero,\(\omega = 0\). Esto es diferente de todas las demás frecuencias angulares porque no obtenemos una dependencia diferente del tiempo al conyugar complejo el exponencial complejo irreducible,\(e^{-i \omega t}\). Pero necesitamos dos soluciones para describir las posibles condiciones iniciales del sistema, porque podemos especificar tanto un desplazamiento como una velocidad para cada perla. La resolución de este dilema es similar a la discutida para el amortiguamiento crítico en el capítulo 2 (véase (2.12)). Si nos acercamos\(\omega = 0\) desde un punto distinto de cero\(\omega\), podemos formar dos soluciones independientes de la siguiente manera: ⁴\[\lim _{\omega \rightarrow 0} \frac{e^{-i \omega t}+e^{i \omega t}}{2}=1, \quad \lim _{\omega \rightarrow 0} \frac{e^{-i \omega t}-e^{i \omega t}}{-2 i \omega}=t\]

El primero, for\(k = 0\), describe una situación en la que todas las cuentas están sentadas en alguna posición fija. El segundo describe una situación en la que todas las cuentas se mueven juntas a velocidad constante en dirección transversal.

Precisamente cosas análogas se pueden decir sobre la\(x\) dependencia del\(k = 0\) modo. Nuevamente, acercándonos\(k = 0\) desde distintos de cero\(k\), podemos formar dos modos,\[\lim _{k \rightarrow 0} \frac{e^{i k x}+e^{-i k x}}{2}=1, \quad \lim _{k \rightarrow 0} \frac{e^{i k x}-e^{-i k x}}{2 i k}=x\]

El segundo modo aquí describe una situación en la que cada perla posterior está más desplazada. La fuerza transversal en cada cordón de la cuerda de la izquierda se cancela por la fuerza de la cuerda a la derecha.

Extremos Fijos

5-2

Figura\( 5.6\): Una cuerda de cuentas con extremos fijos.

Ahora supongamos que miramos una cuerda finita con cuentas con sus extremos fijos en\(x = 0\) y\(x = L = (N + 1)a\), como se muestra en la Figura\( 5.6\). El análisis de los modos normales de este sistema es exactamente el mismo que para el problema del péndulo acoplado al inicio del capítulo. Una vez más, imaginamos que el sistema finito es parte de un sistema infinito con invarianza de traslación espacial y buscamos combinaciones lineales de modos tales que las cuentas en\(x = 0\) y\(x = L\) sean fijas. Nuevamente esto lleva a (5.33). Las únicas diferencias son:

1. las frecuencias de los modos son diferentes porque la relación de dispersión está dada ahora por (5.39);
2. (5.33) describe los desplazamientos transversales de las cuentas.

Este es un muy buen ejemplo de los modos normales de onda estacionaria, (5.33), porque se pueden ver las formas más fácilmente que para las oscilaciones longitudinales. Para cuatro cuentas (\(N = 4\)), se ilustran los cuatro modos normales independientes en\(Figures \text { } 5.7 \text {-} 5.10\), donde hemos hecho invisibles las cuerdas de acoplamiento para mayor claridad. Las cuentas imaginarias fijas que desempeñan el papel de las paredes se muestran (discontinuas) en\(x = 0\) y\(x = L\). Superpuesta a las posiciones de las cuentas se encuentra la función continua\(\sin k x\), para cada\(k\) valor, representada por una línea punteada. Tenga en cuenta que esta función no describe las posiciones de las cuerdas de acoplamiento, las cuales se estiran rectas entre cuentas vecinas.

Figura\( 5.7\):\(n = 1\).

Figura\( 5.8\):\(n = 2\).

Figura\( 5.9\):\(n = 3\).

Figura\( 5.10\):\(n = 4\).

Se trata de imágenes como\(Figures \text { } 5.7 \text {-} 5.10\) esa que justifican la palabra “ola” para estas soluciones de onda estacionaria. Son, francamente, onduladas, exhibiendo la dependencia del espacio sinusoidal que es la condición sine qua non de los fenómenos de onda.

La oscilación transversal de una cuerda con cuentas con ambos extremos fijos se ilustra en el programa 5-2, donde se muestra una oscilación general junto con los modos normales a partir de los cuales se construye. Tenga en cuenta las diferentes frecuencias de los diferentes modos normales, con la frecuencia aumentando a medida que los modos se vuelven más ondulados. A menudo usaremos la cuerda con cuentas como ejemplo ilustrativo porque los modos son muy fáciles de visualizar.

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³ Más precisamente, la cuerda tiene una constante de fuerza muy grande y no lineal para el estiramiento longitudinal. Las oscilaciones longitudinales tienen una frecuencia mucho mayor y están mucho más amortiguadas que las oscilaciones transversales, por lo que podemos ignorarlas en el rango de frecuencia de los modos transversales. Véase la discusión de la primavera masiva “ligera” en el capítulo 7.
⁴ Se pueden evaluar los límites fácilmente, utilizando la serie Taylor para\(e^{x}=1+x+\cdots\).