10.3.1: Resonancias superficiales

Si arreglas una cuerda en ambos extremos en el espacio libre sin cuerpo resonante unido a ella la cuerda no emite mucho sonido. Conectar la cuerda a una superficie que vibra permite que la energía de la cuerda se mueva hacia la superficie y haga que vibre. Una superficie grande puede mover mucho más aire, resultando en un sonido mucho más fuerte.

Se podría pensar que esto viola la conservación de energía; una cuerda vibrante en el aire no produce mucho sonido pero una cuerda unida a una superficie sí. Pero la conservación de la energía es una ley fundamental de la física que no se puede romper. Entonces, ¿qué está pasando? Si cronometras cuánto tiempo vibra una cuerda libre y la comparas con cuánto tiempo vibrará si se adhiere a una superficie encuentras algo interesante. Cuando se une a una superficie, las vibraciones de la cuerda mueren mucho más rápidamente. En otras palabras, debido a que la energía se está utilizando para crear mucho sonido, se disipa mucho más rápido. Una cuerda libre puede vibrar más tiempo porque no disipa su energía haciendo sonido.

Las cuerdas vibratorias tienen resonancias con diferentes números de puntos nodales, lugares en la cuerda que no vibran. Estos dependen de la frecuencia de conducción. Algo similar sucede con las superficies; hay frecuencias de resonancia que resultan en lugares donde no se produce mucha vibración. Estas ubicaciones están unidas entre sí en líneas nodales que dependen de la forma y grosor de la superficie. Una forma de ver estas líneas es impulsar la superficie con un oscilador y poner polvo o sal sobre la superficie. El polvo no se moverá de la línea nodal sino que será arrojado fuera de las regiones antinodales, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplos de video/audio:

• Placa chladni. Observe que a medida que aumenta la frecuencia ocurren diferentes líneas nodales, al igual que diferentes nodos ocurrieron en la cadena a diferentes frecuencias. Si escuchas con atención este video puedes escuchar que hay más sonido cuando la placa alcanza una resonancia. Esto se debe a que la amplitud es mayor a la frecuencia de resonancia (como se esperaba).
• Las placas planas de diversas formas llamadas placas Bell, sintonizadas a frecuencias específicas, se han utilizado durante mucho tiempo como sustitutos económicos de las campanas.

Sabemos que los instrumentos de cuerda tienen frecuencias armónicas que son múltiplos de lo fundamental. Este es el caso porque la cadena es de una longitud fija; la onda más larga que puede existir en la cadena (con extremos fijos) tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cadena. La siguiente longitud de onda que puede caber es la longitud exacta de la cuerda; la siguiente longitud de onda que cabrá es\(1.5\) multiplicada por la longitud de la cuerda y así sucesivamente como vimos anteriormente en el capítulo sobre instrumentos de cuerda. Las longitudes de onda entre estas no tendrían un nodo en ambos extremos y por lo tanto no pueden existir en la cadena. Cada una de estas diferentes formas de vibrar está etiquetada por el número\(n\); se etiqueta la fundamental\(n=1\), se etiqueta el segundo armónico\(n=2\), etc. Este número, llamado número de modo indica cuántos antinudos hay en la cadena.

Las superficies de varias formas (redondas, rectangulares, cuadradas) sin embargo, son bidimensionales y por lo tanto requerirán dos números de modo\(m\),\(n\) y, etiquetar cada modo de vibración. Para una superficie rectangular fijada en los bordes podemos etiquetar las dos dimensiones como\(x\) y\(y\) y hay formas de onda sinusoidal en la\(x\) dirección -y en la\(y\) dirección -con nodos en los bordes, al igual que una cuerda, como se muestra en la siguiente simulación.