3.9: Dispersión de componentes de Fourier
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Tutorial 3.9: Dispersión II
En la simulación 2.5 de la serie de Fourier encontramos que las formas complicadas de onda periódica siempre se pueden construir a partir de funciones sinusoidales y/o cosenales de diferentes frecuencias y longitudes de onda. En la simulación anterior encontramos que diferentes longitudes de onda pueden viajar a diferentes velocidades dependiendo del medio. Entonces, ¿qué pasa con una forma de onda compleja si viaja a través de un medio donde los componentes individuales tienen diferentes velocidades?
Podemos escribir una serie de Fourier para una onda cuadrada que se mueve en el tiempo y el espacio como\(y(x,t)=\sum_{n=1}A_{n}\sin (nkx-n\omega t)\) donde\(n\) está el número del armónico o modo (\(n=1\)para lo fundamental,\(2\) para el segundo armónico etc.),\(A_{n}\) es la amplitud del armónico\(n\),\(k\) es el vector de onda y \(\omega\)es la frecuencia angular. Recordemos de la simulación 2.3 que la velocidad de grupo de una combinación de ondas es\(v_{\text{group}}=\partial\omega (k)/\partial k\). La dependencia de\(\omega\) on\(k\) se llama relación de dispersión. En un vacío o medio sin dispersión esperamos que cada componente de la serie tenga la misma velocidad\(v=\omega /k\), por lo que la relación de dispersión es\(\omega (k)=kv\) y la velocidad del grupo es\(v\), la misma que la de los componentes individuales. En este caso la onda cuadrada no cambiaría de forma a medida que viaja.
En la vida real, sin embargo, suele darse el caso de que la frecuencia angular\(\omega (k)\),, no es una función lineal del vector de onda,\(k\) en cuyo caso los componentes individuales de la serie de Fourier viajan a diferentes velocidades. Si diferentes frecuencias de una onda viajan a diferentes velocidades el efecto se llama dispersión. Como vimos en la simulación anterior, la dispersión provoca la separación de colores por prismas, gotas de agua, etc. En esta simulación exploramos un aspecto diferente de la dispersión.
Dispersión
Preguntas:
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
La simulación comienza con los primeros cuatro componentes de la serie de Fourier para una onda cuadrada viajera sin dispersión. Juega la simulación y describe lo que le sucede a la forma a medida que pasa el tiempo.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Dado que la velocidad de una onda sinusoidal es\(v=\omega /k\), cuáles son las velocidades de los cuatro primeros componentes de la onda cuadrada:\(y(x,t)=\sin (1\ast x-1\ast t)+\sin (3\ast x-3\ast t)/3+\sin (5\ast x-5\ast t)/5+\sin (7\ast x-7\ast t)/7\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
¿Cuál sería el quinto término en la serie de Fourier de una onda cuadrada? Agrega tu respuesta a los primeros cuatro términos y ve si la forma está más cerca de una onda cuadrada. Se requeriría un número infinito de términos para crear una onda cuadrada perfecta pero podemos acercarnos lo más que queramos agregando tantos términos como sea necesario.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Haga clic en 'restablecer' y luego cambie la frecuencia angular del segundo término de\(3\) a\(2.95\) y presione enter. Esto hará que el segundo término tenga una velocidad ligeramente diferente. ¿Cuál es esta nueva velocidad para el segundo mandato? ¿Cómo se compara la forma inicial con la forma inicial en cuestión\(\PageIndex{1}\) (si reinicias antes de introducir el cambio deberían ser idénticas)?
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Ahora toca la simulación para la ola en la pregunta anterior. ¿Qué pasa con la forma de la onda cuadrada en este caso a medida que pasa el tiempo?
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Restablecer al caso original y cambiar la frecuencia angular del tercer término de\(5\) a\(4.95\). ¿Qué efecto tiene esto en el comportamiento de la ola?
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Con base en las dos preguntas anteriores, explique qué pasaría con una señal digital (que básicamente es una serie de ondas cuadradas) que viaja por un cable (ya sea cables o fibra óptica) donde hay una pequeña cantidad de dispersión.
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Todos los cables (fibra óptica o metal) tienen alguna dispersión. ¿Por qué hay un límite de cuánto tiempo puede durar un cable antes de que una señal que viaja en él tenga que pasar a través de un relé (donde la señal se amplifica y se “limpia”)?