8.2.2: Análisis de Fourier

Supongamos que tomamos los componentes de nuestra onda cuadrada (arriba) y en lugar de trazar la función sinusoidal solo hacemos un gráfico de barras de la amplitud y el número de frecuencia. El resultado se llama Espectro de Fourier y es una especie de mano corta para la forma de onda. En lugar de dibujar la complicada onda cuadrada, simplemente podemos enumerar la amplitud y el número de frecuencia para cada componente como se muestra a continuación:

Figura\(\PageIndex{1}\)

El proceso de descomponer una forma de onda en sus ondas sinusoidales y cosenas componentes (el proceso inverso de la síntesis de Fourier) se llama Análisis de Fourier. El análisis y síntesis de Fourier se puede hacer para cualquier tipo de onda, no solo para ondas sonoras. Generalmente no obtienes un buen gráfico de barras como el anterior pero obtienes algo similar; un gráfico que te dice cuánto de cada onda sinusoidal componente está presente para cada frecuencia en la muestra de sonido. Existen diversos programas que harán esto (por ejemplo Audacity es un programa gratuito de análisis de sonido que usaremos para analizar las ondas sonoras) e incluso algunas aplicaciones de teléfonos inteligentes (por ejemplo SignalScope o OScope para el iPhone) que mostrarán el espectro de Fourier de una onda de sonido. El espectro de Fourier muestra qué frecuencias están presentes y la intensidad relativa de cada frecuencia. La frecuencia más baja presente se llama la frecuencia fundamental. Los siguientes ejemplos muestran la forma de onda (lo que verías en un osciloscopio) junto con el espectro de Fourier para varios instrumentos diferentes:

Ejemplos de video/audio:

• Demostración de la aplicación para iPhone OScope que muestra una forma de onda y Análisis de Fourier de la misma. La forma de onda está en verde, luego la FFT está en rojo.
• Explicación en YouTube de la síntesis de Fourier. Un poco aburrido pero finalmente hace una bonita conexión entre la interferencia que provoca beats y la combinación de ondas sinusoidales que dan lugar a interferencias que percibimos como notas separadas.
• Mini-Lab de análisis de sonido utilizando Audacity. [NOTA: ¡Por favor, traiga un instrumento musical a clase!].

Como se mencionó anteriormente, si usa Audacity o una aplicación de teléfono inteligente (como en el ejemplo de YouTube anterior) para medir el espectro de Fourier de una onda de sonido compleja, el gráfico es un poco más desordenado que el gráfico de barras que se muestra arriba para la onda cuadrada. Esto se debe a que el proceso de análisis de Fourier está limitado en precisión por el número de muestras tomadas durante el proceso de muestreo. No entraremos en los detalles del análisis de Fourier aquí pero a continuación están los espectros de Fourier, medidos por Audacity, de los cuatro sonidos de la simulación anterior:

Figura\(\PageIndex{2}\)

Figura\(\PageIndex{3}\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

Figura\(\PageIndex{5}\)

Si volvemos a los componentes de la onda cuadrada en el gráfico de barras en esta sección, notará que podemos reproducir la onda cuadrada con solo unos pocos números de la gráfica (realmente solo necesitamos las amplitudes ya que los números de frecuencia son solo una secuencia de números enteros- números enteros impares para el cuadrado ola). Si queremos almacenar una imagen de la ola necesitaríamos mucho espacio en disco en nuestro equipo. Si en cambio almacenamos los números (número de amplitud y frecuencia) y reconstruimos la onda a partir de estos componentes cuando la necesitemos podemos mantener la misma información en mucho menos espacio en disco. Como discutiremos más adelante, los diversos formatos de archivo utilizados para comprimir imágenes, sonido y películas (JPG, MPEG, etc.) se basan en esta idea y de hecho son versiones del análisis de Fourier.

También notarás por las simulaciones y ejercicios que para la onda cuadrada, cuantos más términos se incluyan en la serie de Fourier, más se verá la onda como una onda cuadrada. Una onda sinusoidal pura es suave y no tiene una ubicación horaria específica, ni inicio ni fin. Debido a esta suavidad y tiempo inespecífico solo se requiere un término en la Serie de Fourier para describirlo. La onda cuadrada, sin embargo, tiene un borde muy afilado en un momento específico. Esto requiere muchas frecuencias en la Serie de Fourier (técnicamente un número infinito para hacer un borde perfectamente afilado). Cuando se analizan pulsos cortos de sonido como clics, choques de platillos y golpes de percusión de Fourier muestran un gran número de frecuencias y cuanto más corto es el pulso de sonido, más frecuencias están presentes. Este es un ejemplo del principio de incertidumbre que dice que hay un intercambio en lo que sabes sobre cuándo ocurre un sonido y lo que sabes sobre las frecuencias que están presentes en el sonido. Para la onda sinusoidal se puede saber mucho sobre la frecuencia (tiene exactamente un número que representa la frecuencia) pero no mucho sobre cuándo ocurre. Para un choque de platillos puedes saber más sobre cuándo ocurre pero a costa de tener que preocuparte por muchas frecuencias. El principio de incertidumbre de tiempo/frecuencia es solo uno de varios que se encuentran en la física pero es el único que necesitamos para entender el sonido.