11.1.1: Resonancia de Tubo

En un instrumento basado en tubo las ondas son creadas en un extremo del tubo por algo que vibra y viaja hasta el final del tubo y se refleja como se muestra en las animaciones en la parte inferior de esta página. Una onda estacionaria es creada por las olas que viajan en cada dirección. Dado que la ola viaja en el aire se moverá a la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente. También será cierto para las olas en un tubo que\(v=f\lambda\) donde\(f\) está en Hertz y\(\lambda\) es la longitud de onda en metros. Al igual que en el caso de las cuerdas, la longitud de un tubo determina la frecuencia de una onda estacionaria en el tubo. Existen varias complicaciones, sin embargo, dependiendo de si uno o ambos extremos están cerrados o abiertos.

Las cadenas siempre tienen nodos de desplazamiento en cada extremo ya que la cadena está fija allí y no puede moverse. Para un tubo, sin embargo, si un extremo está abierto el aire puede moverse libremente y así hay un antinodo de desplazamiento (el punto de máximo movimiento de aire) en ese extremo.

Sin embargo, la presión en el tubo es diferente al desplazamiento. Dado que el aire puede moverse en los extremos no genera ninguna presión por lo que en estas ubicaciones (los extremos) habrá un nodo de presión donde la presión permanece constante. En el centro donde el aire no puede moverse la presión tiene grandes oscilaciones y hay un antinodo de presión. Las siguientes dos gráficas muestran la onda de desplazamiento y la onda de presión de la fundamental para un tubo abierto en ambos extremos.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Figura\(\PageIndex{2}\)

Para que un tubo de longitud\(L\) tenga un nodo de presión en cada extremo tiene que ser el caso de que\(L=n\lambda /2\) donde\(n\) esté un número entero. Es decir, se puede tener media onda en el tubo (\(n=1\)), una onda (\(n=2\)), una onda y media (\(n=3\)), etc. pero nunca se tiene ninguna otra fracción de una onda porque eso requeriría no tener un nodo en ambos extremos. La presión en un tubo que está abierto en ambos extremos da armónicos exactamente lo mismo que una cuerda (mira hacia atrás al capítulo anterior para verificar esto):

Frecuencias para un tubo abierto en ambos extremos
Número armónico	Longitud de onda	Frecuencia
\(n=1\)	\(\lambda_{1}=2L\)	\(f_{1}=v/\lambda_{1}\)
\(n=2\)	\(\lambda_{2}=L=\lambda_{1}/2\)	\(f_{2}=v/\lambda_{2}=2f_{1}\)
\(n=3\)	\(\lambda_{3}=\frac{2}{3}L=\lambda_{1}/3\)	\(f_{3}=v/\lambda_{3}=3f_{1}\)
\(n=4\)	\(\lambda_{4}=\frac{1}{2}L=\lambda_{1}/4\)	\(f_{4}=v/\lambda_{4}=4f_{1}\)
\(n\)	\(\lambda_{n}=\frac{2}{n}L=\lambda_{1}/n\)	\(f_{n}=v/\lambda_{n}=nf_{1}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Para muchos instrumentos musicales que están hechos de un tubo, el tubo está cerrado por un extremo pero abierto en el otro. Si el extremo está cerrado el aire no puede moverse por lo que la presión fluctúa y hay un antinodo de presión (ver la simulación a continuación). Esta misma ubicación es un nodo de desplazamiento porque el aire no se mueve. Las gráficas a continuación son del desplazamiento y las ondas de presión para un tubo cerrado en un extremo.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

Para que un tubo de longitud\(L\) tenga un nodo de presión en un extremo pero un antinodo de presión en el otro, la longitud de onda más baja posible viene dada por\(L=n\lambda /4\) donde\(n\) está un número entero. Observe que esta es la mitad de la longitud de onda más baja disponible para una tubería con dos extremos abiertos. El requisito de tener un antinodo de presión en el extremo cerrado significa que las frecuencias numeradas pares faltarán en un tubo cerrado en un extremo como se muestra en las siguientes gráficas de los tres primeros armónicos disponibles para una tubería cerrada en un extremo.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Entonces, para un tubo abierto en ambos extremos las frecuencias disponibles son las fundamentales,\(f_{1},2\times f_{1},3\times f_{1},\) etc. pero para un tubo que se cierra en un extremo solo\(f_{1}\) están disponibles múltiplos impares de lo fundamental:\(3\times f_{1},5\times f_{1},\) etc. La siguiente tabla da las frecuencias disponibles a un tubo que está cerrado en un extremo.

Frecuencias para un tubo abierto en un extremo
Número armónico	Longitud de onda	Frecuencia
\(n=1\)	\(\lambda_{1}=4L\)	\(f_{1}=v/\lambda_{1}\)
\(n=2\)	no existe	faltante
\(n=3\)	\(\lambda_{3}=\frac{4}{3}=\lambda_{1}/3\)	\(f_{3}=v/\lambda_{3}=3f_{1}\)
\(n=4\)	no existe	faltante
\(n\)(impar)	\(\lambda_{n}=\frac{4}{n}L=\lambda_{1}/n\)	\(f_{n}=v/\lambda_{n}=nf_{1}\). \(n\)impar

Mesa\(\PageIndex{2}\)

Si comparas la tabla anterior con la de un tubo abierto en ambos extremos notarás dos cosas. Para una longitud dada,\(L\) el tubo con un extremo cerrado tiene una frecuencia fundamental más baja (longitud de onda más larga) y solo tiene frecuencias impares. Esto afecta las frecuencias disponibles del instrumento y así afecta al timbre. La mayoría de los instrumentos de tubo están cerrados en un extremo porque el músico que toca el instrumento tiene su boca sobre un extremo. Las flautas de pan son interesantes porque el extremo inferior está cerrado y el intérprete sopla a través del extremo abierto.

Como se mencionó anteriormente, el canal auditivo del oído actúa como un tubo con un extremo cerrado. En la tabla para el armónico\(n=1\) tenemos la\(L=n\lambda /4\) cual determina la longitud de onda fundamental para el canal auditivo. La frecuencia fundamental para este tubo resulta ser alrededor\(3500\text{ Hz}\) y aquí es donde la audición humana es la más sensible como vimos en la tabla de Nivel de Intensidad Sonora en el Capítulo 8.

A menos que la tubería sea muy estrecha en comparación con su longitud, es necesario hacer una ligera corrección a las fórmulas anteriores. Sabemos que una onda estacionaria dentro de un tubo se forma a partir de ondas que se reflejan desde los extremos (al igual que las ondas estacionarias en una cuerda). Resulta que para un extremo abierto, la ola no se refleja exactamente al final del tubo. Para “sentir” la diferencia de presión al final y ser reflejada va un poco más allá del final antes de ser reflejada. El efecto es como si la tubería fuera un poco más larga y esta longitud extra depende del radio del tubo. Para una tubería de radio\(r\), la cantidad extra resulta ser (después de algunos cálculos sofisticados)\(0.61r\). Las fórmulas para el tubo abierto en un extremo se pueden corregir reemplazando\(L\) en la tabla anterior con\(L+0.61r\). Para un solo extremo abierto lo fundamental será dado por\(\lambda_{1}=4(L+0.61r)\). En el caso de dos extremos abiertos la longitud extra se agrega dos veces por lo que lo fundamental es\(\lambda_{1}=2(L+1.22r)\).

A diferencia de un instrumento de cuerda donde la velocidad de la onda en la cuerda se puede cambiar cambiando la densidad y/o tensión, la velocidad del sonido en el aire a una temperatura dada es fija. La frecuencia fundamental de una cuerda se puede cambiar cambiando la densidad, tensión o longitud, pero la única manera de cambiar la frecuencia fundamental de un instrumento de tubo es cambiar la longitud del tubo. Hay varias formas de hacerlo, como veremos a continuación.

Ejemplos de video/audio:

• En realidad, el párrafo anterior no es del todo correcto; hay una manera de cambiar la frecuencia de un tubo sin cambiar su longitud. Si la densidad del gas en el interior cambia, la velocidad del sonido cambiará y esto cambiará las frecuencias en el tubo. Los instrumentos de tubo estarán ligeramente desafinados en un día frío en comparación con un día caluroso debido al cambio en la densidad del aire con la temperatura. La frecuencia también cambiará si el tubo se llena con un gas distinto al aire como se muestra en este YouTube de trombón y trompeta llenos de diferentes gases.
• Animaciones de tubos abiertos y cerrados.
• Visualización de sonido en un tubo usando un tubo Kundts (relleno con bolas de espuma de poliestireno).
• Visualización de sonido en un tubo usando un tubo Rubens.