10.1.1: Resonancia de cuerda

Recordemos que la velocidad de una ola en una cuerda está determinada por la densidad y tensión;\(v=(T/\mu )^{1/2}\) donde\(T\) está la tensión en la cuerda en Newtons y\(\mu\) es la masa por longitud en kilogramos por metro). También sabemos que una vez que se fija la velocidad, la frecuencia (en Hertz) y la longitud de onda (en metros) son inversamente proporcionales;\(v=f\lambda\). Entonces los tres parámetros que determinan las frecuencias de una cuerda son tensión, densidad (masa por longitud) y longitud. La densidad de una cuerda está determinada por el grosor y la masa; una cuerda gruesa y pesada es más densa por lo que las olas viajan más lentamente.

Para las ondas estacionarias en una cuerda los extremos son fijos y la cuerda no se mueve. Los lugares donde la picadura no está vibrando se llaman nodos. Esto limita las longitudes de onda que son posibles lo que a su vez determina las frecuencias ya que la velocidad es fija y\(v=f\lambda \). La frecuencia más baja se llama el fundamental o primer armónico. Para una cadena, las frecuencias más altas son todas múltiplos de lo fundamental y se llaman armónicos o parciales. El término más general armónico se utiliza para indicar frecuencias mayores que las fundamentales que pueden o no ser armónicas. Esto puede resultar un poco confuso porque para las cuerdas solo hay armónicos y el segundo armónico es el primer armónico, etc. Los diversos armónicos (armónicos) también se llaman los modos normales de vibración de la cuerda.

¿Qué longitudes de onda caben en una cadena de longitud\(L\)? Tiene que haber un nodo en cada extremo así que tiene que ser el caso de que\(L=n\lambda /2\) donde\(n\) esté un número entero. Es decir, se puede tener media onda en la cuerda (\(n=1\)), una onda (\(n=2\)), una onda y media (\(n=3\)), etc. pero nunca se tiene ninguna otra fracción de una onda porque eso requeriría no tener un nodo en ambos extremos.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Observe que los armónicos superiores tienen nodos en otras ubicaciones además de solo en los extremos. Entre dos nodos hay una región donde las vibraciones son máximas. Estos se llaman antinodos. El fundamental tiene un antinodo el ^2º armónico tiene dos antinodos.

Una vez que se elige la densidad y tensión de la cuerda, la velocidad es fija y las frecuencias dependerán de la longitud de onda como se muestra en la siguiente tabla. Observe que los armónicos son todos múltiplos de lo fundamental.

Número armónico	Longitud de onda	Frecuencia\(f=v/\lambda\)
\(n=1\)	\(\lambda_{1}=2L\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{1}=v/\lambda_{1}\)
\(n=2\)	\(\lambda_{2}=L=\lambda_{1}/2\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{2}=v/\lambda_{2}=2f_{1}\)
\(b=3\)	\(\lambda_{3}=\frac{2}{3}L=\lambda_{1}/3\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{3}=v/\lambda_{3}=3f_{1}\)
\(n=4\)	\(\lambda_{4}=\frac{1}{2}L=\lambda_{1}/4\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{4}=v/\lambda_{4}=4f_{1}\)
\(n=5\)	\(\lambda_{5}=\frac{2}{5}L=\lambda_{1}/5\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{5}=v/\lambda_{5}=5f_{1}\)
\(n\)	\(\lambda_{n}=\frac{2}{n}L=\lambda_{1}/n\)	\ (f=v/\ lambda\) ">\(f_{n}=v/\lambda_{n}=nf_{1}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

En el Capítulo 4 definimos resonancia como el caso cuando la amplitud de la vibración se hizo mayor porque la frecuencia de conducción coincidía con la frecuencia natural. Aquí vemos que hay muchas frecuencias naturales. Esto significa que hay muchas frecuencias de resonancia. Para una cadena estos son todos los armónicos (múltiplos de número entero) de lo fundamental. En una cuerda real que se arranca o se dobla, suele darse el caso de que varias de estas frecuencias de resonancia están presentes al mismo tiempo. Esto quiere decir que los instrumentos musicales suelen producir no sólo un fundamental, sino también armónicos que le dan al instrumento su timbre.