2.4: Regiones del espacio-tiempo

la relatividad especial se limita a los marcos de flotación libre

“Región del espacio-tiempo”. ¿Cuál es el significado preciso de este término? El vagón de ferrocarril largo y estrecho en la Figura 2.3.1 sondea el espacio-tiempo durante un tramo de tiempo limitado y en una u otra sola dirección en el espacio. Se puede orientar norte-sur o este-oeste o arriba-abajo. Sea cual sea su orientación, se puede medir la aceleración relativa de los pequeños rodamientos de bolas liberados en los dos extremos. Para las tres direcciones -y para todas las direcciones intermedias- que se encuentre por cálculo que la deriva relativa de dos partículas de prueba equivale a la mitad de la cantidad mínima detectable o menos. Luego, a lo largo de un cubo de espacio 20 metros en un borde y por un lapso de tiempo de 8 segundos\((2400\) millones de metros de tiempo de recorrido de la luz), las partículas de prueba que se mueven en todos los sentidos se apartan del movimiento en línea recta en cantidades indetectables. En otras palabras, el marco de referencia es de flotación libre en una región local de espacio-tiempo con dimensiones

\[\text { ( } 20 \text { meters} \times 20 \text { meters} \times 20 \text { meters of space)} \times 2400 \text { million meters of time } \nonumber\]

Observe que esta “región del espacio-tiempo” es de cuatro dimensiones: tres dimensiones del espacio y una de tiempo. ¹

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Por qué prestar tanta atención a las pequeñas aceleraciones relativas descritas anteriormente? ¿Por qué no considerar desde el principio como marcos de referencia solo naves espaciales muy alejadas de la Tierra, lejos de nuestro Sol, y lejos de cualquier otro cuerpo gravitante? A estas distancias no necesitamos preocuparnos en absoluto por ninguna aceleración relativa debida a un campo gravitacional no uniforme, y un marco de flotación libre puede ser enorme sin preocuparnos por las aceleraciones relativas de partículas en las extremidades del marco. ¿Por qué no estudiar la relatividad especial en estas regiones remotas del espacio?

Nota

La mayoría de nuestros experimentos se llevan a cabo cerca de la Tierra y casi todos en nuestra parte del sistema solar. Cerca de la Tierra o del Sol no podemos eliminar las aceleraciones relativas de las partículas de prueba debido a la no uniformidad de los campos gravitacionales. Entonces necesitamos saber qué tan grande puede ocupar una región de espacio-tiempo nuestro experimento y seguir aún las leyes simples que se aplican en los marcos de flotación libre.

Para algunos experimentos los marcos locales de flotación libre no son adecuados. Por ejemplo, un cometa barre desde distancias remotas, se balancea cerca del Sol y regresa al espacio profundo. (Considera solo la cabeza del cometa, no su cola de 100 millones de kilómetros de largo). Las partículas que viajan cerca del cometa durante todos esos años se acercan o se separan más debido a las fuerzas mareales del Sol (asumiendo que podemos descuidar los efectos del campo gravitacional del cometa mismo). ² Estas fuerzas relativas se denominan mareas, porque fuerzas diferenciales similares del Sol y la Luna actúan sobre el océano en lados opuestos de la Tierra para provocar mareas (Cuadro 2-1). Un marco lo suficientemente grande como para incluir estas partículas no es de flotación libre. Por lo tanto, reduzca el tamaño espacial hasta que el movimiento relativo de las partículas abarcadas sea indetectable durante ese tiempo. ¡El marco resultante es mucho más pequeño que la cabeza del cometa! No se puede analizar el movimiento de un cometa en un marco más pequeño que el cometa. Entonces, en cambio, piense en un marco de flotación libre más grande que rodee al cometa por un tiempo limitado durante su órbita, de manera que el cometa pase a través de una serie de tales marcos. O piense en toda una colección de marcos de flotación libre que se hunden radialmente hacia el Sol, a través del cual el cometa pasa en secuencia. En cualquier caso, el movimiento del cometa sobre una pequeña porción de su trayectoria puede analizarse rigurosamente con respecto a uno de estos marcos locales de flotación libre utilizando relatividad especial. Sin embargo, las preguntas sobre toda la trayectoria no pueden ser respondidas usando un solo marco de flotación libre; para ello requerimos una serie de marcos. La relatividad general -la teoría de la gravitación- dice cómo describir y predecir órbitas que atraviesan una cadena de marcos adyacentes de flotación libre. Solo la relatividad general puede describir el movimiento en regiones ilimitadas del espacio-tiempo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¡Por favor, deja de andar por las ramas! Al definir un marco de flotación libre, usted dice que cada partícula de prueba en reposo en dicho marco permanece en reposo “dentro de alguna precisión especificada”. ¿Qué precisión? ¿No puedes ser más específico? ¿Por qué estas definiciones dependen de si somos capaces o no de percibir el pequeño movimiento de alguna partícula de prueba? Mi vista empeora. O me quito las gafas. ¿El mundo cambia repentinamente, junto con los estándares para el “marco inercial”? ¡Seguramente la ciencia es más exacta, más objetiva que eso!

Nota

La ciencia puede ser “exacta” sólo cuando estamos de acuerdo en una precisión aceptable. Un cohete de 1000 toneladas raya 1 kilómetro en 3 segundos; ¿quieres medir la secuencia de sus posiciones durante ese tiempo con una precisión de 10 centímetros? Un astronauta en una estación espacial en órbita libera un lápiz que flota en reposo frente a ella; ¿quieres rastrear su posición con una precisión de 1 milímetro durante 2 horas? Cada caso impone diferentes demandas sobre el marco inercial a partir del cual se realizan las observaciones. Cifras específicas implican requisitos específicos para marcos inerciales, requisitos que deben ser verificados por partículas de prueba. El astronauta se quita las gafas; entonces puede determinar la posición del lápiz con una precisión de solo 3 milímetros. De repente, ¡sí! — los requisitos en el marco inercial se han vuelto menos estrictos, a menos que esté dispuesta a observar el lápiz durante un período de tiempo más largo.

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1 “Región del espacio-tiempo” es de cuatro dimensiones

2 ¿Cuándo se requiere la relatividad general?