4.E: Viaje a Canopus (Ejercicios)

Nota: Los siguientes ejercicios están relacionados con la línea argumental de este capítulo. Se podrán seleccionar ejercicios adicionales del Capítulo 3 o del Tema Especial sobre la Transformación de Lorentz después del Capítulo 3.

4.1 viajes espaciales prácticos

En 2200 A.D. el cohete interestelar más rápido disponible se mueve a\(v=0.75\) la velocidad de la luz. James Abb ott es enviado en este cohete a toda velocidad a Sirio, la Estrella Perro (la estrella más brillante de los cielos vista desde la Tierra), una distancia\(D=8.7\) años luz medida en el marco de la Tierra. James se queda ahí por un tiempo\(T=7\) años según lo registrado en su reloj y luego regresa a la Tierra con la misma velocidad\(v=0.75\). Supongamos que Sirio está en reposo relativo a la Tierra. Que la salida de la Tierra sea el evento de referencia (el cero de tiempo y espacio para todos los observadores).

Según observadores vinculados a la Tierra:

a. ¿A qué hora llega el cohete a Sirius?

b. ¿A qué hora sale el cohete de Sirio?

c. ¿A qué hora regresa el cohete a Farth?

Según las observaciones de James:

d. ¿A qué hora llega a Sirius?

e. ¿A qué hora deja Sirio?

f. ¿A qué hora vuelve a la Tierra?

g. A medida que avanza hacia Sirio, James es acompañado por una serie de estaciones de observación salientes a lo largo de su dirección de movimiento, cada una con un reloj sincronizado con el suyo. ¿Cuál es la distancia espacial entre la Tierra y Sirio, según observaciones realizadas con esta cadena saliente de estaciones de vigilancia?

h. Una de las estaciones de vigilancia salientes de James, llámala\(Q\), pasa por la Tierra al mismo tiempo (en el marco saliente de James) que James llega a Sirio. ¿A\(Q\) qué hora lee el reloj en este evento de pasar? ¿A qué hora lee el reloj de la Tierra en este mismo evento?

i. A medida que retrocede hacia la Tierra, James va acompañado de una serie de estaciones de observación entrantes a lo largo de su dirección de movimiento, cada una con un reloj sincronizado con el suyo. Una de estas estaciones de vigilancia entrantes, la llaman\(Z\), pasa por la Tierra al mismo tiempo (en el marco entrante de James) que James deja Sirio para regresar a casa. ¿A\(Z\) qué hora lee el reloj en este evento de pasar? ¿A qué hora lee el reloj de la Tierra en este mismo evento?

Para entender realmente los contenidos del Capítulo 4, repita este ejercicio muchas veces con nuevos valores de\(v\),\(D\), y\(T\) que usted elija usted mismo.

4.2 ¿Paradoja gemela unidireccional?

Un estudiante preocupado escribe: “Todavía no puedo creer tu solución a la Paradoja Gemela. Durante el viaje de ida a Canopus, cada gemelo puede considerar al otro como alejándose de él; entonces, ¿cómo podemos decir qué gemelo es más joven? La respuesta es que el gemelo en el cohete hace un giro, y en la geometría espacio-temporal de Lorentz, el mayor envejecimiento lo experimenta la persona que no gira. Este argumento es sumamente insatisfactorio. Me obliga a preguntar: ¿Y si el cohete se descompone cuando llego a Canopus, para que me detenga ahí pero no pueda dar la vuelta? ¿Significa esto que ya no es posible decir que he envejecido menos que mi gemelo Earthbound? Pero si no, entonces nunca habría llegado a Canopus vivo”. Escribe una respuesta de media página a este alumno, respondiendo las preguntas de manera cortés y decisiva.

4.3 un oscilador relativista

Para poner a prueba las leyes de la relatividad, un ingeniero decide construir un oscilador con un bob oscilante muy ligero que pueda moverse de un lado a otro muy rápido. El bob más ligero conocido con una masa mayor a cero es el electrón. El ingeniero utiliza una caja metálica cúbica, cuyo borde mide un metro, que se calienta ligeramente para que algunos electrones “hiervan” de sus superficies (ver la figura). Una bomba de vacío elimina el aire de la caja para que los electrones puedan moverse libremente dentro sin chocar con las moléculas de aire. Al otro lado de la mitad de la caja, y aislada eléctricamente de ella hay una pantalla metálica cargada a un alto voltaje positivo por una fuente de alimentación. Se puede girar una perilla de control de voltaje en la fuente de alimentación para cambiar el\(\mathrm{DC}\) voltaje\(\mathrm{V}_{\text {o }}\) entre la caja y la pantalla. Dejar que un electrón hervido de la pared interna de la caja tenga una velocidad muy pequeña inicialmente (supongamos que la velocidad inicial es cero). El electrón es atraído hacia la pantalla positiva, aumenta la velocidad hacia la pantalla, pasa a través de un agujero en la pantalla, se ralentiza a medida que se aleja de la pantalla atrayente, se detiene justo antes de la pared opuesta de la caja, se tira hacia atrás hacia la pantalla; y de esta manera oscila de un lado a otro entre las paredes de la caja.

Figura\(\PageIndex{1}\): Oscilador relativista con electrón como bob oscilante.

a. ¿En qué tan corto tiempo se\(T\) puede hacer oscilar el electrón de ida y vuelta en un viaje de ida y vuelta entre las paredes? El ingeniero que diseñó el equipo afirma que al girar la perilla de control de voltaje lo suficientemente alta puede obtener una frecuencia de oscilación\(f=1 / T\) tan alta como se desee. ¿Tiene razón?

b. Para tensiones suficientemente bajas, el electrón no será relativista, y se puede utilizar la mecánica newtoniana para analizar su movimiento. Para este caso la frecuencia de oscilación del electrón se incrementa en qué factor cuando se duplica el voltaje en la pantalla? Discusión: En los puntos correspondientes de la trayectoria del electrón antes y después de la duplicación del voltaje, ¿cómo se compara la energía cinética newtoniana del electrón en los dos casos? ¿Cómo se compara su velocidad en los dos casos?

c. ¿Cuál es una fórmula definitiva para\(f\) la frecuencia en función del voltaje en el caso no relativista? Espere lo más tarde posible para sustituir los números por masa de electrón, carga de electrón, y así sucesivamente.

d. ¿Cuál es la frecuencia en el caso relativista extremo en el que durante la mayor parte de su curso el electrón se mueve... (¡resto de sentencia suprimida!) ...? Llama a esta frecuencia\(f_{\max }\).

e. En la misma gráfica, graficar dos curvas de la cantidad adimensional\(f / f_{\max }\) como funciones de la cantidad adimensional\(q \mathrm{~V}_{\mathrm{o}} /\left(2 m c^{2}\right)\), donde\(q\) está la carga sobre el electrón y\(m\) es su masa. Primera curva: la curva no relativista de parte\(\mathbf{c}\) a dibujar fuertemente en la región donde es confiable e indicada por guiones en otra parte. Segunda curva: el valor relativista extremo de la parte d, también con líneas discontinuas donde no es confiable. De la gráfica resultante estimar cuantitativamente el voltaje de transición de la región no relativista a la relativista. Si es posible dar un argumento simple explicando por qué su resultado tiene o no sentido en cuanto a orden de magnitud (es decir, pasar por alto factores de\(2, \pi\), etc.).

f. Ahora piense en el “período apropiado” de oscilación de ida y vuelta que\(\tau\) experimenta el electrón y registrado por su reloj de pulsera de grabación mientras se mueve hacia adelante y hacia atrás a través de la caja. A bajas velocidades de electrones ¿cómo se compara este periodo adecuado con el periodo de laboratorio registrado por el ingeniero? ¿Qué sucede a velocidades de electrones más altas? ¿A velocidades relativistas extremas? ¿Cómo se refleja esto en la “frecuencia apropiada” de oscilación que\(f_{\text {proper }}\) experimenta el electrón? En la gráfica de la parte e dibuja una curva aproximada en un color o sombreado diferente mostrando cualitativamente la cantidad\(f_{\text {proper }} / f_{\max }\) adimensional en función de\(q \mathrm{~V}_{\mathrm{o}} /\left(2 m c^{2}\right)\).