8.S: Colocar. Crear. Aniquilar. (Resumen)

masa: la magnifica del vector 4 llamado momenergy

“La masa se puede convertir en energía y la energía se puede convertir en masa” - esta es una forma suelta y a veces engañosa de resumir algunas consecuencias de los dos b. Supongamos que el Sol entrega luz solar a la misma “tasa constante solar” a cada parte de una esfera que rodea al Sol de radio igual a la Tierra-Sol distancia. El área de esta gran esfera tiene el valor\(4 \pi R^{2}\) donde\(R=1.5 \times 10^{11}\) metros, la distancia promedio de la Tierra desde el Sol. Esta área equivale a\(2.8 \times 10^{23}\) metros\(^{2}\). Por lo tanto Sol convierte un total de\(2.8 \times 10^{23}\) metros\(^{2} \times 1.5 \times 10^{-14}\) kilogramos\(/\) metro\(^{2}\) (de a)\(=4.2 \times 10^{9}\) kilogramos de masa en energía luminosa cada segundo, o alrededor de 4 millones de toneladas métricas por segundo.

c. A través de una serie de procesos nucleares no descritos aquí, cuatro protones se transforman en un núcleo de helio formado por dos protones y dos neutrones. Los cuatro protones originales tienen un\(4 \times 1.67262 \times 10^{-27}=6.69048 \times 10^{-27}\) kilogramo de masa. El núcleo de helio tiene un\(6.64648 \times 10^{-27}\) kilogramo de masa. La diferencia,\(0.04400 \times 10^{-27}\) kilogramo, sale mayormente como ligera. (No podemos usar la precisión de dos dígitos aquí, porque el resultado importante es una diferencia entre números casi iguales).

La relación de hidrógeno quemado a masa convertida es igual a\(6.69048 / 0.04400=\) 150 (¡volver a la precisión de dos dígitos!). Entonces, por cada kilogramo de masa convertido en radiación electromagnética, 150 kilogramos de hidrógeno se queman en helio. En otras palabras, alrededor del\(0.7\) porcentaje de la energía de reposo (masa) del hidrógeno original se convierte en radiación. De ahí que para convertir\(4.2 \times 10^{9}\) kilogramos por segundo en radiación, el Sol quema\(150 \times 4.2 \times 10^{9}\) kilogramos por segundo\(=6.3 \times\)\(10^{11}\) kilogramos de hidrógeno en helio por segundo, alrededor de 630 millones de toneladas métricas cada segundo.

d. Podemos calcular la masa del Sol calculando cuánta gravedad solar se necesita para guiar a nuestro planeta en una órbita de 8 minutos de radio luz y un año de tiempo de circuito. Resultado: alrededor de\(2.0 \times 10^{30}\) kilogramos. Si el Sol fuera todo hidrógeno, entonces el proceso de quemar a helio a la tasa actual de\(6.3 \times 10^{11}\) kilogramos cada segundo tomaría\(\left(2.0 \times 10^{30}\right.\) kilogramos\() /\left(6.3 \times 10^{11}\right.\) kilogramos\(/\)\()=3.2 \times 10^{18}\) segundos segundos. A 32 millones de segundos al año, esto duraría aproximadamente\(10^{11}\) años, o 100 mil millones de años.

Por supuesto, la evolución de una estrella es más complicada que la simple conversión del hidrógeno en helio más radiación. Otras reacciones nucleares fusionan helio en núcleos más masivos en el camino hacia el núcleo más estable, el hierro-56 (Sección 8.7). Estas otras reacciones ocurren a temperaturas más altas y típicamente proceden a velocidades más rápidas que el proceso de hidrógeno a helio. Sol emite una inundación de neutrinos (invisibles; detectados con aparatos elaborados; cantidad actualmente incierta por un factor de 2, se llevan menos del 1 por ciento de la producción del Sol). El sol también pierde masa a medida que las partículas se alejan de la superficie, llamadas viento solar. Y las estrellas no convierten todo su hidrógeno en helio y otros núcleos -ni viven durante 100 mil millones de años. Según la teoría actual, la vida de una estrella como el Sol equivale aproximadamente a 10 mil millones de\(\left(10^{10}\right.\) años). Creemos que Sun tiene entre 4 y 5 mil millones de años. Los 6 mil millones de\(\left(6 \times 10^{9}\right.\) años restantes) más o menos debería ser tiempo suficiente para que nuestros descendientes se coloquen en el calor de las estrellas cercanas.

principios básicos y realmente precisos: (1) La momenergía total de un sistema aislado de partículas permanece sin cambios en una reacción; (2) La magnitud invariante de la momenergía de cualquier partícula dada es igual a la masa de esa partícula.

¿Cuánta información sólida sobre la física se puede extraer de estos principios básicos? ¿Qué problemas surgen a veces de aceptar una formulación demasiado floja del “principio de equivalencia de masa y energía”? Algunas respuestas a estas preguntas aparecen en el diálogo que sigue, que sirve también como resumen de este capítulo.

DIÁLOGO: USO Y ABUSO DEL CONCEPTO DE MASA

¿Un sistema aislado tiene la misma masa que se observa en cada marco de referencia inercial (flotación libre)?

¿Su energía tiene el mismo valor en cada cuadro inercial?

¿La energía es igual a cero para un objeto de masa cero, como un fotón o neutrino o gravitón?

¿Puede un fotón -que no tiene masa- dar masa a un absorbedor?

Invarianza de masa: ¿Esa característica de la naturaleza es la misma que el principio de que todos los electrones del universo tienen la misma masa? Sí. Dado en términos de energía\(E\) e impulso\(p\) por\(m^{2}=E^{2}-p^{2}\) en un fotograma, por\(m^{2}=\left(E^{\prime}\right)^{2}-\)\(\left(p^{\prime}\right)^{2}\) en otro marco. La masa de un sistema aislado es, por lo tanto, una invariante.

No. La energía es dada por\(E=\left(m^{2}+p^{2}\right)^{1 / 2}\) o

\[E=m /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\]

o

\[E=(\text { mass })+(\text { kinetic energy })=m+K\]

El valor depende del marco de referencia a partir del cual se observe la partícula (o sistema aislado de partículas). El valor es el más bajo en el marco de referencia en el que la partícula (o sistema) tiene impulso cero (impulso total cero en el caso de un sistema aislado de partículas). En ese marco, y solo en ese marco, la energía equivale a la masa.

No. La energía tiene valor\(E=\left(0^{2}+p^{2}\right)^{1 / 2}=p\) (o en unidades convencionales\(E_{\text {conv }}=c p_{\text {conv }}\)). Alternativamente se puede decir -formalmente- que toda la energía reside en forma de energía cinética\((K=p\) en este caso especial de masa cero), ninguna en absoluto en forma de energía de reposo. Por lo tanto,

\[E=(\text { mass })+(\text { kinetic energy })=0+K=K=p\]

(¡caso de masa cero solamente!).

Sí. Luz con energía\(E\) transfiere masa\(m=E(=\)\(E_{\text {conv }} / c^{2}\)) a un absorbente pesado (Ejercicio 8.5).

No. Es cierto que todas las partículas elementales del mismo tipo tienen la misma masa. Sin embargo, ese es un hecho totalmente distinto del principio de que la masa de un sistema aislado tiene un valor idéntico en cualquier marco de flotación libre que se calcula (invarianza de la masa del sistema). Invarianza de masa: ¿Es esa la misma idea que la

No. Conservación de la momenergia -el principio de conservación de la momenergia de un sistema aisladoválido para un sistema aislado- dice que el momentem? ergy 4-vector figurado antes de que los constituyentes de un sistema hayan interactuado es idéntico al momenergy 4-vector calculado después de que los constituyentes hayan interactuado. En contraste, la invarianza de la masa -la magnitud del vector momenergy 4- dice que esa masa es la misma en cualquier marco de flotación libre en el que se figure. Momenergy: ¿Es ese un concepto más rico que la masa?

Conservación de la momenergía de un sistema aislado: ¿Implica esto que las colisiones e interacciones dentro de un sistema aislado no pueden cambiar la masa del sistema?

Conservación de la momenergía de un sistema aislado: ¿Dice esto que los constituyentes que entran en colisión son necesariamente los mismos en masa individual y en número que los constituyentes que dejan esa colisión?

¿Puedo calcular la masa de un sistema aislado compuesto por un número,\(n\), de objetos que se mueven libremente simplemente agregando las masas de los objetos individuales? Ejemplo: Colección de moléculas de rápido movimiento.

¿Podemos simplificar esta expresión para la masa de un sistema aislado compuesto por objetos que se mueven libremente cuando lo observamos desde un marco de flotación libre tan elegido para hacer que el impulso total sea cero? Sí. Momenergy 4-vector revela masa y más: el movimiento del objeto o sistema con la masa

Sí. La masa de un sistema aislado, siendo la magnitud de su momenergy 4-vector, nunca puede cambiar (siempre y cuando el sistema permanezca aislado).

¡No! Los constituyentes a menudo cambian en un encuentro de alta velocidad.

Ejemplo 1: Colisión de dos bolas de masilla que se pegan entre sí - después de la colisión más caliente y por lo tanto muy ligeramente más masiva que antes.

Ejemplo 2: Colisión de dos electrones\(\left(e^{-}\right)\) con suficiente violencia para crear masa adicional, un par que consiste en un electrón ordinario y un electrón positivo (positrón:\(e^{+}\)):

\[e^{-}(\text {fast })+e^{-}(\text {at rest }) \rightarrow e^{+}+3 e^{-}\]

Ejemplo 3: Colisión que irradia uno o más fotones:

\ [\ begin {array} {r} e^ {-} (\ text {rápido}) +e^ {-} (\ texto {en reposo})\ fila derecha\\ 2\ izquierda (\ begin {array} {c} \ text {electrones de}\ \ texto {intermedio}\ \ texto {velocidad} \ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} c {} \ texto {electromagnético}\\ \ texto {energía (fotones)}\\ \ text {emitido en el}\\ \ text {proceso de colisión} \ end {array}\ right) \ end {array}\]

En los tres ejemplos, el sistema momenergy y la masa del sistema son cada uno iguales antes que después.

Ordinariamente NO, pero sí en un caso muy especial: Dos objetos que no interactúan se mueven libremente y en paso, uno al lado del otro. Entonces la masa del sistema sí es igual a la suma de las dos masas individuales. En el caso general, donde las partes del sistema se mueven entre sí, la relación entre la masa del sistema y la masa de las piezas no es aditiva. La longitud, en el sentido de intervalo, de los 4 vectores de la energía mamá total no es igual a la suma de las longitudes de los 4 vectores individuales de energía mamá, y por una simple razón: En el caso general esos vectores no apuntan en la misma dirección espacio-tiempo. La energía sin embargo, sí agrega y el impulso sí agrega:

\[E_{\text {system }}=\sum_{i=1}^{n} E_{i} \quad \text { and } \quad p_{x, \text { system }}=\sum_{i=1}^{n} p_{x, i}\]

A partir de estas sumas se puede evaluar la masa del sistema:

\[M_{\text {system }}^{2}=E_{\text {system }}^{2}-p_{x, \text { system }}^{2}-p_{y, \text { system }}^{2}-p_{z, \text { system }}^{2}\]

Sí. En este caso la masa del sistema tiene un valor dado por la suma de energías de las partículas individuales:

\[M_{\text {system }}=E_{\text {system }}=\sum_{i=1}^{n} E_{i}\]

[en marco mentum total cero] Además, la energía de cada partícula siempre puede ser exp\(K:\)

\[E_{i}=m_{i}+K_{i} \quad(i=1,2,3, \ldots, n)\]

Entonces la masa del sistema excede la suma de las masas de sus partículas individuales en una cantidad igual a la energía cinética total de todas las partículas (pero solo como se observa en el marco en el que el impulso total es igual a cero):

\[M_{\text {system }}=\sum_{i=1}^{n} m_{i}+\sum_{i=1}^{n} K_{i}\]

[en cero-total [en marco entum]

Para partículas lentas (límite de baja velocidad newtoniana) Para partículas lentas (límite de baja velocidad newtoniana) el término de energía cinética es insignificante en comparación con el término de energía cinética es insignificante en comparación con el término de masa. Por lo que es natural que durante años muchos pensaran que la masa de un sistema es la suma de las masas de sus partes. Sin embargo, tal creencia conduce a la cuestión de principios a todas las velocidades.

Las energías de interacción tienen que ser tomadas

¿Cuál es el significado de masa para un sistema en el que las partículas interactúan y se mueven? cuenta. Por lo tanto, contribuyen a la energía total,\(E_{\text {system }}\), que le da a la masa

\[M_{\text {system }}=\left(E_{\text {system }}^{2}-p_{\text {system }}^{2}\right)^{1 / 2}\]

Cómo averiguamos la masa de un sistema de partículas

¡Pesarlo! Pesarlo por medios convencionales si estamos (Tabla 8-1) que se mantienen -o se pegan- juntos?

¿Mide en masa “cantidad de materia”?

¿La explosión en el espacio de una bomba de hidrógeno de 20 megatones convierte\(0.93\) kilogramo de masa en energía (fusión, Sección 8.7)? \(\left[\Delta m=\Delta E_{\text {rest, conv }} / c^{2}=\right.\)\(\left(20 \times 10^{6}\right.\)toneladas TNT)\(\times\left(10^{6}\right.\) gramos\(/\) tonelada\() \times\left(10^{3}\right.\) calorías/gramo de “TNT equivalente”) X (4.18 julios/calorías\() / c^{2}=\left(8.36 \times 10^{16}\right.\) julios\() /(9 \times\)\(10^{16}\) metros \(^{2} /\)segundo\(\left.^{2}\right)=0.93\) kilogramo] aquí en la Tierra y el sistema es lo suficientemente pequeño, de lo contrario determinando su atracción gravitacional sobre un satélite en órbita de flotación libre a su alrededor.

La naturaleza no nos ofrece ningún concepto como “'cantidad de materia”. La historia ha derribado todas las propuestas para definir tal término. Aunque pudiéramos contar el número de átomos o por cualquier otro método de conteo intentáramos evaluar la cantidad de materia, ese número no sería igual a la masa. Primero, la masa del espécimen cambia con su temperatura. Segundo, los átomos fuertemente unidos en un sólido pesan menos -son menos masivos- que los mismos átomos libres. Tercero, muchos de los átomos de la naturaleza sufren desintegración radiactiva, con aún mayores cambios de masa. Además, a nuestro alrededor ocasionalmente, y continuamente en las estrellas, el número de átomos y el número de partículas mismas experimentan cambios. ¿Cómo entonces hablar honestamente? Misa, sí; “'cantidad de materia”, no.

¡Sí y no! La pregunta necesita ser planteada con más cuidado. La masa del sistema de gases en expansión, fragmentos y radiación tiene el mismo valor inmediatamente después de la explosión que antes; la masa\(M\) del sistema no ha cambiado. Sin embargo, el hidrógeno ha sido transmutado a helio y se han producido otras transformaciones nucleares. En consecuencia la composición de la masa del sistema

\[M_{\text {sssem }}=\sum_{i=1}^{n} m_{i}+\sum_{i=1}^{n} K_{i}\]

[en marco de impulso total cero]

ha cambiado. El primer término sobre la suma derecha de las masas de los constituyentes individuales - ha disminuido en\(0.93\) kilogramo:

\[\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i}\right)_{\text {after }}=\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i}\right)_{\text {before }}-0.93 \text { kilogram }\]

El segundo término -suma de energías cinéticas, incluyendo “energía cinética” de fotones y neutrinos producidos- ha aumentado en la misma cantidad:

\[\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}\right)_{\text {after }}=\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}\right)_{\text {before }}+0.93 \text { kilogram }\]

El primer término en el lado derecho de esta ecuación el contenido de calor original de la bomba - es prácticamente cero en comparación con\(0.93\) kilogramo.

Así, parte de la masa de constituyentes se ha convertido en energía; pero la masa del sistema no ha cambiado.

La masa de los productos de una explosión de fisión nuclear (Sección 8.7: fragmentos de núcleos divididos de uranio, por ejemplo) -contenidos en una cavidad subterránea, dejados enfriar, recolectar y pesar-, ¿es esta masa menor que la masa del dispositivo nuclear original? ¡Sí! El punto clave es el período de espera, que permite que el calor y la radiación fluyan hasta que los materiales transmutados tengan prácticamente el mismo contenido de calor que el de la bomba original. En la expresión para la masa del sistema

\[M_{\text {system }}=\sum_{i=1}^{n} m_{i}+\sum_{i=1}^{n} K_{i}\]

[en marco mentum total cero]

el segundo término a la derecha, la energía cinética de la agitación térmica -cuyo valor subió repentinamente en el momento de la explosión pero bajó durante el periodo de enfriamiento- no ha sufrido ninguna alteración neta como consecuencia de la explosión seguida del enfriamiento.

En contraste, la suma de masas

\[\sum m_{i}\]

ha sufrido una disminución permanente, y con ello ha bajado la masa\(M\) de lo que se pesa (después del periodo de enfriamiento) (ver figura). ¿La afirmación de Einstein de que la masa y la energía son equivalentes significa que la energía es lo mismo que la masa?

Entonces, ¿cuál es el significado de la afirmación de Einstein de que la masa y la energía son equivalentes?

Sin ahondar en todos los puntos finos de la fraseología legalista, ¿qué tan significativo es el factor de conversión\(c^{2}\) en la ecuación\(E_{\text {rest, conv }}=m c^{2}\)?

Si el factor no\(c^{2}\) es la característica central de la relación entre masa y energía, ¿qué es central?

¿La masa de un objeto en movimiento es mayor que la masa del mismo objeto en reposo?

¿En serio? No es la masa,\(M\), de un sistema de partículas que se mueven libremente dada, no por la suma de las masas\(m_{i}\) de los constituyentes individuales, sino por la suma del No. El valor de la energía depende del marco de referencia de flotación libre a partir del cual se considera la partícula (o sistema aislado de partículas). Por el contrario, el valor de la masa es independiente del marco inercial. La energía es solo la componente de tiempo de un vector momenergy 4, mientras que la masa mide la magnitud completa de ese vector 4. El componente de tiempo da la magnitud del vector momenergy 4 solo en el caso especial en el que ese vector 4 no tiene componente espacial; es decir, en un marco en el que el impulso de la partícula (o el impulso total de un sistema aislado de partículas) es igual a cero. Solo cuando se mide en este marco especial de impulso cero, la energía tiene el mismo valor que la masa.

La declaración de Einstein se refiere al marco de referencia en el que la partícula está en reposo, de manera que tiene cero impulso\(p\) y cero energía cinética\(K\). Entonces\(E=\)\(m+K \rightarrow m+0 .\) en ese caso la energía se llama la energía de reposo de la partícula:

\[E_{\text {rest }}=m\]

En esta expresión, recordemos, la energía se mide en unidades de masa, por ejemplo kilogramos. Multiplique por el factor de conversión\(c^{2}\) para expresar energía en unidades convencionales, por ejemplo julios (Cuadro 7-1). El resultado es la famosa ecuación de Einstein:

\[E_{\text {rest, conv }}=m c^{2}\]

Muchos tratamientos de la relatividad no logran utilizar el subíndice “descanso” -necesario para recordarnos que esta equivalencia de masa y energía se refiere únicamente a la energía de reposo de la partícula (para un sistema, la energía total en el marco de impulso total-cero).

El factor de conversión\(c^{2}\), como el factor de conversión de segundos a metros o millas a pies (Recuadro 3-2), hoy cuenta como un detalle de convención, más que como un nuevo principio profundo.

La distinción entre masa y energía es la siguiente: La masa es la magnitud del momenergy 4-vector y la energía es el componente de tiempo del mismo 4-vector. Cualquier característica de cualquier discusión que enfatice este contraste es una ayuda para la comprensión. Cualquier mezcla de terminología que oscurezca esta distinción es una fuente potencial de error o confusión.

No. Es lo mismo si el objeto está en reposo o en movimiento; lo mismo en todos los fotogramas.

¡Ay! El concepto de “masa relativista” está sujeto a malentendidos. Por eso no lo usamos. En primer lugar, se aplica el nombre masa - perteneciente a la

 

energías\(E_{i}\) (pero solo en un marco en el que el impulso total del sistema sea igual a cero)? Entonces, ¿por qué no darle\(E_{i}\) un nuevo nombre y llamarlo “masa relativista” de la partícula individual? Por qué no adoptar la notación

\(m_{i, \mathrm{rel}}=E_{i}=m_{i}+K_{i} ?\)

Con esta notación, no se puede escribir

\(M=\sum_{i=1}^{n} m_{i, \mathrm{rel}} ?\)

[en marco de impulso total cero] Para dejar claro este punto, ¿deberíamos invariante masa de una partícula su “masa de reposo”?

magnitud de un 4-vector-a una muy diferente

el componente de tiempo de un vector 4. Segundo, hace que el aumento de la energía de un objeto con velocidad o impulso parezca estar conectado con algún cambio en la estructura interna del objeto. En realidad, el incremento de la energía con la velocidad se origina no en el objeto sino en las propiedades geométricas del espacio-

el tiempo mismo.

¿Así lo llamamos en la primera edición de esta masa invariante de una partícula su “masa de reposo”?

¿Puede algún diagrama simple ilustrar este bebook de contraste? Pero un estudiante reflexivo señaló que la frase “masa de descanso” también está sujeta a malentendidos: ¿Qué sucede con la “masa de descanso” de una partícula cuando la partícula se mueve? En realidad la masa es masa es masa. La masa tiene el mismo valor en todos los fotogramas, es invariante, sin importar cómo se mueva la partícula. [Galileo: “En cuestiones de ciencia la autoridad de mil no vale el humilde razonamiento de un solo individuo."']

Sí. La figura muestra la energía momento-energía 4tween masa y energía? vector de la misma partícula medida en tres marcos diferentes. La energía difiere de un cuadro a otro. El momento difiere de un cuadro a otro. La masa (magnitud de 4-vector, representada por la longitud de los mangos en las flechas) tiene el mismo valor,\(m=8\), en todos los fotogramas.

 

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