1.E: Espacio-tiempo (Ejercicios)

Introducción a los ejercicios

Áreas importantes de la investigación actual se pueden analizar de manera muy simple usando la teoría de la relatividad. Este análisis depende en gran medida de una intuición física, que se desarrolla con la experiencia. La amplia experiencia no es fácil de obtener en el laboratorio: los experimentos simples en relatividad son difíciles y costosos porque la velocidad de la luz es muy grande. Como alternativas a los experimentos, los ejercicios y problemas en este texto evocan una amplia gama de consecuencias físicas de las propiedades del espacio-tiempo. Estas propiedades del espacio-tiempo se repiten aquí una y otra vez en diferentes contextos:

• paradojas

• rompecabezas

• derivaciones

• aplicaciones técnicas

• resultados experimentales

• estimaciones

• cálculos precisos

• dificultades filosóficas

El texto presenta todas las herramientas formales necesarias para resolver estos ejercicios y problemas, pero la intuición -una forma practicada de ver- se desarrolla mejor sin prisas. Por esta razón te sugerimos continuar haciendo cada vez más de estos ejercicios de relatividad después de haber pasado a material fuera de este libro. Las manipulaciones matemáticas en los ejercicios y problemas son muy breves: sólo unas pocas respuestas tardan más de cinco líneas en anotar. Por otro lado, los ejercicios requieren algún “tiempo de rumia”.

En algunos capítulos, los ejercicios se dividen en dos categorías, Práctica y Problemas. Los ejercicios de Práctica te ayudan a acostumbrarte a las ideas del texto. Los Problemas aplican estas ideas a sistemas físicos, experimentos de pensamiento y paradojas.

PRIMER PRINCIPIO MORAL DEL RUEDADOR: Nunca hagas un cálculo hasta que sepas la respuesta. Haz una estimación antes de cada cálculo, prueba un simple argumento físico (¡simetría! ¡invarianza! conservación!) antes de cada derivación, adivina la respuesta a cada paradoja y rompecabezas. Coraje: Nadie más necesita saber cuál es la suposición. Por lo tanto, hazlo rápido, por instinto. Una conjetura acertada refuerza este instinto. Una conjetura equivocada trae el refresco de la sorpresa. En cualquier caso la vida como experto en el espacio-tiempo, por larga que sea, ¡es más divertida!

Capítulo 1 Ejercicios

Practica

1: comparando velocidades

Compara las velocidades de un automóvil, un avión a reacción, un satélite de la Tierra, la Tierra en su órbita alrededor del Sol y un pulso de luz. Haga esto comparando la distancia relativa que recorre cada uno en un tiempo fijo. Elegir arbitrariamente el tiempo fijo para dar distancias convenientes. Un automóvil que conduce al límite de velocidad de Estados Unidos de 65 millas/hora (105 kilómetros/hora) cubre 1 metro de distancia en aproximadamente 35 milisegundos\(=35 \times 10^{-3}\) segundos.

a. ¿Hasta dónde llega un avión comercial en 35 milisegundos? (velocidad: 650 millas/hora\(=1046\) kilómetros/hora)

b. ¿Hasta dónde llega un satélite terrestre en 35 milisegundos? (velocidad: 17,000 millas/hora\(\approx 27,350\) kilómetros/hora)

c. ¿Hasta dónde viaja la Tierra en su órbita alrededor del Sol en 35 milisegundos? (velocidad: 30 kilómetros/segundo)

d. ¿Hasta dónde llega un pulso de luz en un vacío en 35 milisegundos? (velocidad:\(3 \times 10^{8}\) metros/segundo). ¿Esta distancia es aproximadamente cuántas veces la distancia de Boston a San Francisco (5000 kilómetros)?

2: imágenes de Neptuno

A las 9:00 P.M. hora de luz del Pacífico del 24 de agosto de 1989, la sonda planetaria Voyager II pasó por el planeta Neptuno. Las imágenes del planeta fueron codificadas y transmitidas a la Tierra por relé de microondas.

Esta señal de microondas tardó 4 horas y 6 minutos en viajar de Neptuno a la Tierra. Las microondas (radiación electromagnética, como la luz, pero de frecuencia inferior a la de la luz visible), al propagarse a través del espacio interplanetario, se mueven a la velocidad de luz “estándar” de un metro de distancia en un metro de tiempo de recorrido de la luz, o\(299,792,458\) metros/ segundo. A continuación, descuida cualquier movimiento relativo entre la Tierra, Neptuno y el Voyager II.

a. Calcular la distancia entre la Tierra y Neptuno al vuelo en unidades de minutos, segundos, años, metros y kilómetros.

b. Calcular el tiempo que tarda la señal de microondas en llegar a la Tierra. Utilice las mismas unidades que en la parte a.

3: unidades de espacio-tiempo

La luz se mueve a una velocidad de\(3.0 \times 10^{8}\) metros/segundo. Una milla es aproximadamente igual a 1600 metros. Un furlong es aproximadamente igual a 200 metros.

a. ¿Cuántos metros de tiempo en un día?

b. ¿Cuántos segundos de distancia en una milla?

c. ¿Cuántas horas de distancia en un furlong?

d. ¿Cuántas semanas de distancia en un año luz?

e. ¿Cuántos estadios de tiempo en una hora?

4: estiramiento de tiempo y el intervalo espacio-tiempo

Un reloj de cohete emite dos destellos de luz y el observador del cohete registra el lapso de tiempo (en segundos) entre estos dos destellos. El observador de laboratorio registra la separación del tiempo (en segundos) y la separación del espacio (en segundos de luz) entre el mismo par de destellos. Los resultados para observadores de laboratorio y cohetes se registran en la primera línea de la tabla.

Ahora un reloj en un cohete diferente, moviéndose a una velocidad diferente con respecto al laboratorio, emite un par diferente de destellos. El conjunto de separaciones de espacio y tiempo de laboratorio y cohetes se registran en la segunda línea de la tabla. Y así sucesivamente. Mesa completa\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Separaciones de espacio y tiempo

	Lapso de tiempo del cohete (segundos)	Lapso de tiempo de laboratorio (segundos)	Distancia de laboratorio (luz-segundos)
Ejemplo	20	29	21
a	?	10.72	5.95
b	20	?	99
c	66.8	72.9	?
d	?	8.34	6.58
e	21	22	?

 

5: ¿dónde y cuándo?

Dos petardos explotan en el mismo lugar del laboratorio y están separados por un tiempo de 3 años medido en un reloj de laboratorio.

a. ¿Cuál es la distancia espacial entre estos dos eventos en un cohete en el que los eventos están separados en el tiempo por 5 años medidos en relojes de cohetes?

b. ¿Cuál es la velocidad relativa del cohete y los marcos de laboratorio?

6: creación de mapas en el espacio

La tabla muestra las distancias entre ciudades. Las unidades son kilómetros. Supongamos que todas las ciudades se encuentran en el mismo plano plano.

a. Usa una regla y una brújula (el tipo de brújula que hace círculos) para construir un mapa de estas ciudades. Elija una escala conveniente, como un centímetro en el mapa corresponde a diez kilómetros en la Tierra.

Discusión: ¿Cómo empezar? ¡Con tres decisiones arbitrarias!

(1) Elige cualquier ciudad para estar en el centro del mapa.

(2) Elija cualquier segunda ciudad para que sea “debida al norte”, es decir, a lo largo de cualquier dirección arbitraria que seleccione.

(3) Incluso con estas opciones, hay dos lugares donde puedes ubicar la tercera ciudad; elige cualquiera de estos dos lugares arbitrariamente.

b. Si gira el mapa completado en su propio plano -por ejemplo, girándolo mientras lo mantiene plano sobre la mesa- ¿el mapa resultante también satisface las entradas de distancia anteriores?

c. Sostenga su mapa entre usted y una luz, con las marcas en el lado del papel mirando hacia la luz. ¿El mapa que ves desde atrás también satisface las entradas de la tabla?

Discusión: En este ejercicio se utiliza una tabla que consiste únicamente en distancias entre pares de ciudades para construir un mapa de estas ciudades desde el punto de vista de un topógrafo usando una dirección dada para el norte. En el Ejercicio 5-3 se utiliza una tabla que consiste únicamente en intervalos espacio-tiempo entre pares de eventos para dibujar un “mapa espacio-tiempo” de estos eventos desde el punto de vista de un observador de flotación libre. Ejercicio 7 muestra una vista preliminar de este tipo de mapa espacio-tiempo.

Tabla\(\PageIndex{2}\): Distancias entre ciudades

	Distancia a la ciudad
	A	B	C	D	E	F	G	H
de la ciudad
A	0	20.0	28.3	28.3	28.3	20.0	28.3	44.7
B		0	20.0	20.0	44.7	40.0	44.7	40.0
C			0	40.0	40.0	44.7	56.6	60.0
D				0	56.6	44.7	40.0	20.0
E					0	20.0	40.0	72.1
F						0	20.0	56.6
G							0	44.7
H								0

 

7: mapa espacio-tiempo

Las mediciones de espacio y tiempo de laboratorio de los eventos 1 a 5 se grafican en la figura. Calcular el valor del intervalo espacio-tiempo

a. entre el evento 1 y el evento 2.

b. entre el evento 1 y el evento 3.

c. entre el evento 1 y el evento 4.

d. entre el evento 1 y el evento 5.

e. Un cohete se mueve a velocidad constante del evento 1 al evento 2. Es decir, los eventos 1 y 2 ocurren en el mismo lugar en este marco de cohete. ¿Qué lapso de tiempo se registra en el reloj del cohete entre estos dos eventos?

Figura\(\PageIndex{1}\): Mapa espacio-tiempo de algunos eventos.

Problemas

8: tamaño de una computadora

En un segundo algunas computadoras de escritorio pueden llevar a cabo un millón de instrucciones en secuencia. Una instrucción podría ser, por ejemplo, multiplicar dos números juntos. En la jerga técnica, tal computadora opera a “una megaflop”. Supongamos que llevar a cabo una instrucción requiere la transmisión de datos desde la memoria (donde se almacenan los datos) al procesador (donde se realiza el cálculo) y la transmisión del resultado de vuelta a la memoria para su almacenamiento.

a. ¿Cuál es la distancia media máxima entre la memoria y el procesador en una computadora de “un megaflop”? ¿Esta distancia máxima aumenta o disminuye si la señal viaja a través de conductores a la mitad de la velocidad de la luz en vacío?

b. Actualmente se están disponiendo computadoras que operan a “un gigaflop”, es decir, llevan a cabo instrucciones\(10^{9}\) secuenciales por segundo. ¿Cuál es la distancia media máxima entre la memoria y el procesador en una máquina “one-gigaflop”?

c. Estimar el tamaño máximo general de una máquina de “un teraflop”, es decir, una computadora que pueda llevar a cabo instrucciones\(10^{12}\) secuenciales por segundo.

d. Pregunta de discusión: A diferencia de la mayoría de las computadoras personales actuales, una computadora de “procesamiento paralelo” contiene varios o muchos procesadores que trabajan juntos en una tarea informática. Uno podría pensar que una máquina con 10,000 procesadores completaría una tarea de cálculo determinada en\(1 / 10,000\) el tiempo. Sin embargo, muchos problemas computacionales no se pueden dividir de esta manera, y en cualquier caso alguna fracción de la capacidad informática debe dedicarse a coordinar el equipo de procesadores. ¿Qué límites de tamaño físico impone la velocidad de la luz a una computadora de procesamiento paralela?

9: Viajes a Andrómeda en cohete

La galaxia de Andrómeda se encuentra aproximadamente a dos millones de años luz de la Tierra medida en el marco vinculado a la Tierra. ¿Es posible que viajes de la Tierra a Andrómeda en tu vida? Anda sigilosamente la respuesta a esta pregunta considerando una serie de viajes de la Tierra a Andrómeda, cada uno más rápido que el anterior. Por simplicidad, supongamos que la distancia Tierra-Andrómeda es exactamente de dos millones de años luz en el marco de la Tierra, trata a la Tierra y a Andrómeda como puntos, y descuida cualquier movimiento relativo entre la Tierra y Andrómeda.

a. VIAJE 1. Su viaje de ida toma un tiempo 2.01 X\(10^{6}\) años (medido en el marco conectado a la Tierra) para cubrir la distancia de\(2.00 \times 10^{6}\) años luz. ¿Cuánto dura el viaje según se mide en el marco de tu cohete?

b. ¿Cuál es la velocidad de su cohete en el Viaje 1 medida en el marco conectado a la Tierra? Exprese esta velocidad como fracción decimal de la velocidad de la luz. Llama a esta fracción,\(v=v_{\text {conv }} / c\), donde\(v_{\text {conv }}\) está la velocidad en unidades convencionales, como los metros/segundo.
Discusión: Si tu cohete se mueve a la mitad de la velocidad de la luz, se necesitan\(4 \times 10^{6}\) años para cubrir la distancia\(2 \times 10^{6}\) años luz. En este caso
\[v=\frac{2 \times 10^{6} \text { light-years }}{4 \times 10^{6} \text { years }}=\frac{1}{2} \nonumber \]
Por lo tanto...

c. VIAJE 2. Su viaje de ida a la Tierra-Andrómeda toma\(2.001 \times 10^{6}\) años según se mide en el marco vinculado a la Tierra. ¿Cuánto dura el viaje según se mide en el marco de tu cohete? ¿Cuál es su velocidad de cohete para Trip 2, expresada como fracción decimal de la velocidad de la luz?

d. VIAJE 3. Ahora establece el tiempo del cohete para el viaje de ida a 20 años, que es todo el tiempo que quieras pasar llegando a Andrómeda. En este caso, ¿cuál es tu velocidad como fracción decimal de la velocidad de la luz?
Discusión: Las soluciones a muchos ejercicios en este texto se simplifican utilizando la siguiente aproximación, que son los dos primeros términos en la expansión binomial
\[(1+z)^{n} \approx 1+n z \quad \text { if } \quad|z|<<1 \nonumber\]
Aquí\(n\) puede ser positivo o negativo, una fracción o un entero;\(z\) puede ser positivo o negativo, siempre y cuando su magnitud sea mucho menor que la unidad. Esta aproximación se puede utilizar dos veces en la solución a la parte d.

10: viaje a Andrómeda en Transportador

En la serie Star Trek se utiliza un llamado Transportador para “transportar” a las personas y su equipo desde una nave estelar a la superficie de planetas cercanos y de regreso. No se explica el mecanismo Transportador, pero parece funcionar sólo a nivel local. (Si pudiera transportarse a lugares remotos, ¿por qué molestarse con la nave estelar?) Supongamos que dentro de mil años existe un Transportador que reduce personas y cosas a datos (bits elementales de información) y transmite los datos por señal de luz o radio a ubicaciones remotas. Allí un Receptor utiliza los datos para volver a ensamblar a los viajeros y su equipo a partir de materias primas locales.

Uno de tus descendientes, llamado Samantha, es el primer “transporternaut” que se emite desde la Tierra hasta el planeta Circón orbitando una estrella en la Nebulosa de Andrómeda, a dos millones de años luz de la Tierra. Descuidar cualquier movimiento relativo entre la Tierra y Circón, y asumir:
(1) la transmisión produce una Samantha idéntica a la original en todos los aspectos (¡excepto que está a 2 millones de años luz de casa!) ,
y 2) el tiempo requerido para desmontar a Samantha en la Tierra y volver a montarla en Zircon es insignificante medido en el marco de descanso común de Transportador y Receptor.

a. ¿Cuánto envejece Samantha durante su viaje de ida a Zircon?

b. Samantha recolecta muestras y hace observaciones de la civilización Zirconia durante un año terrestre, luego retrocede a la Tierra. ¿Cuánto ha envejecido Samantha durante todo su viaje?

c. ¿Cuánto más envejece la Tierra y su civilización cuando Samantha regresa?

d. La Tierra ha sido tomada por un tirano, que desea invadir Circón. Envía a un guerrero y lo tiene duplicado en batallones de ataque al final del Receptor. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el tirano terrestre para descubrir si su ambición ha quedado satisfecha?

e. Un segundo transportador es transportado a una galaxia mucho más remota que se aleja de la Tierra a 87 por ciento de la velocidad de la luz. Esta vez, también, el viajero permanece en la remota galaxia durante un año medido por relojes que se mueven con la galaxia antes de regresar a la Tierra por Transportador. ¿Cuánto ha envejecido la transportadora cuando regresa a la Tierra? (¡Cuidado!)

11: Estiramiento temporal con muones

A alturas de 10 a 60 kilómetros sobre la Tierra, los rayos cósmicos golpean continuamente núcleos de átomos de oxígeno y nitrógeno y producen muones (muones: partículas elementales de masa iguales a 207 masas de electrones producidas en algunas reacciones nucleares). Algunos de los muones se mueven verticalmente hacia abajo con una velocidad cercana a la de la luz. Sigue a uno de los muones en su camino hacia abajo. En una muestra dada de muones, la mitad de ellos se descomponen a otras partículas elementales en\(1.5\)\(\left(1.5 \times 10^{-6}\right.\) microsegundos segundos), medidos con respecto a un marco de referencia en el que están en reposo. La mitad del resto se descompone en los siguientes\(1.5\) microsegundos, y así sucesivamente. Analizar los resultados de esta decadencia tal como se observa en dos marcos diferentes. Idealizar el experimento real bastante complicado a la siguiente situación aproximadamente equivalente: Todos los muones se producen a la misma altura\((60\) kilómetros); todos tienen la misma velocidad; todos viajan directamente hacia abajo; ninguno se pierde por colisiones con moléculas de aire en el camino hacia abajo.

a. aproximadamente, ¿cuánto tiempo tardarán estos muones en llegar a la superficie de la Tierra, medido en el marco de la Tierra?

b. Si el tiempo de decaimiento fuera el mismo para los observadores de la Tierra que para un observador que viajaba con los muones, ¿cuántas vidas medias habrían pasado aproximadamente? Por lo tanto, ¿qué fracción de los creados a una altura de 60 kilómetros quedaría cuando alcanzaran el nivel del mar en la Tierra? Podrás expresar tu respuesta como un poder de la fracción\(1 / 2\).

c. Un experimento determina que la fracción\(1 / 8\) de muones alcanza el nivel del mar. Llama al resto del marco de los muones el marco del cohete. En este marco de cohete, ¿cuántas vidas medias han pasado entre la creación de un muón dado y su llegada como superviviente al nivel del mar?

d. En el marco del cohete, ¿cuál es la separación espacial entre el nacimiento de un muón sobreviviente y su llegada a la superficie de la Tierra? (¡Cuidado!)

e. a partir de las separaciones espaciales y temporales del cohete, encuentre el valor del intervalo espacio-tiempo entre el evento de nacimiento y el evento de llegada de un solo muón sobreviviente.

Referencia: Nalini Easwar y Douglas A. MacIntire, American Journal of Physics, Tomo 59, páginas 589-592 (julio de 1991).

12: tiempo de estiramiento con\(\pi^{+}\)-mesons

Los experimentos de laboratorio sobre la descomposición de partículas se realizan de manera mucho más conveniente con\(\pi^{+}\) -mesones (mesones pi-plus) que con\(\mu\) -mesones, como se ve en la tabla.

En una muestra dada de\(\pi^{+}\) -mesones la mitad se desintegrará a otras partículas elementales en 18 nanosegundos (18 X\(10^{-9}\) segundos) medidos en un marco de referencia en el que los\(\pi^{+}\) -mesones están en reposo. La mitad del resto se desintegrará en los próximos 18 nanosegundos, y así sucesivamente.

Ejercicio 1.12: tiempo de estiramiento con\(\pi^{+}\) -mesones

Partícula	Tiempo para que la mitad se descomponga (medido en el marco de reposo)	“Distancia característica” (velocidad de la luz multiplicada por el tiempo anterior)
muón (207 veces masa de electrones)	\(1.5 \times 10^{-6}\)segundo	450 metros
\(\pi^{+}\)-mesons (273 times electron mass)	\(18 \times 10^{-9}\)segundos	5.4 metros

a. en un acelerador de partículas,\(\pi^{+}\) los mesones se producen cuando un haz de protones golpea un objetivo de aluminio dentro del acelerador. Los mesones dejan este objetivo con casi la velocidad de la luz. Si no hubiera tiempo de estiramiento y si no se eliminaran mesones del haz resultante por colisiones, ¿cuál sería la mayor distancia del objetivo a la que la mitad de los mesones permanecería sin descomponerse?

b. Los\(\pi^{+}\) -mesones de interés en un experimento en particular tienen una velocidad\(0.9978\) que la de la luz. ¿En qué factor se incrementa la distancia predicha desde el objetivo para la media decadencia por la dilatación del tiempo con respecto a la predicción anterior, es decir, en qué factor este efecto de dilatación permite aumentar la separación entre el equipo de detección y el objetivo?