8.2.1: Serie de Fourier
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A partir de ejemplos de ondas sonoras reales puede parecer que tratar de usar una función coseno o seno para describir una onda de sonido no tiene sentido porque las ondas sonoras reales tienen formas de onda muy complejas. Sin embargo el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier demostró que cualquier función periódica puede formarse a partir de una suma infinita de senos y cosenos. Esto es muy conveniente porque significa que todo lo que sabemos sobre los senos y cosenos se aplica a una función periódica de cualquier forma. Aunque la suma es infinita en teoría, en muchos casos el uso de unos pocos términos puede estar lo suficientemente cerca como para proporcionar una buena aproximación.
Supongamos que querías hacer una onda cuadrada pero solo tenías ondas sinusoidales con las que trabajar. Las imágenes de abajo fueron hechas con la calculadora gráfica que usamos anteriormente. A la izquierda se trazan una serie de siete ondas sinusoidales y la suma de esas ondas se traza a la derecha, abajo. Si bien la onda cuadrada no es perfecta, cuantas más olas se sumen, más cerca se vuelve de una onda cuadrada. (Puedes probar esto; aquí está la suma que hizo la gráfica de la derecha:\(1.0\ast\sin (t)+.3333\ast\sin (3\ast t)+.2\ast\sin (5\ast t)+.1428\ast\sin (7\ast t)+.1111\ast\sin (9\ast t)+.0909\ast\sin (11\ast t) +0.0769\ast\sin (13\ast t)\). Intenta trazar solo el primer término, luego los dos primeros términos, luego los tres primeros, etc.)
Figura\(\PageIndex{1}\)
Como puede ver en el ejemplo de la onda cuadrada, cualquier forma periódica se puede formar agregando ondas sinusoidales. Este es el concepto detrás de construir un instrumento electrónico llamado sintetizador. Los pianos eléctricos también utilizan este principio. Al combinar las frecuencias y amplitudes correctas de las ondas sinusoidales y cosenoidales, el sintetizador puede duplicar la onda sonora de cualquier otro instrumento. La electrónica exacta la hacen esto son algo complicadas pero el principio es simple; la combinación correcta de ondas sinusoidales puede crear el sonido de cualquier instrumento musical.
Nota
Los sintetizadores modernos también suelen utilizar muestras grabadas digitalmente de instrumentos u otros sonidos que se modifican electrónicamente para la salida, además de ondas sinusoidales y cosenoidales puras.