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LibreTexts Español

10.5.1: Abertura circular

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

La abertura será iluminada por una onda plana. Trabajaremos en aproximación de FRAUNHOFER. Al enfrentar cualquier problema de este tipo tenemos que especificar

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Figura 10.5.1.1: Coordenadas polares ρ,θ en el plano focal imagen. El origen está desplazado fkyk en el eje y y fkxk en el eje x.
  1. Cómo es la abertura (función t(ξ,η)). En este caso t(P)=1PΣ y t(P)= 0PΣ.
  2. Cómo es la iluminación (función u(ξ,η). En este caso es una onda plana

u(ξ,η)=u0ei(kxξ+kyη)

con u0 constante (evaluado en z=0 ).

Este caso tan sencillo ilustrará el fenómeno de la difracción. Queremos saber cómo será la onda en el plano focal imagen. Recordemos que hemos tirado a la basura el factor temporal eiωt, suponiendo tácitamente que está en todas partes pero ahorrándonos escribirlo.

Para resolver el problema sólo queda abordar la integral encontrando un buen sistema de coordenadas:

ξ=ρcosθη=ρsinθ

También tomaremos polares (con respecto a un punto que no es el origen) en el plano focal imagen (ver figura 10.9)

x=fkxk+ρcosθy=fkyk+ρsinθ

Tenemos dos exponenciales complejas (la de la iluminación y la del núcleo integral) que se pueden fundir como sigue

ˆu(x,y)Σu0ei((kxkxf)ξ+(kykyf)η)dξdη

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Figure 10.5.1.2: I(ρ)I(0) en función de kRfρ

la forma del exponente explica la elección de coordenadas para el plano focal imagen

ˆu(x,y)R0ρdρ2π0dθu0eikfρρ(cosθcosθ+sinθsinθ)

el paréntesis es igual a cos(θθ), así que

ˆu(x,y)R0ρdρ2π0dθu0eikfρρ(cos(θθ))

esta integral no va a depender de θ porque da lo mismo qué límites tenga la integral mientras abarque una circunferencia.

ˆu(x,y)R0ρdρ2π0dθu0eikfρρcosθ

La onda va a depender sólo de la variable ρ. Estas integrales necesitan para su resolución de las funciones de BESSEL.

ˆu(ρ)2πR0ρdρJ0(kρρf)

para llegar a la forma final tenemos aún que incluir otra función de BESSEL:

ˆu(ρ)fkρRJ1(kRρf)

Normalmente estaremos más interesados en intensidades que en campos,

I(ρ)|ˆu(ρ)|2I(ρ)=I0(2J1(kRfρ)kRfρ)2

donde I0 contiene todas las constantes que han ido apareciendo y algunas más que son necesarias.

La magnitud de los máximos decae en picado, por lo que basta con considerar el principal y, como mucho, los dos secundarios. La imagen en el plano focal se muestra en la figura. Centrado en el punto 0 de las polares especiales veríamos un círculo intenso y una serie de anillos concéntricos progresivamente más tenues en torno a él. 10 Difracción

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Figura 10.5.1.3: Aspecto en el plano focal imagen.

Interpretación

  1. La distribución de intensidad que aparece en el plano focal imagen es lo que llamamos difracción, puesto que lo que se vería, de ser válida la OG1, sería un punto allí donde realmente vemos una mancha rodeada por anillos. Dicho de otro modo, después de la abertura la OE nos dice que no tenemos una onda plana 2, pues de ser así obtendríamos una imagen puntual.
  2. El tamaño de la mancha central se puede calcular obteniendo el radio del máximo central (que concentra el 84% de la luz). El radio del primer cero de la función de la figura es

2πλRfr=1.220πr=1.22λ2Rf

a) La dependencia con f es irrelevante (cuanto más lejos esté el plano, proporcionalmente más grande se proyecta la mancha).

b) En cuanto a R, la mancha central es inversamente proporcional en tamaño a la abertura de la fuente (tampoco el R puede ser demasiado pequeño si queremos conservar la validez del principio de HUYGENS-FRESNEL). En la vida ordinaria no vemos los efectos de la difracción 6 porque la luz raramente encuentra aberturas lo suficientemente pequeñas.

c) La mancha crece linealmente en tamaño con la longitud de onda. Si iluminamos con luz blanca, cada componente monocromática da lugar a una figura de difracción. La distribución de intensidad sería coloreada, porque las figuras de diversas λ no coinciden entre sí. Algunos textos plantean la óptica geométrica como el límite en que λ0 (cuando λ es tan pequeña que permite descartar la difracción para un orden de magnitud dado de tamaño de rendija).

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Figure 10.5.1.3:

Llamaremos D la distancia mutua de los objetos puntuales, L a su distancia al instrumento, f a la focal del sistema y d a la distancia entre las dos imágenes formadas.

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Figure 10.5.1.4: Puntos resueltos y no resueltos. Situación intermedia.
Ejemplo 10.5.1.1

Para una onda monocromática de λ=500nm ¿cuál es el tamaño de la mancha central de difracción causada por una abertura circular de R=1 mm tras pasar por una lente de f=10 cm ?

Solution

La solución es R=20μm. Se trata de un efecto relativamente pequeño.

_____________________________________________________________________________

1. según la cual una abertura iluminada por un haz de rayos paralelos produce una imagen puntual tras pasar por la lente convergente.

2. tal vez sea una colección de ondas planas, pero no una única.

3. Las pequeñas manchas coloreadas que vemos al mirar al cielo en los alrededores del sol podrían estar causadas por la difracción de su luz en motas de polvo de las pestañas. 10.5 Círculos. .


10.5.1: Abertura circular is shared under a CC BY-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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