1.2: Topografía espacio-tiempo

en desacuerdo sobre las separaciones en el espacio y el tiempo; acordar el intervalo espacio-tiempo

La parábola de los topógrafos ilustra el ingenuo estado de la física antes del descubrimiento de la relatividad especial por parte de Einstein de Berna, Lorentz de Leiden y Poincaré de París. ¿Ingenuo de qué manera? Tres puntos centrales comparan la física a principios del siglo XX con la topografía antes de que el estudiante llegara para ayudar a Daytimers y Nighttimers.

Primero, los topógrafos del reino mítico midieron separaciones hacia el norte en una unidad sagrada, la milla, diferente de la unidad utilizada para medir las separaciones hacia el este. De igual manera, las personas que estudiaban física midieron el tiempo en una unidad sagrada, llamada la segunda, ¹ diferente de la unidad utilizada para medir el espacio. Nadie sospechó los poderosos resultados de usar la misma unidad para ambos, o de cuadrar y combinar separaciones de espacio y tiempo cuando ambas se midieron en metros. El tiempo en metros es justo el tiempo que tarda un flash de luz para ir a esa cantidad de metros. El factor de conversión entre segundos y metros es la velocidad de la luz,\(c=299,792,458\) metros/segundo. La velocidad de la luz\(c\) (en metros/segundo) multiplicada por el tiempo\(t\) (en segundos) rinde\(c t\) (en metros).

La velocidad de la luz es la única constante natural que tiene las unidades necesarias para convertir un tiempo a una longitud. ² Históricamente el valor de la velocidad de la luz fue considerado como un número sagrado. No se reconoció como un mero factor de conversión, como el factor de conversión entre millas y metros, factor que surgió de un accidente histórico en la elección de unidades por parte de la humanidad para el espacio y el tiempo, sin una significación física más profunda.

Segundo, en la parábola las lecturas hacia el norte registradas por dos topógrafos no difirieron mucho porque las dos direcciones del norte estaban inclinadas entre sí solo por el pequeño ángulo de\(1.15\) grados. Al principio nuestro estudiante mítico pensó que las pequeñas diferencias entre las mediciones diurnas y nocturnas hacia el norte se debían solo al error de topografía. Análogamente, solíamos pensar en la separación en el tiempo entre dos chispas eléctricas como la misma, independientemente del movimiento del observador. Solo con la publicación del artículo de relatividad de Einstein en 1905 aprendimos que la separación en el tiempo entre dos chispas realmente tiene valores diferentes para los observadores en diferentes estados de movimiento —en diferentes marcos. ³

Piense en John parado en silencio en la puerta principal de su edificio de laboratorio. De repente, un cohete que transportaba a Mary parpadea por la puerta principal junto a John, se acerca a la mitad del largo pasillo y dispara por la puerta trasera. Una antena se proyecta desde el lado del cohete de Mary. A medida que el cohete pasa por John, una chispa salta a través del espacio de 1 milímetro entre la antena y un bolígrafo en el bolsillo de la camisa de John. El cohete continúa por el corredor. Una segunda chispa salta 1 milímetro entre la antena y el extintor montado en la pared 2 metros más abajo del pasillo. Aún más tarde otros objetos metálicos más cercanos a la parte trasera reciben chispas adicionales del cohete que pasa antes de que finalmente salga por la puerta trasera.

Juan y María miden cada uno el lapso de tiempo entre “chispa de pluma” y “chispa extintora de incendios”. Utilizan relojes electrónicos precisos y rápidos. John mide este lapso de tiempo como\(33.6900\) milmillonésimas de un segundo segundo\((0.0000000336900\) segundo\(=33.6900 \times 10^{-9}\) segundo) ⁴. Esto equivale a\(33.6900\) nanosegundos en la terminología de circuitos electrónicos de alta velocidad. (Un nanosegundo\(=10^{-9}\) segundo.) Mary mide un valor ligeramente diferente para el lapso de tiempo entre las dos chispas,\(33.0228\) nanosegundos ⁵. Para John la chispa del extintor de incendios está separada en el espacio por\(2.0000\) metros de la chispa de la pluma. Para María en el cohete la chispa de pluma y la chispa del extintor ocurren en el mismo lugar, es decir, al final de su antena. Así para ella su separación espacial equivale a cero.

Posteriormente, los observadores de laboratorio y cohetes comparan sus mediciones de espacio y tiempo entre las diversas chispas (Tabla\(\PageIndex{1}\)). Las ubicaciones del espacio y los lapsos de tiempo en ambos fotogramas se miden a partir de la chispa del bolígrafo

Tabla\(\PageIndex{1}\): Ubicaciones en el espacio y el tiempo de las mismas chispas vistas por dos observadores

	Distancia y tiempo entre chispas medido por el observador que está
	de pie en laboratorio (John)		moviéndose por en cohete (Mary)
	Distancia (metros)	Tiempo (nanosegundos)	Distancia (metros)	Tiempo (nanosegundos)
Chispa de referencia (pen spark)	0	0	0	0
Chispa A (chispa extintor)	2.0000	33.6900	0	33.0228
Chispa B	3.0000	134.760	0	49.5343
Chispa C	5.0000	134.760	0	49.5343
Chispa D	8.0000	134.7600	0	132.0915

El tercer punto de comparación entre la Parábola de los Agrimensores y el estado de la física ante la relatividad especial es este: El descubrimiento del concepto de distancia por parte del estudiante mítico se corresponde con el descubrimiento de Einstein-Poincare en 1905 del intervalo espacio-tiempo invariante (nombre formal Intervalo de Lorentz, pero a menudo decimos solo intervalo), un tema central de este libro ⁶. Que cada vez que la medición en segundos se convierta en metros multiplicándola por el “factor de conversión”\(c\), la velocidad de la luz:

\ [\ begin {align*} c &=299.792.458\ text {metros/segundo}\\
&=2.99792458\ times 10^ {8}\ text {metros/segundo}\\ &=0.299792458\ tiempos 10^ {9}\ texto {metros/segundo}\\ &=0.299792458\ texto {metros/nanosegundo}\ end {align*}\]

Luego se calcula el cuadrado del intervalo espacio-tiempo a partir de las mediciones del observador de laboratorio restando el cuadrado de la separación espacial del cuadrado de la separación de tiempo. Observe el signo menos en la ecuación\(\eqref{1}\).

\[\begin{array}{ccc} & \textbf{Laboratory } & \textbf{Laboratory } \\ & (\text { interval })^{2} =\left[c \times\left(\begin{array}{c} \text { time  } \\ \text { separation } \\ \text { (seconds) } \end{array}\right)\right]^{2} & - ~ \left[\begin{array}{c} \text { space  } \\ \text { separation } \\ \text { (meters) } \end{array}\right]^{2} \end{array} \label{1}\]

El cálculo del cohete da exactamente el mismo valor del intervalo que el cálculo de laboratorio,

\[\begin{array}{ccc} & \qquad \textbf{Rocket } & \textbf{Rocket } \\ & (\text { interval })^{2} =\left[c \times\left(\begin{array}{c} \text { time  } \\ \text { separation } \\ \text { (seconds) } \end{array}\right)\right]^{2} & - ~ \left[\begin{array}{c} \text { space  } \\ \text { separation } \\ \text { (meters) } \end{array}\right]^{2} \end{array} \nonumber\]

aun cuando las respectivas separaciones de espacio y tiempo no sean las mismas. Dos observadores encuentran diferentes separaciones de espacio y tiempo, respectivamente, entre la chispa de pluma y la chispa del extintor, pero cuando calculan el intervalo espacio-tiempo entre estas chispas sus resultados coinciden (Tabla\(\PageIndex{2}\)).

Tabla\(\PageIndex{2}\): “Intervalo de espacio-tiempo invariante” de chispa de referencia a chispa A
(datos de la tabla\(\PageIndex{1}\))

Mediciones de laboratorio		Mediciones de cohetes
Lapso de tiempo	33.6900\(\times\) 10 ^-9 segundos = 33.6900 nanosegundos	Lapso de tiempo	33.0228\(\times\) 10 ^-9 segundos = 33.0228 nanosegundos
Multiplicar por \(c\) = 0.299792458 metros por nanosegundo para convertir a metros:	10.1000 metros	Multiplicar por \(c\) = 0.299792458 metros por nanosegundo para convertir a metros:	9.9000 metros
Cuadrar el valor	102.010 (metros) ^2	Cuadrar el valor	98.010 (metros) ^2
Separación espacial 2.000 metros	\(\underline{- 4.000 \text { (meters)}^{2}}\)	Separación espacial cero	\(\underline{- \qquad 0 \quad}\)
Cuadrar el valor y restar	\(=98.010 \text { (meters)}^{2}\)	Cuadrar el valor y restar	\(=98.010 \text { (meters)}^{2}\)
Resultado de la resta expresado como un número al cuadrado	\(=(9.900 \text { meters })^{2}\)	Resultado de la resta expresado como un número al cuadrado	\(=(9.900 \text { meters })^{2}\)
¿Este es el cuadrado de qué medida?	9.900 metros	¿Este es el cuadrado de qué medida?	9.900 metros

Nota

Tenga en cuenta que tanto las mediciones de laboratorio como de cohetes tienen el mismo espacio-tiempo interno del evento de refrencia.

El alumno topógrafo encontró que la invarianza de distancia se escribió de manera más simple con separaciones tanto hacia el norte como hacia el este expresadas en la misma unidad, el metro Asimismo, la invarianza del intervalo espacio-tiempo se escribe más simplemente con separaciones de espacio y tiempo expresadas en la misma unidad. El tiempo se convierte en metros:\(t\) (metros)\(=\)\(c \times t\) (segundos). Entonces el intervalo aparece en forma simplificada:

\[(\text { interval })^{2}=\left[\begin{array}{c} \text { time } \\ \text { separation } \\ \text { (meters) } \end{array}\right]^{2}-\left[\begin{array}{c} \text { space } \\ \text { separation } \\ \text { (meters) } \end{array}\right]^{2} \nonumber\]

La invarianza del intervalo espacio-tiempo —su independencia del estado de movimiento del observador— nos obliga a reconocer que el tiempo no puede separarse del espacio ⁷. El espacio y el tiempo forman parte de una sola entidad, el espacio-tiempo. El espacio tiene tres dimensiones: hacia el norte, hacia el este y hacia arriba. El tiempo tiene una dimensión: ¡adelante! El intervalo combina las cuatro dimensiones en una sola expresión. La geometría del espacio-tiempo es verdaderamente de cuatro dimensiones.

Para reconocer la unidad del espacio-tiempo seguimos el procedimiento que hace que un paisaje tome profundidad, lo miramos desde varios ángulos. Es por ello que comparamos las separaciones de espacio y tiempo entre eventos\(A\) y\(B\) como lo registran dos observadores diferentes en movimiento relativo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Por qué el signo menos en la ecuación para el intervalo? Pitágoras nos dice que AGREGAR las plazas de separaciones hacia el norte y hacia el este para obtener la plaza de la distancia. ¿Quién nos dice que restemos el cuadrado de la separación espacial entre eventos del cuadrado de su separación de tiempo para obtener el cuadrado del intervalo espacio-tiempo?

Nota

¿Conmocionado? ¡Entonces estás en camino de entender el nuevo mundo del movimiento muy rápido! Este mundo va más allá de la geometría tridimensional del libro de texto de Euclides, en la que la distancia se cuenta a partir de una suma de cuadrados. En este libro utilizamos otro tipo de geometría, llamada geometría Lorentz, más real, más potente que Euclides para el mundo de los muy rápidos. En la geometría de Lorentz, la separación espacial cuadrada se combina con la separación de tiempo al cuadrado de una nueva manera, mediante la resta. El resultado es el cuadrado de una nueva unidad llamada intervalo espacio-tiempo entre eventos. El valor numérico de este intervalo es invariante, lo mismo para todos los observadores, sin importar qué tan rápido se estén moviendo el uno al otro. ¿Prueba? Cada minuto de cada día un experimento en algún lugar del mundo lo demuestra. En el Capítulo 3 derivamos la invarianza del intervalo espacio-tiempo —con su signo menos— a partir de experimentos. Muestran el hallazgo de que ningún experimento realizado en una habitación cerrada revelará si esa habitación está “en reposo” o “en movimiento” (Principio de Relatividad de Einstein). No vamos a esperar hasta entonces para sacar provecho de la idea de intervalo. Podemos comenzar a disfrutar del pago ahora mismo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Otro cohete, aún más rápido, sigue al primero, entrando por la puerta ftont, bajando por el largo pasillo y saliendo por la puerta trasera. Cada vez que el reloj del cohete marca emite una chispa. Como antes, la primera chispa salta el 1 milímetro desde la antena del cohete que pasa a la pluma en el bolsillo de John, el observador del laboratorio. El segundo destello salta cuando la antena del cohete alcanza un pomo de puerta 4.00000000 metros más a lo largo del pasillo según lo medido por el observador del laboratorio, quien registra el tiempo entre estas dos chispas como 16.6782048 nanosegundos.

a. ¿Cuál es el tiempo entre chispas, medido en metros por John, el observador de laboratorio?

b. ¿Cuál es el valor del intervalo espacio-tiempo entre los dos eventos, calculado a partir de las mediciones de laboratorio de John?

c. Predecir: ¿Cuál es el valor del intervalo calculado a partir de las mediciones en el nuevo marco del cohete?

d. ¿Cuál es la distancia entre chispas medida en este marco de cohete?

e. ¿Cuál es el tiempo (en metros) entre chispas medido en este marco de cohete? Compare con el tiempo entre las mismas chispas medidas por John en el marco del laboratorio.

f. ¿Cuál es la velocidad de este cohete medida por John en el laboratorio?

Solución

a. El tiempo en metros equivale al tiempo en nanosegundos multiplicado por el factor de conversión, la velocidad de la luz en metros por nanosegundo. Para John, el observador del laboratorio,

\(16.6782048\)nanosegundos\(\times 0.299792458\) metros/nanosegundos\(=5.00000000\) metros

b. El cuadrado del intervalo entre dos destellos se calcula restando el cuadrado de la separación del espacio del cuadrado de la separación del tiempo. Usando cifras de laboratorio:
\[\begin{align*} (\text { interval })^{2} &=(\text { laboratory time })^{2}-(\text { laboratory distance })^{2} \\ &=(5 \text { meters })^{2}-(4 \text { meters })^{2} \\ &=25(\text { meters })^{2}-16(\text { meters })^{2} \\ &=9(\text { meters })^{2}=(3 \text { meters })^{2} \end{align*}\]
Por lo tanto, el intervalo entre las dos chispas tiene el valor de 3 metros (a nueve cifras significativas).

c. Nosotros afirmamos fuertemente en este capítulo que el intervalo espacio-tiempo es invarianthas el mismo valor por quienquiera que haya calculado. En consecuencia, el intervalo entre las dos chispas calculado a partir de observaciones de cohetes tiene el mismo valor que el intervalo (3 metros) calculado a partir de mediciones de laboratorio.

d. Desde el punto de vista del piloto del cohete, ambas chispas saltan desde el mismo lugar, es decir, el extremo de su antena, y así la distancia entre las chispas es igual a cero para el piloto del cohete.

e. Conocemos el valor del intervalo espacio-tiempo entre dos chispas calculado en el marco del cohete (c). Y sabemos que el intervalo se calcula restando el cuadrado de la separación espacial del cuadrado de la separación de tiempo en el marco del cohete. Por último sabemos que la separación espacial en el marco del cohete es igual a cero (d). Por lo tanto, el lapso de tiempo del cohete entre las dos chispas equivale al intervalo entre ellas:\[\begin{align*} (\text { interval })^{2} &=(\text { rocket time })^{2}-(\text { rocket distance })^{2} \\ (3 \text { meters })^{2} &=(\text { rocket time })^{2}-(\text { zero })^{2} \end{align*}\] del cual 3 metros equivale al tiempo del cohete entre chispas. Compare esto con 5 metros de tiempo de recorrido de luz entre chispas medido en el marco del laboratorio.

f. medido en el marco de laboratorio, el cohete se mueve 4 metros de distancia (declaración del problema) en 5 metros de tiempo de recorrido ligero (a). Por lo tanto su velocidad en el laboratorio es la velocidad\(4 / 5\) de la luz. ¿Por qué? Bueno, la luz se mueve 4 metros de distancia en 4 metros de tiempo. El cohete tarda más en cubrir esta distancia: 5 metros de tiempo. Supongamos que en lugar de 5 metros de tiempo, el cohete había tardado 8 metros de tiempo, el doble de largo que el ligero, para cubrir los 4 metros de distancia. En ese caso se estaría moviendo a\(4 / 8\) -o a la mitad- la velocidad de la luz. En el presente caso el cohete recorre los 4 metros de distancia en 5 metros de tiempo, por lo que se mueve a velocidad de\(4 / 5\) la luz. Por lo tanto su velocidad es igual

\[ (4 / 5) \times 2.99792458 \times 10^{8} \text { meters/second } =2.3983397 \times 10^{8} \text { meters/second } \nonumber\]

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1 El segundo: Una unidad sagrada

2 La velocidad de la luz convierte segundos en metros

3 Tiempo entre eventos: Diferente para diferentes marcos

4 John observador utiliza marco de laboratorio

5 Mary observador usa marco de cohete

6 Descubrimiento: Invarianza del intervalo espacio-tiempo

7 El espacio y el tiempo forman parte del espacio-tiempo