10.8: Red de difracción. Poder resolutivo

Encontraremos analogías con el problema de interferencia de infinitas ondas representado por un FABRY-PEROT. El objetivo es obtener algo que en su parte de interferencia se comporte como el FP. El montaje se muestra en la figura 10.23. Cada rendija la identificaremos por un $\Sigma_{i}$. La distancia entre las rendijas es siempre la misma, $d$. La oap se aproxima formando un ángulo $\theta$ con el eje $z$. Se puede decir que $\mathbf{k} \in \xi z\left(k_{y}=0\right)$, $k_{x}=k \sin \theta .$

Observamos la onda difractada sobre una pantalla que podemos parametrizar por coordenadas lineales (como $x^{\prime}$ ) o angulares (como $\left.\theta^{\prime}\right)$.

La integral que aparece en la aproximación de FF la simbolizaremos por $\int$. Esta integral debe estar extendida a $\bigcup_{j} \Sigma_{j}$, es decir

$$\hat{u} \propto \int_{\bigcup_{j=1}^{N} \Sigma_{j}}=\sum_{j=1}^{N} \int_{\Sigma_{j}} \notag$$

haciendo las mismas operaciones de cambio de variable que con la doble rendija, lo que obtenemos es una serie de fases que salen de las integrales

$$\hat{u} \propto \int_{\Sigma_{1}}+e^{-i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+e^{-2 i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi} \int_{\Sigma_{1}} \notag$$

(el factor que cambia en el exponente es debido a que vamos pasando de $d$ a $2 d$ a $3 d$, etc.). En general

$$\begin{gathered} \hat{u} \propto\left(1+e^{-i \varphi}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi}\right) \int_{\Sigma_{1}} \\ \propto(\operatorname{sinc}(\phi)) \times \sum_{j=1}^{N} e^{-i(j-1) \varphi} \end{gathered}$$

lo que cambia respecto a la doble rendija es que tenemos un primer factor que es interferencia de $N$ ondas, y no de dos. Por otra parte, no es exactamente como el FP, puesto que en este teníamos $\infty$ ondas interfiriendo. $Y$ el otro factor es la difracción de una sola onda, que modula la inteferencia del resto.

Las $\phi$ y $\varphi$ son las mismas variables que en la doble rendija. Sumando la serie geométrica

$$\hat{u}=\frac{1-e^{-i N \varphi}}{1-e^{-i \varphi}} \operatorname{sinc}(\phi) \notag$$

haciendo el módulo al cuadrado y sacando factor común

$$I\left(x^{\prime}\right) \propto\left(\frac{\sin \left(N \frac{\varphi}{2}\right)}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^{2} \times \operatorname{sinc}^{2} \phi \notag$$

tenemos un factor $I_{d}$ de interferencia de $N$ ondas y otro de difracción, ya conocido: $I_{a}$.

• 10.8.1: Análisis del factor de interferencia

• 10.8.2: Modulación de la interferencia por la difracción