8.7: Convertir la masa en energía utilizable: fisión, fusión, aniquilación

tanto la fisión como la fusión se deslizan por la colina de energía hacia el mínimo, el hierro, los electrones y los positrones aniquilan para producir dos fotones energéticos.

Para una perspectiva final sobre la evanescencia de la masa y la preservación de la momenergia, pasar de los procesos donde se crea la masa a tres procesos en los que se destruye la masa: la fisión, la fusión y la aniquilación.

Cualquiera que primero escuche acerca de la división de un núcleo (fisión) como fuente de energía, y la unión de dos núcleos (fusión) también como fuente de energía podría tener la impresión equivocada de que se ha inventado una máquina de movimiento perpetuo. ¿Podríamos dividirnos y unirnos al mismo núcleo una y otra vez, cada vez liberando energía? No. He aquí por qué. La fisión ocurre en la división del uranio, por ejemplo, cuando un neutrón golpea un núcleo de uranio:

\[{ }_{0}^{1} \mathrm{n}+{ }_{92}^{235} \mathrm{U} \longrightarrow{ }_{92}^{236} \mathrm{U} \longrightarrow{ }_{37}^{95} \mathrm{Rb}+{ }_{55}^{141} \mathrm{Cs}\]

En esta ecuación, el subíndice inferior izquierdo indica el número de protones en el núcleo dado y el superíndice superior izquierdo muestra el número de protones más neutrones en el

Fsión y fusión: Ambos van de núcleo de unión más flojo a más apretado. El proceso descrito por esta ecuación reorganiza los 236 nucleones, es decir, 92 protones más 144 neutrones, en una configuración que se acerca un poco más a la más estable de todas las configuraciones nucleares disponibles, el núcleo de hierro:

\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\)

Pero también fusión, por ejemplo el proceso de unir dos núcleos bastante ligeros como el “hidrógeno pesado” o deuterones para formar un núcleo de helio,

\[{ }_{1}^{2} \mathrm{D}+{ }_{1}^{2} \mathrm{D} \longrightarrow{ }_{2}^{4} \mathrm{He}\]

también puede considerarse como un paso en el camino hacia la reordenación de los nucleones (protones y neutrones) para lograr la configuración de hierro o algo así.

En resumen, podemos obtener energía de los procesos de reordenamiento de nucleones que pasan de una unión más floja de núcleos más pesados y ligeros hacia una unión más estrecha del núcleo de hierro (masa intermedia) (Figura 8-10). Ni en la fisión ni en la fusión, sin embargo, la fracción de masa se convierte en energía tan grande como el uno por ciento. (Para ver un ejemplo de reacción de fusión en el Sol, ver Muestra Problema 8-5, especialmente c.)

La aniquilación es interesante porque puede convertir el 100 por ciento de la materia en radiación. La aniquilación también es interesante, porque se ha demostrado en el

La aniquilación convierte\(100 \%\) la materia en escala microscópica de radiación. Un electrón positivo lento, un positrón, que se une por casualidad para orbitar con un electrón negativo cotidiano, finalmente se une con él para aniquilarlos a ambos y producir a veces dos, a veces tres cuantos de luz (fotones llamados rayos gamma en el caso de estas altas energías):

\[e^{+}+e^{-} \rightarrow 2 \text { or } 3 \text { photons }\]

La Figura 8-11 muestra el equilibrio de energía e impulso en el proceso de aniquilación bicuántica.

FIGURA 8-10. Tanto la conversión del deuterio al belión más masivo en fusión como la conversión de uranio a núcleos más ligeros en la fisión disminuyen la masa por núcleo, ambas hacia el núcleo más estable, el hierro.

Antes de la aniquilación, el sistema tiene cero impulso total. Un solo fotón restante después de la aniquilación no pudo tener impulso cero, ¡sin importar en qué dirección se moviera! La presencia de un solo fotón después de la colisión no pudo satisfacer la conservación del impulso. Así que la aniquilación nunca lo hace y nunca puede terminar dando un solo fotón.

FIGURA 8-11. Conservación de Momenergy en el proceso de anibilación electrón-positrón de dos fotones. Antes: Antes de la aniquilación cada partícula cargada opuestamente baja energía de reposo y sin ímpetu. Después: Las dos partículas se aniquilaron, creando dos fotones de energía grande (rayos gamma). Los dos fotones vuelan separados en direcciones opuestas; el impulso total sigue siendo cero.

CAJA\(8-2\)

ANÁLISIS DE UN
ENCUENTRO DE PARTICULAS En cualquier marco de flotación libre dado eso significa

conservación de la energía total y conservación de cada uno de los tres componentes del impulso total. De ninguna manera el poder y alcance de este principio se hace sentir más memorablemente que el análisis de encuentros simples de este, aquello, y el otro tipo en un sistema aislado de partículas. “Analizar un encuentro” significa usar leyes de conservación y otras relaciones para encontrar masas, energías y momentos de partículas desconocidas en términos de cantidades conocidas. En ocasiones no es posible realizar un análisis completo; la información proporcionada puede ser insuficiente. Aquí se sugieren pasos para analizar un encuentro. Los problemas de muestra 8-3 y 8-4 ilustran estos métodos.

1. Dibuja un diagrama de partículas antes y partículas después de la interacción. Marcar las partículas que entran con números o letras y las partículas que salen con números o letras diferentes (aunque sean las mismas partículas). Utilice las flechas para mostrar las direcciones de movimiento de las partículas y etiquetar con símbolos sus masas, energías y momentos, ya sean inicialmente conocidos o desconocidos.

2. Anotar algebraicamente la conservación de la energía total. No olvides incluir la energía de reposo -la masa\(m\) - de cualquier partícula que no se mueva en el marco de flotación libre elegido.

3. Anote algebraicamente la conservación del impulso total. No hay que olvidar que el impulso es un vector. En general esto significa exigir la conservación de cada uno de los tres componentes de impulso total.

4. Intenta resolver incógnitas en términos de conocidos, aún usando símbolos.

a. hacer uso liberal de la relación\(m^{2}=E^{2}-p^{2}, w h e r e p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\)\(\mathrm{p}_{\mathrm{z}}{ }^{2}\). Para un fotón o neutrino, la masa es igual a cero y\(E=\mathrm{p}\) (en magnitud: Preste atención a la dirección del vector de impulso\(\mathrm{p}\) - o su signo si el movimiento está en una dimensión espacial).

b. NO utilice la velocidad\(v\) de una partícula a menos que sea forzado a hacerlo por los requisitos del problema. Las partículas relativistas generalmente se mueven con velocidades muy cercanas a la velocidad de la luz, por lo que la velocidad demuestra ser una mala medida de importancia. Aumenta en un uno por ciento la velocidad de una partícula que se mueve\(v=\)\(0.99\) y aumenta su energía en un factor de casi\(10 .\)

c. Sustituir los valores numéricos en ecuaciones resultantes lo más tarde posible. Antes de sustituir valores numéricos, verifique que todos los valores se expresen en unidades concordantes.

5. Comprueba tu resultado. Consultar unidades de la solución. ¿Es razonable el orden de magnitud de los resultados numéricos? Sustituir los valores limitantes, por ejemplo dejando que la energía de una partícula entrante se vuelva muy grande (y muy pequeña). ¿Es razonable el resultado del caso limitante?

¿Hay alguna conclusión general que pueda sacar de su solución específica? ¿Este ejercicio ilustra un principio profundo o conduce a una aplicación aún más interesante de las leyes de conservación? 240 EL CAPÍTULO 8 CHOCAN. CREAR. ANIQUILAR.

SAMIPILE PIROUBLEMI 8 - 3

COLISIÓN ELÁSTICA SIMÉTRICA

Un protón de masa\(m\) y energía cinética\(K\) en el marco de laboratorio golpea un protón inicialmente en reposo en ese marco. Los dos protones sufren una colisión elástica simétrica: los protones salientes se mueven en direcciones que hacen ángulos iguales y opuestos\(\theta / 2\) con la línea de movimiento de la partícula entrante original. Encuentre la energía y el impulso de cada partícula saliente y ángulo\(\theta\) entre sus direcciones de movimiento salientes para este caso simétrico. Nota histórica: Cuando la velocidad de impacto es pequeña en comparación con la velocidad de la luz, esta separación de direcciones\(\theta\),, es de 90 grados, según la mecánica newtoniana. Las primeras huellas de la cámara de nubes a veces mostraron colisiones simétricas con ángulos de separación sustancialmente menores a 90 grados, dando evidencia de mecánica relativista y proporcionando las primeras mediciones confiables de energía de impacto.

SOLUCIÓN, siguiendo los pasos del Cuadro 8-2

1. Dibuje un diagrama y etiquete las cuatro partículas con letras:

ANTES

DESPUÉS

La simetría de este diagrama implica que las dos partículas salientes tienen la misma energía y la misma magnitud de impulso; es decir,\(E_{c}=E_{d}\) y (en magnitud)\(p_{c}=p_{d}\).

2. Conservación de energía: La energía de cada partícula equivale a masa más energía cinética. Y las masas no cambian en esta reacción. Por lo tanto, la energía cinética total después del encuentro (dividida en partes iguales entre las dos partículas) equivale a la energía cinética total (conocida) antes del encuentro, toda localizada en una partícula. En resumen:\(K_{c}=K_{d}=K_{a} / 2=K / 2\). ¡Respuesta simple a una de las tres preguntas que nos hicieron!

3. Conservación del impulso: Por simetría, los componentes verticales de los momentos de las partículas salientes se cancelan. Componentes horizontales agregan, lo que lleva a la relación

\[p_{\mathrm{tot}}=p_{a}=p_{c} \cos (\theta / 2)+p_{d} \cos (\theta / 2)=2 p_{d} \cos (\theta / 2)\]

o, en breve,

\[p_{a}=2 p_{d} \cos (\theta / 2) \quad \text { [conservation of momentum] }\]

4. Resolver por el ángulo desconocido\(\theta\): En el camino encuentra la otra cantidad solicitada, la magnitud\(p_{c}=p_{d}\) del momento posterior a la colisión. Para ello, primero encuentra el impulso\(p_{a}\) antes de la colisión, usando la fórmula general para el impulso de una partícula individual:

\[\begin{aligned} p &=\left[E^{2}-m^{2}\right]^{1 / 2}=\left[(K+m)^{2}-m^{2}\right]^{1 / 2}=\left(K^{2}+2 m K+m^{2}-m^{2}\right)^{1 / 2} \\ &=\left(K^{2}+2 m K\right)^{1 / 2} \end{aligned}\]

Por lo tanto

\[p_{a}=\left(K^{2}+2 m K\right)^{1 / 2}\]

De la conservación de la energía,\(K_{c}=K_{d}=K / 2\). Por lo tanto

\[p_{d}=\left[(K / 2)^{2}+2 m(K / 2)\right]^{1 / 2}\]

Sustituir estas expresiones por\(p_{a}\) y\(p_{d}\) en la ecuación para la conservación del impulso:

\[\left(K^{2}+2 m K\right)^{1 / 2}=2\left[(K / 2)^{2}+2 m(K / 2)\right]^{1 / 2} \cos (\theta / 2)\]

Cuadrar ambos lados y resolver\(\cos ^{2}(\theta / 2)\) para obtener

\[\cos ^{2}(\theta / 2)=\frac{K+2 m}{K+4 m}\]

Ahora aplica a este resultado la identidad trigonométrica

\[\cos ^{2}(\theta / 2) \equiv \frac{(\cos \theta+1)}{2}\]

Después de alguna manipulación, obtenga el resultado deseado:

\[\cos \theta=\frac{(K / m)}{(K / m)+4}\]

Aquí\(K\) está la energía cinética de la partícula entrante,\(m\) la masa de cualquiera de las partículas y\(\theta\) el ángulo entre las partículas salientes. Este resultado supone (1) una colisión elástica (energía cinética conservada), (2) una partícula inicialmente en reposo, (3) masas iguales de las dos partículas, y (4) la simetría de las trayectorias salientes mostradas en el diagrama.

5a. Caso limitante: Baja energía. En el caso de baja energía (límite newtoniano), la partícula entrante tiene una energía cinética\(K\) mucho menor que su energía de reposo\(m\), por lo que la relación\(\mathrm{K} / \mathrm{m}\) se acerca a cero. En el límite,\(\cos \theta\) se convierte en cero y\(\theta=90\) grados. Este es el resultado newtoniano aceptado para bajas velocidades (excepto para una colisión frontal exactamente, en cuyo caso la partícula entrante se detiene muerta y la partícula golpeada avanza con la misma velocidad y dirección que la partícula entrante original).

5b. Caso limitante: Alta energía. Para colisiones elásticas de energía extremadamente alta, la partícula incidente tiene una energía cinética muy mayor que su energía de reposo, por lo que la relación\(\mathrm{K} / \mathrm{m}\) aumenta sin límite. En este caso la cantidad 4 en el denominador se vuelve insignificante en comparación con\(K / m\), por lo que el numerador y el denominador ambos se acercan al valor\(K / m\), con el resultado\(\cos \theta \rightarrow 1\) y\(\theta \rightarrow 0\). Esto significa que en el caso simétrico especial discutido aquí ambas partículas resultantes avanzan en la misma dirección que la partícula entrante, compartiendo por igual la energía cinética de la partícula entrante.

Para una partícula entrante de muy alta energía, la colisión elástica descrita aquí es solo uno de varios resultados posibles. Los procesos alternativos incluyen la creación de nuevas partículas.

ANIQUILACIÓN

Un positrón de masa\(m\) y energía cinética igual a su masa golpea un electrón en reposo. Aniquilan, creando dos fotones de alta energía. Un fotón ingresa a un detector colocado en un ángulo de 90 grados con respecto a la dirección del positrón incidente. ¿Cuáles son las energías tanto de los fotones (en unidades de masa del electrón) como de la dirección del movimiento del segundo fotón?

SOLUCIÓN, siguiendo los pasos del Cuadro 8-2

1. Dibuja un diagrama y etiqueta las partículas con letras.

ANTES

DESPUÉS

2. Conservación de la energía expresada en los símbolos del diagrama, e incluyendo la energía de reposo de la partícula estacionaria inicial:

\[E_{\text {tot }}=E_{a}+m=E_{c}+E_{d}\]

3. Conservación de cada componente del impulso total:

\[\begin{aligned} &p_{x \text { tot }}=p_{a}=p_{c} \cos \theta \\ &p_{y \text { cot }}=0=p_{c} \sin \theta-p_{d} \end{aligned}\]

[impulso horizontal]

[impulso vertical]

4. Resolver: En primer lugar, el problema establece que la energía cinética\(K\) del positrón entrante es igual a su energía de reposo\(m\). Por lo tanto su energía total\(E_{a}=m+K=m+m\)\(=2 m\). Segundo, las partículas salientes son fotones, para los cuales\(p_{c}=E_{c}\) y\(p_{d}=E_{d}\) en magnitud, respectivamente. Con estas sustituciones, las tres ecuaciones de conservación se convierten en

\[\begin{aligned} E_{a}+m &=2 m+m=3 m=E_{c}+E_{d} \\ p_{a} &=E_{c} \cos \theta \\ E_{d} &=E_{c} \sin \theta \end{aligned}\]

Estas son tres ecuaciones en tres incógnitas\(E_{c}\)\(E_{d}\) y y\(\theta .\) Cuadrar ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones, agregarlas, y usar una identidad trigonométrica para deshacerse del ángulo\(\theta\):

\[p_{a}^{2}+E_{d}^{2}=E_{c}^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=E_{c}^{2}\]

Sustituya\(p_{a}^{2}=E_{a}^{2}-m^{2}\) en el lado izquierdo de esta ecuación y nuevamente use\(E_{a}=2 m\) para obtener una primera expresión para\(E_{c}^{2}\):

\[E_{c}^{2}=E_{a}^{2}-m^{2}+E_{d}^{2}=4 m^{2}-m^{2}+E_{d}^{2}=3 m^{2}+E_{d}^{2}\]

Ahora resuelve la ecuación de conservación de energía para\(E_{c}\) y cuadrázala para obtener una segunda expresión para\(E_{c}^{2}\):

\[E_{c}{ }^{2}=\left(3 m-E_{d}\right)^{2}=9 m^{2}-6 m E_{d}+E_{d}{ }^{2}\]

Equiparar estas dos expresiones para\(E_{c}^{2}\) y restar\(E_{d}{ }^{2}\) de ambos lados para obtener

\[3 m^{2}=9 m^{2}-6 m E_{d}\]

Resolver para desconocido\(E_{d}\):

\[E_{d}=\frac{9 m^{2}-3 m^{2}}{6 m}=\frac{6 m^{2}}{6 m}=m\]

Esto arroja nuestro primer desconocido. Utilice este resultado y conservación de energía para encontrar una expresión para\(E_{c}\):

\[E_{c}=3 m-E_{d}=3 m-m=2 m\]

Finalmente, el ángulo\(\theta\) proviene de la conservación del impulso vertical. Para un fotón\(p\)\(=E\), entonces

\[\sin \theta=\frac{p_{d}}{p_{c}}=\frac{E_{d}}{E_{c}}=\frac{m}{2 m}=\frac{1}{2}\]

de que\(\theta=30\) grados. Ahora hemos resuelto para todas las incógnitas:\(E_{c}=2 m\),\(E_{d}=m\), y\(\theta=30\) grados.

5. Casos limitantes: Aquí no hay ningún caso limitante, ya que la energía del positrón entrante se especifica completamente en términos de la masa\(m\) común al electrón y al positrón.

a. ¿Cuánta masa se convierte en energía cada segundo en el Sol para abastecer la energía luminosa que cae sobre la Tierra?

b. ¿Qué masa total se convierte en energía cada segundo en el Sol para suministrar energía luminosa?

c. La mayor parte de la energía del Sol proviene de la quema de núcleos de hidrógeno (principalmente protones) en núcleos de helio (principalmente una combinación de dos protones y dos neutrones). La masa del protón equivale a\(1.67262 \times 10^{-27}\) kilogramo, mientras que la masa de un núcleo de helio de este tipo equivale a\(6.64648 \times 10^{-27}\) kilogramo. ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno debe convertir el Sol en helio cada segundo para suministrar su salida luminosa? (Una tonelada métrica equivale a 1000 kilogramos, o 2200 libras).

d. Estimar cuánto tiempo seguirá calentando el Sol a la Tierra, descuidando todos los demás procesos en el Sol y las emisiones del Sol.

SOLUCIÓN

a. Un vatio equivale a un julio por segundo\(=\) un kilogramo metro\(^{2} /\) segundo\(^{3}\). Queremos medir la energía en unidades de masa en kilogramos. Haz esto dividiendo el número de julios por el cuadrado de la velocidad de la luz (Sección\(7.5\) y Tabla 7-1):

\[\begin{aligned} \frac{1372 \text { joules }}{c^{2}} &=\frac{1.372 \times 10^{3} \text { kilogram meters }^{2} / \text { second }^{2}}{9.00 \times 10^{16} \text { meters }^{2} / \text { second }^{2}} \\ &=1.524 \times 10^{-14} \text { kilograms } \end{aligned}\]

Así, cada segundo\(1.524 \times 10^{-14}\) kilogramo de energía luminosa cae sobre cada metro cuadrado perpendicular a los rayos del Sol. Los siguientes cálculos se basan en un modelo simplificado de Sun (ver último párrafo de esta solución). Por lo tanto, utilizamos el valor aproximado\(1.5 \times 10^{-14}\) kilogramo por segundo y la precisión de dos dígitos.

¿Qué energía luminosa total cae en la Tierra por segundo? Es igual a la constante solar (en kilogramos por metro cuadrado por segundo) multiplicada por alguna área (en metros cuadrados). Pero, ¿qué área? Piensa en una enorme pantalla de cine tirada detrás de la Tierra y perpendicular a los rayos del Sol (ver la figura). La sombra de la Tierra en esta pantalla forma un círculo de radio igual al radio de la Tierra. Esta sombra representa la zona de radiación eliminada de la que fluye hacia afuera del Sol. Llamar al área de este círculo el área de sección transversal\(A\) de la Tierra. \(r=6.4 \times 10^{6}\)Metros de radio de la Tierra, por lo que el área transversal\(A\) vista por la luz solar entrante es igual a\(A=\pi r^{2}=1.3 \times\)\(10^{14}\) metros\(^{2} .\) De ahí una energía luminosa total igual a\(\left(1.5 \times 10^{-14}\right.\) kilogramos/ metro \(\left.^{2}\right) \times\left(1.3 \times 10^{14}\right.\)metros\(\left.^{2}\right)=2.0\) kilogramos caen sobre la Tierra cada segundo. Esto equivale a la masa convertida cada segundo en el Sol para abastecer la luz incidente en la Tierra.

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