5.5: Longitud a lo largo de una trayectoria
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la línea recta tiene la longitud más corta entre dos puntos dados en el espacio
La distancia es una idea central en todas las aplicaciones de la geometría euclidiana. Por ejemplo, usando una cinta métrica flexible es fácil cuantificar la distancia total a lo largo de una trayectoria de bobinado que comienza en un punto (punto\(O\) en la Figura\(\PageIndex{1}\)) y termina en otro punto (punto\(B\)). Otra forma de medir la distancia a lo largo de la trayectoria curva es colocar una serie de palos rectos cortos de extremo a extremo a lo largo del camino. Siempre que las barras rectas sean lo suficientemente cortas como para ajustarse a la trayectoria que se curva suavemente, la distancia total a lo largo de la trayectoria es igual a la suma de longitudes de las barras. 1
La longitud de un palo corto colocado entre dos puntos cercanos cualesquiera en el camino, por ejemplo, los puntos 3 y 4 de la Figura\(\PageIndex{1}\), también se puede calcular utilizando la separación hacia el norte y la separación hacia el este entre los dos extremos del palo medida por un topógrafo. 2
\[(\text { length })^{2}=(\text { northward separation })^{2}+(\text { eastward separation })^{2} \nonumber\]
La distancia es invariable para los topógrafos. Por lo tanto, la longitud de esta vara es la misma cuando la calcula cualquier topógrafo, a pesar de que las separaciones hacia el norte y hacia el este entre dos extremos del palo tienen valores diferentes, respectivamente, para diferentes topógrafos. La longitud de otro palo colocado en otro lugar a lo largo del camino también es acordada por todos los topógrafos a pesar de que utilizan diferentes direcciones hacia el norte. Por lo tanto, la suma de las longitudes de todos los palos cortos tendidos a lo largo del camino tiene el mismo valor para todos los topógrafos. Esta suma equivale al valor de la longitud total de la trayectoria, en la que coinciden todos los topógrafos. Y esta longitud total es solo la longitud medida con la cinta flexible. 3
Es posible proceder de\(O\) a\(B\) lo largo de otro camino bastante diferente, por ejemplo a lo largo de la línea recta\(O B\) en la Figura\(\PageIndex{1}\). La longitud de este camino alternativo es evidentemente diferente de la del trazado curvo original. Esta característica de la geometría euclidiana es tan conocida como para ocasionar casi ningún comentario y ciertamente ninguna sorpresa: En la geometría euclidiana un camino curvo entre dos puntos especificados es más largo que un camino recto entre ellos. La existencia de esta diferencia de longitud entre dos caminos no viola ninguna ley. Nadie afirmaría que una cinta métrica no funciona correctamente cuando se coloca a lo largo de un camino curvo.
Entre todos los caminos posibles entre dos puntos en el espacio, el camino en línea recta es único. Todos los topógrafos coinciden en que este camino tiene la longitud más corta. Cuando hablamos de “la distancia entre dos puntos”, ordinariamente nos referimos a la longitud de este camino recto. 4
1 Mida la longitud de la trayectoria curva con cinta métrica...
2... o con barras rectas cortas colocadas de extremo a extremo a lo largo de la trayectoria
3 Todos los topógrafos coinciden en la longitud del camino
4 La trayectoria recta en el espacio tiene la longitud más corta