8.3: Masa de un Sistema de Partículas

energías agregar. momenta agregar. masas no agregan.

Nadie con ningún instinto detective descansará contento con la vaga idea de que el calor tiene masa. ¿Dónde dentro de nuestros fajos de goma de mascar o el barril de agua de Rumford o el pellet de cuarzo de Braginsky se encuentra esa masa? ¿En movimientos aleatorios de los átomos? Tonterías. Cada átomo tiene masa, sí. Pero, ¿adquiere un átomo masa adicional en virtud de algún movimiento? ¿El movimiento tiene masa? No. Absolutamente no. Entonces, ¿dónde y en qué forma reside la masa extra? Respuesta: No en ninguna parte, sino en el sistema.

El calor no reside en las partículas individualmente sino en el sistema de partículas. El calor no surge del movimiento de una partícula sino de movimientos relativos de dos o más partículas. El calor es una propiedad del sistema.

La masa de un sistema es mayor cuando las partes del sistema se mueven entre sí. De este punto central, no se ofrece un ejemplo más sencillo que un sistema compuesto por un solo

par de masas. ¿Nuestro ejemplo? Dos objetos idénticos (Figura 8-3). Cada uno tiene masa 8. En relación con el marco de referencia de laboratorio cada objeto tiene impulso 6, pero los dos

momenta son opuestos en dirección. La energía de cada objeto es\(E=\left(m^{2}+p^{2}\right)^{1 / 2}=\)\(\left(8^{2}+6^{2}\right)^{1 / 2}=10\).

El impulso total del sistema de dos objetos es\(p_{\text {syssem }}=6-6=0\). La energía del sistema es\(E_{\text {system }}=10+10=20\). Por lo tanto la masa del sistema es\(M_{\text {system }}=\)\(\left(E_{\text {ssstem }}{ }^{2}-p_{\text {system }}{ }^{2}\right)^{1 / 2}=\left\{(20)^{2}-0^{2}\right]^{1 / 2}=20\). Así, la masa del sistema supera la suma de las masas de las dos partes del sistema. La masa del sistema no concuerda con la suma de las masas de sus partes.

La energía es aditiva. Momentum es aditivo. Pero la masa no es aditiva.

Pregunta dónde se encuentran\(20-16=4\) las unidades extra de masa? Pregunta tonta, ¡cualquier respuesta a la cual también es tonta!

Pregunta dónde se encuentran las 20 unidades de masa? Buena pregunta, con una buena respuesta.

Las 20 unidades de masa pertenecen al sistema en su conjunto, no a ninguna parte individualmente.

¿Dónde se encuentra la vida de un cachorro? Buena pregunta, con una buena respuesta. La vida es una propiedad del sistema de átomos que llamamos cachorro, no propiedad de ninguna parte del cachorro.

¿Dónde se agrega el ingrediente extra a los átomos para producir un cachorro vivo? Pregunta inaceptable, cualquier respuesta a la que también es inaceptable. La vida no es propiedad de ninguno de los átomos individuales de los que está constituido el cachorro. Tampoco es propiedad del espacio entre los átomos. Tampoco es un ingrediente que hay que añadir a los átomos. La vida es una propiedad del sistema de cachorros.

La vida es notable, pero en un aspecto el sistema de dos objetos del que estamos hablando es aún más notable. La vida requiere organización, pero el sistema de dos objetos de la Figura 8-3 carece de organización. Ninguna masa interactúa con la otra. Sin embargo, la energía total del sistema de dos objetos, y su impulso total, considerado desde un primer marco de referencia, luego otro, luego otro, toman valores idénticos en todos los aspectos a los valores que tendrían si tratáramos a lo largo de un solo objeto de masa 20 unidades. Totalmente desvinculados, los dos objetos, vistos como un sistema, poseen los atributos dinámicos -energía, impulso y masa- de un solo objeto.

Esta idea más amplia de masa - la masa de un sistema aislado compuesto por desconectados

objetos: ¿qué derecho tenemos de darle el nombre de “masa”? La naturaleza, por cualquier razón, exige la conservación del momenergy total en cada colisión. Cada colisión, por mucho que cambie la momenergia de cada participante, deja inalterada la suma de sus energías de mamá, consideradas como una flecha dirigida en el espacio-tiempo a 4-vector. Encuentro o no encuentro, y por complejo que sea cualquier encuentro, el sistema momenergy no altera. Ni en dirección espacio-tiempo ni en magnitud nunca cambia. Pero el

FIGURA 8-3. Dos partículas que no interactúan, la magnitud, la longitud de la flecha de la energía mamá total, figurada como calculamos cualquiera de cada una de la masa 8, están en movimiento relativo. Intervalo espacio-tiempo tomado - es la masa del sistema. Ya sea que el sistema consista en un solo objeto o en conjunto, constituyen un sistema de masa\(20 .\) de muchos objetos, y si estos objetos chocan o no colisionan o interactúan de otra manera entre sí, esta masa del sistema nunca cambia. ¡Por eso tiene sentido el concepto de masa del sistema!

¿Un ejemplo? De nuevo, dos objetos de masa 8, de nuevo cada uno moviéndose hacia un punto a medio camino entre ellos a\()=(p=6) /(E=10)=3 / 5\) la\() /(\) energía de\(v=(\) impulso

Diferentes marcos de flotación libre. velocidad de la luz. Ahora, sin embargo, analizamos los dos movimientos en un marco que se mueve con la Misma masa del sistema. objeto derecho (Figura 8-4). En este nuevo marco el objeto de la derecha está en reposo: masa,\(m=8\) impulso,\(p=0\) energía,\(E=\left[m^{2}+p^{2}\right]^{1 / 2}=8\). El objeto de la izquierda se aproxima con una velocidad (adición de velocidades: Sección L. 7 del Tema Especial que sigue al Capítulo 3; también Ejercicio 3-11)

\[v=\frac{3 / 5+3 / 5}{1+(3 / 5)(3 / 5)}=\frac{6 / 5}{34 / 25}=\frac{15}{17}\]

Tiene energía\(E=m /\left[1-v^{2}\right]^{1 / 2}=8 /\left[1-(15 / 17)^{2}\right]^{1 / 2}=17\) e ímpetu ¡\(p=\)\(v E=15 .\)Tanto para las partes del sistema! Ahora para el sistema mismo. Para el sistema la energía es\(E_{\text {system }}=8+17=25\) y el impulso es\(p_{\text {system }}=0+15=15\).

¡Ahora para la prueba! ¿Tiene sentido el concepto de masa del sistema? En otras palabras, ¿la masa del sistema resulta tener el mismo valor en el nuevo fotograma que en el marco original? Lo hace:

\[\begin{aligned} M_{\text {system }} &=\left(E_{\text {system }}^{2}-p_{\text {system }}^{2}\right)^{1 / 2}=\left[(25)^{2}-(15)^{2}\right]^{1 / 2}=[625-225]^{1 / 2} \\ &=[400]^{1 / 2}=20 \end{aligned}\]

ANTES

\(\because\)

SISTEMA

DESPUÉS

masa

\(v=3 / 5\)

FIGURA 8-4. Sistema de la Figura 8-3 observado desde un marco que se mueve con el objeto de la derecha. Por lo tanto, el objeto de banda derecha está inicialmente en reposo. Antes: Flechas de momenergia para dos objetos antes de colisión. Cada objeto tiene una masa de ocho unidades (asas sombreadas). La flecha superior, vertical, pertenece a la partícula originalmente en reposo, la flecha inclinada a la partícula entrante. Sistema: Adición de los dos momentos (¡uno de ellos cero! ') da el impulso total antes de la colisión. De igual manera, la adición de las dos energías da la energía total. La masa del sistema -incluso antes de que las dos partículas interactúen .- proviene de la expresión de la “bypotenuse” de un triángulo espacio-temporal. Resultado: 20 unidades de masa (banda sombreada en el centro 4-vector)

\[(\text { mass })^{2}=(\text { energy })^{2}-(\text { momentum })^{2}=(25)^{2}-(15)^{2}=625-225=400=(20)^{2}\]

Después: Las dos partículas ahora chocan y se amalgaman para formar una partícula. La flecha de la momenergía total después de la amalgama es idéntica a la flecha de la momenergía total antes de la colisión. La masa de este sistema de dos objetos supera la masa de un objeto más la masa del otro, no sólo después de la colisión sino también antes. La masa no es una cantidad aditiva.

MASA DE UN SISTEMA DE

PARTÍCULAS DE MATERIAL

Compute\(M_{\text {system }}\) para cada uno de los siguientes sistemas. Las partículas que componen estos sistemas no interactúan entre sí. Exprese la masa del sistema en términos de la masa unitaria\(m\); no use momenta ni velocidades en sus respuestas. [Nota: En los siguientes diagramas, las flechas representan momenta (3-vector).]

SOLUCIÓN

Sistema a: La energía del sistema es igual a la energía de reposo de las dos partículas (la suma de sus masas) más la energía cinética de la partícula en movimiento: Momento\(E_{\text {system }}=(m+m)+3 m=5 m .\) cuadrado del sistema es igual al de la partícula en movimiento: Se cuenta la\(p_{\text {system }}^{2}=p^{2}=\)\(E^{2}-m^{2}=(4 m)^{2}-m^{2}=15 m^{2} .\) masa del sistema de la diferencia entre los cuadrados de energía e impulso:

\[M_{\text {system }}=\left[E_{\text {system }}{ }^{2}-p_{\text {system }}{ }^{2}\right]^{1 / 2}=\left[25 m^{2}-15 m^{2}\right]^{1 / 2}=[10]^{1 / 2} m=3.162 m\]

Además, si los dos objetos colisionan y se amalgaman, la energía del sistema permanece en el valor 25, el momento del sistema permanece en el valor 15, y la masa del sistema permanece 20, como se ilustra en la Figura\(8-4\).

En resumen, la masa de un sistema aislado tiene un valor independiente de la elección del marco de referencia en el que se figura. La masa del sistema permanece inalterada por los encuentros entre los componentes del sistema. ¿Y por qué? Porque la masa del sistema es la longitud (en el sentido del intervalo espacio-tiempo) de la flecha del momento-energía total. Este total de momenergia no se ve afectado por colisiones entre las partes ni por ninguna transformación, descomposición o aniquilación que puedan sufrir. ¡La masa del sistema tiene sentido!

¡Sistema! ' ¡Sistema! ' Sigues hablando de “sistema”, incluso cuando las partículas no interactúan, como en el sistema de la Figura 8-3. Me parece que eres totalmente arbitrario en la forma en que defines un sistema. ¿Quién elige qué partículas están en el sistema? Sistema b: La energía del sistema es igual a la energía de reposo de las dos partículas más la energía cinética de las dos partículas:\(E_{\text {spseem }}=2 m+10 m=12 m\). El impulso al cuadrado de cada partícula está\(p^{2}=E^{2}-m^{2}=(6 m)^{2}-m^{2}=35 m^{2}\) cediendo\(p=(35)^{1 / 2} m\). El impulso del sistema es el doble de esto:\(p_{\text {system }}=2(35)^{1 / 2} \mathrm{~m}\). La masa del sistema es

\[\begin{aligned} M_{\text {spssem }} &=\left[E_{\text {sssem }}{ }^{2}-p_{\text {ssstem }}{ }^{2}\right]^{1 / 2}=\left[(12 m)^{2}-\left\{2(35)^{1 / 2} m\right\}^{2}\right]^{1 / 2} \\ &=[144-140]^{1 / 2} m=[4]^{1 / 2} m=2 m \end{aligned}\]

En este caso especial la masa del sistema es igual a la suma de masas de los objetos que conforman el sistema. Podríamos haber visto este resultado inmediatamente observando el sistema desde un marco de referencia que se mueve junto con las partículas. En este marco las partículas están en reposo y tienen un impulso total cero; la energía total es idéntica a la suma de las energías de reposo individuales (las masas individuales). Entonces en este caso la masa del sistema es igual a su energía, que es igual a la suma de masas. Además, la masa del sistema es una invariante. Así\(2 m\) es la masa del sistema como se cuenta en todos los marcos de referencia, incluyendo aquel en el que se representa el Sistema b.

Sistema c: Energía total\(=\) del sistema de energía\(=E_{\text {syssem }}=7 m+m=8 m\). El impulso del sistema es igual al impulso de la partícula en movimiento:\(p_{\text {spstem }}{ }^{2}=E^{2}-m^{2}=\)\((7 m)^{2}-(3 m)^{2}=49 m^{2}-9 m^{2}=40 m^{2}\). De ahí que la masa del sistema sea

\[M_{\text {system }}=\left[64 m^{2}-40 m^{2}\right]^{1 / 2}=[24]^{1 / 2} m=4.899 m\]

Sistema d: Esta parte del problema sirve como recordatorio de que el impulso es un vector euclidiano 3. El momento cuadrado de cada partícula es\(p^{2}=E^{2}-m^{2}=36 m^{2}\)\(-m^{2}=35 m^{2}\). Su impulso total no es la suma algebraica de los momentos, porque son vectores que apuntan en direcciones perpendiculares. Esta orientación perpendicular nos permite equiparar el impulso del sistema cuadrado a la suma de los cuadrados del momento individual: La energía\(p_{\text {system }}{ }^{2}=35 m^{2}+35 m^{2}=70 m^{2} .\) del sistema es la suma de las energías (¡la energía es un escalar y se suma como un escalar!) :\(E_{\text {system }}=6 m+6 m=\)\(12 m\). De ahí que la masa del sistema

\[M_{\text {system }}=\left[144 m^{2}-70 m^{2}\right]^{1 / 2}=[74]^{1 / 2} m=8.602 m\]

Compara este resultado con el del Sistema b, que también contenía dos partículas, cada una de energía total\(6 m\).

¡Nosotros lo hacemos! Podemos dibujar la línea discontinua alrededor de cualquier colección de objetos, lo que sea, sujeto a esta restricción: ningún objeto en nuestro sistema puede interactuar con ningún objeto externo o experimentar una fuerza desde fuera del sistema. Nuestro sistema debe ser\(i\) solado. Con esa única limitación, el sistema que elegimos es arbitrario, tiene una energía total conservada, un momento total conservado y una masa del sistema que es invariable, una masa que tiene el mismo valor sin importar en qué marco de flotación libre se tenga en cuenta.

No puedo creer la historia que cuentas. Esos dos objetos masa-8, usted dice, pueden volar más allá de cada nutria. Entonces tu plática sobre la masa del sistema es solo charla, terminología. O pueden gemir en cada nutria y amalgamar. Entonces tu plática está toda equivocada, y por una razón obvia. A medida que los objetos chocan ralentizan y llegan a descansar uno respecto al otro. En ese instante y en ese “'marco de descanso'” (el marco de la Figura 8-3), cada bajo impulso cero, y energía igual a su masa. Entonces el impulso total del sistema es cero, y su energía total lo es\(8+8=16\). Eso significa una masa de 16. Sin embargo, usted reclama 20.

JARRÓN DE CLEOPATRA, SU BAÑO Y VACÍO INTERESTELAR: CAMBIOS FRACCIONARIOS ILUSTRATIVOS EN LA MASA DE SISTEMAS

Jarrón aplastado en tantos fragmentos que 100 centímetros\({ }^{2}\) de enlaces de vidrio a vidrio se rompen Agua de baño en\(40^{\circ} \mathrm{C}\)

Hidrógeno atómico\((\mathrm{H})\) y oxígeno\((\mathrm{O})\)

Todas las moléculas de la Tierra se levantaron contra la atracción de su gravedad mutua a la separación infinita entre sí

Átomo de hidrógeno en estado de energía más bajo

Deuterón

Estrella de neutrones

Un vacío, antes de que se zapped Electron retirado a la separación infinita del núcleo

Deuterón separado en protones y neutrones por fotones convergentes

Sistema después

Átomos de hierro ampliamente separados en reposo entre sí

Par electrón-positrón unido como un átomo de positronio

Aumento fraccional en la masa del sistema (a la potencia más cercana de 10)

\(10^{-18}\)

\(10^{-12}\)

\(10^{-9}\)

\(10^{-9}\)

\(10^{-8}\)

\(10^{-3}\)

\(10^{-1}\)

Fraccionario infinito

aumentar

\(\mathrm{~ b e r r o n t r o n ~ p a i r}\)

¿Despacio y vienen a descansar? Sí. Pero eso significa fuerza: fuerza “elástica”, gravitacional, electromagnética o nuclear. Ese es el nuevo y valioso punto que haces aquí. Y esas partículas, empujando contra esa fuerza, almacenan energía. Esta energía, también, tiene que ser puesta en la contabilidad. Cuando las partículas amalgamantes llegan a descansar unas respecto a otras, la energía de interacción “equilibra los libros” -sucede así- y conduce a una masa final de 20, mayor que la suma de masas de los objetos originales. Para el cálculo de la masa del sistema, sin embargo, realmente no tenemos que entrar en este detalle. Basta con que sepamos que el impulso total se conserva,\(p_{\text {system }}=0\) en la Figura\(8-3\), y también se conserva la energía total -de cualquier manera que se reparte entre los objetos y los campos de fuerza que actúan entre ellos-,\(E_{\text {system }}=20\). La longitud, en el sentido de intervalo, de los 4 vectores de momenergy para el sistema permanece sin cambios:\(M_{\text {sysem }}=20\).

¿Qué pasa con un sistema que no está aislado? ¿Un sistema que tiene -y mantiene- impulso cero, pero que recibe un incremento de energía? Entonces su masa se eleva en una cantidad exactamente igual a esa entrada de energía. El aumento de masa es lo mismo si esa energía va a alterar el movimiento relativo de las partes del sistema o aumentar la energía de interacción entre ellas o alguna combinación de movimiento e interacción. ¿Suministrar energía a un sistema calentándolo o configurándolo en vibración interna o fracturando los enlaces entre sus partes? ¡Cada uno es una forma garantizada de aumentar la masa del sistema (Tabla 8-1)!

 

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