1.8: Ondas bidimensionales

Tutorial 1.8: Ondas bidimensionales

Hasta el momento estas simulaciones sólo han mostrado ondas unidimensionales. A pesar de que hay movimiento perpendicular a la dirección que la onda viaja para una onda transversal, la función que describe la onda es una función de una sola variable espacial,\(x\). Sin embargo, las olas pueden existir en dos o tres dimensiones. Un ejemplo es una onda plana donde el frente de ola o cresta de la ola forma una línea (en dos dimensiones) o un plano (en tres dimensiones). También existen ondas circulares (en dos dimensiones) y ondas esféricas (en tres dimensiones). La presente simulación muestra ondas planas y circulares en dos dimensiones.

La simulación a continuación comienza mostrándote una onda plana en dos dimensiones viajando en el\(x-y\) plano, en la\(x\) dirección, vista desde arriba. En estas simulaciones la amplitud (en la\(z\) dirección, hacia ti) se representa en escala de grises. Cuando la onda tiene una amplitud positiva el color es blanco, cuando la amplitud es cero el color es gris claro y cuando la amplitud es negativa el color es negro. La longitud de onda\(\lambda\) es en centímetros y el periodo,\(T\) es en segundos.

Ondas bidimensionales

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Haga clic en el botón 'play' con la onda plana seleccionada. Experimentar con longitud de onda y periodo. ¿La simulación es precisa para representar una velocidad fija para una onda real? ¿Cómo lo sabes? Consulta 1.2 sobre la velocidad de las olas si no estás seguro de tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Se puede utilizar esta representación para describir ondas longitudinales así como ondas transversales? ¿Por qué o por qué no?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

La respuesta a la pregunta anterior es 'sí'. ¿Qué representarían los colores blanco, gris y negro si se tratara de una representación de una onda longitudinal?

Tenga en cuenta que la onda que se muestra es realmente una función de solo dos variables,\(x\) y\(t\). Para una onda que viaja en la\(x\) dirección la amplitud es la misma para cualquier valor de\(y\) por lo que la ecuación que la describe es exactamente la misma que la onda unidimensional que hemos visto antes:\(z(x, y, t)=z(x, t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi )\). Este tipo de onda se llama onda plana.

La ecuación para una onda plana que viaja en una dirección arbitraria en el\(x- y\) plano viene dada por\(z(x, y, t)=A\sin (k_{1}x+k_{2}y-\omega t+\varphi )\) dónde\(z(x, y, t)\) está la altura de la ola en la ubicación\((x, y)\) en el momento\(t\). Ahora el número de onda se\(k\) ha convertido en un vector de onda con componentes\(k_{1}=k\cos\theta\) y\(k_{2}=k\sin\theta\) dónde\(\theta\) está el ángulo entre la dirección en la que viaja la onda y el\(x\) eje. Esta ecuación también se puede escribir usando un producto de punto vectorial como\(z(x, y, t)=A\sin (\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi )\) donde\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{k}\) son vectores con componentes en las\(z\) direcciones\(x,\: y\) y (para ondas que se mueven en tres dimensiones). El vector\(\mathbf{r}\) da la dirección en la que viaja la onda y el vector de onda\(\mathbf{k}\) tiene componentes de la longitud de onda en cada dirección.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Para qué ángulo\(\theta\),, la ecuación de una onda plana en una dirección arbitraria llega a ser la misma que la ecuación para una onda en la\(x\) dirección?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ahora selecciona el botón de onda circular. Supongamos que esta simulación de ondas circulares representa ondas en una olla de agua. Dada una olla de agua y otros equipos de su elección en el laboratorio, ¿cómo podría crear estas olas? Explique el procedimiento en detalle.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

¿Qué está pasando con la curvatura de las olas a medida que se alejan de la fuente? ¿Se está volviendo más o menos como una onda de avión? Explique por qué es razonable pensar en la luz del sol como ondas planas cuando la luz llega a la tierra, a pesar de que en realidad son ondas esféricas que se mueven hacia afuera en todas direcciones desde el sol.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La simulación de onda circular no es física en un sentido porque la amplitud de la onda circular no cambia a medida que el diámetro aumenta. ¿Por qué es esto poco realista? ¿Esperarías que la amplitud de una onda circular sea la misma una vez que se haya extendido a una distancia muy grande de la fuente? Explique.

Como se señaló anteriormente la Intensidad de una ola se define como la potencia por metro cuadrado y se mide en\(\text{W/m}^{2}\). La potencia es energía transmitida por tiempo y la energía de una onda es proporcional a la amplitud al cuadrado por lo que la intensidad también será porcional a la amplitud cuadrada.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

En la simulación, ¿cambia la intensidad de la onda circular a medida que se aleja de la fuente? ¿En qué se diferencia esto en el caso de las ondas reales (por ejemplo, el sonido) a medida que se aleja de la fuente?

Muchas ondas se extienden en tres dimensiones desde lo que es esencialmente una fuente puntual, por ejemplo una pequeña lámpara envía luz en casi todas las direcciones. La superficie de una esfera, centrada en la fuente puntual, atraparía todas las ondas de la fuente. Esta esfera imaginaria tiene una superficie de\(4\pi r^{2}\) donde\(r\) está la distancia desde la fuente. Por lo que a una distancia de\(r\) la energía que dejó la fuente se extiende por área\(4\pi r^{2}\). Esto significa que la energía por área es\(E/4\pi r^{2}\) y así disminuye a medida que\(1/r^{2}\). Así podemos concluir que la intensidad de una onda esférica es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que la intensidad de una onda esférica está\(80\text{ W/m}^{2}\) a una distancia de un metro. ¿Cuál es la intensidad en\(2\text{ m}\)? \(4\text{ m}\)? \(1/4\text{ m}\)?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Si la amplitud al cuadrado es proporcional a la intensidad, ¿en qué factor cambia la amplidue de la onda en la pregunta anterior al pasar de\(1\text{ m}\) a\(2\text{ m}\)? ¿Cuánto cambio hay al pasar de\(1\text{ m}\) a\(1/4\text{ m}\)?