9.6: Gravitación como Curvatura del Espacio-Tiempo

La curvatura del espacio-tiempo explica las aceleraciones de las mareas de los objetos

Einstein sonríe, también, mientras escucha la gravitación descrita como acción a distancia. Curvatura del espacio-tiempo y nada más, nos dice, es todo lo que se requiere para describir el cambio milimétrico o dos en la separación en 8 segundos de dos rodamientos de bolas, originalmente a 20 metros de distancia en el espacio sobre la Tierra, y dotados al inicio de velocidad relativa cero. Además, esta curvatura explica completamente la gravitación.

¡Qué afirmación tan tonta! "' es la primera reacción de uno. “¿Cómo pueden esos cambios menores -y lentos- en la distancia entre una bola diminuta y otra, ofrecer algún tipo de comprensión de la enorme velocidad con la que una masa que cae golpea la Tierra?” La respuesta es simple: Muchos marcos de referencia locales, encajados juntos, conforman la estructura global del espacio-tiempo. Cada marco Lorentz local puede considerarse como que tiene uno de los rodamientos de bolas en su centro. Todos los rodamientos de bolas se acercan simultáneamente a sus vecinos (curvatura). Entonces la estructura a gran escala del espacio-tiempo se dobla y se acerca más a la Tierra (Figura 9-6). De esta manera muchas manifestaciones locales de curvatura se suman para dar la apariencia de gravitación de largo alcance originada en la Tierra en su conjunto.

En resumen, la geometría utilizada para describir el movimiento en cualquier marco local de flotación libre es la geometría plano-espacio-tiempo de Lorentz (relatividad especial). En relación con dicho marco local de flujo libre, cada partícula de prueba eléctricamente neutra cercana se mueve en línea recta con velocidad constante. Se detectan partículas ligeramente más remotas que cambian lentamente sus velocidades, o las direcciones de sus líneas del mundo en el espacio-tiempo. Estos cambios se describen como efectos mareales de la gravitación. Se entiende que se originan en la curvatura local del espacio-tiempo.

Desde el punto de vista del estudiante de física local, la gravitación se manifiesta no en absoluto en el movimiento de una partícula de prueba sino sólo en el cambio de separación de dos o más partículas de prueba cercanas. “En lugar de tener un marco global con fuerzas gravitacionales, tenemos muchos marcos locales sin fuerzas gravitacionales”. Sin embargo, estos cambios de dimensión local se suman a un efecto en la estructura global del espacio-tiempo que uno interpreta como “gravitación” en sus manifestaciones cotidianas.

En contraste, Newton supuso la existencia de un marco de referencia global ideal. Para él, “El espacio absoluto, en su propia naturaleza, sin relación con nada externo, sigue siendo siempre similar e inamovible”. El rodamiento de bolas o nave espacial es considerado por Newton como realmente acelerado con respecto a este marco ideal. La “fuerza gravitacional” que la acelera actúa misteriosamente a través del espacio y es producida por objetos distantes. Que el hombre de la nave espacial no encuentre pruebas ni de la aceleración ni de la fuerza es un accidente de la naturaleza, según la visión newtoniana. Los expertos solían interpretar este accidente de la naturaleza como la fortuita igualdad de “masa gravitacional” y “masa inercial” o de otras formas “aprendidas”.

En conversaciones con uno de los autores de este libro en diversas ocasiones a lo largo de los años, Einstein enfatizó su gran respeto por Newton y, en particular, su admiración por el coraje y el juicio de Newton. Destacó que Newton era aún más consciente que sus críticos del siglo XVII de las dificultades con las ideas del espacio y el tiempo absolutos. Sin embargo, postular esas ideas fue la única manera práctica de continuar con la tarea de describir el movimiento en el siglo de Newton. En efecto, Newton dividió el problema del movimiento en dos partes: (1) el espacio y el tiempo y su significado: ideas que eran desconcertantes pero utilizables y que estaban destinadas a aclararse solo 230 años después y (2) las leyes de la aceleración con respecto a ese espacio-tiempo idealizado: leyes que Newton le dio al mundo.

FIGURA 9-6. Curvatura local que se suma a la aparición de gravitación de largo alcance. El acortamiento de la distancia entre cualquier par,\(\mathrm{A}\) y\(\mathrm{B}\), de rodamientos de bolas es pequeño cuando la distancia en sí es pequeña. Sin embargo, la pequeña separación entre cada rodamiento de bolas y su pareja exige muchos pares para abarcar la Tierra. El acortamiento totalizado de la circunferencia en un tiempo dado -el acortamiento de una separación por el número de separaciones- es independiente de la finura de la subdivisión. Ese tirón totalizado de la circunferencia lleva todo el collar de masas hacia adentro. Esto es caída libre, esto es gravedad, se trata de un movimiento a gran escala interpretado como consecuencia de la curvatura local. Ejemplo:

Separación original entre\(\mathrm{A}\) y\(\mathrm{B}\) -y cada dos pares: 20 metros

Tiempo de observación: 8 segundos

Acortamiento de la separación en ese tiempo: 1 milímetro

Acortamiento fraccional: 1 milímetro/20 metros\(=1 / 20,000\)

Circunferencia de la Tierra (longitud del collar aireado de rodamientos de bolas):\(4.0030 \times 10^{7}\) metros

Contracción de esta circunferencia en 8 segundos:\(1 / 20,000 \times 4.0030 \times 10^{7}\) metros\(=2001.5\) metros

Disminución en la distancia desde el centro de la Tierra (caídas por el mismo factor 1/20,000):

\(1 / 20,000 \times 6.371 \times 10^{6}\)metros\(=315\) metros.

Este efecto aparentemente a gran escala es causado -en la imagen de Einstein- por la adición de una multitud de efectos a pequeña escala: los cambios en las dimensiones locales asociados\(\mathrm{B}\) a la curvatura de la geometría (falla de permanecer en reposo como se observa en el marco de flotación libre asociado a A).

¿Cuál es la fuente de la curvatura del espacio-tiempo? Momenergy es la fuente. En el capítulo 8 vimos la primacía de la momenergia al gobernar las interacciones entre partículas. Choque de masa sobre masa, no importa cuán elástica o destructiva sea, deja la momenergía total del sistema bastante inalterada. ¿Por qué milagro se produce esto? Educación de la mamá ¿energía desde el nacimiento hasta el buen comportamiento? ¿Bondad de corazón?

CÓMO CURVATURA ESPACIO-TIEMPO

El collar de rodamientos de bolas (Figura 9-6) ya que ap-

! [] (https://cdn.mathpix.com/cropped/2022_01_20_cf3ecdf45af5a5b5f6ceg-12.jpg?height=170&width=655&top_left_y=751&top_left_x=70great, esfera de masa esencialmente uniforme, esencialmente aislada. La curvatura en su carácter es totalmente “productora de mareas”, totalmente “no contráctil”.

Una serie de masas de prueba que cubren la superficie de un sppere de bollow que flota libremente sobre la superficie de la Tierra se encogerá en dos dimensiones y se alargará en una. El volumen permanece constante; solo cambia el sbape. Este cambio es evidencia de la curvatura espacio-tiempo no contráctil que conduce las mareas fuera de la Tierra. ¿Qué significan estos términos descriptivos y cómo verificamos que aplican? Observamos un racimo de rodamientos de bolas salpicados aquí y allá sobre la superficie de una pequeña esfera imaginaria, todos momentáneamente en reposo uno relativo al otro y relativo a la Tierra. Esa forma, sin embargo, a medida que pasan los segundos, cambia de esfera a elipsoide. ¿Cómo es que? Primero veamos las dos dimensiones de la esfera que se encuentran perpendiculares entre sí pero paralelas a la superficie de la Tierra. Ambas dimensiones de la esfera se contraen a medida que los rodamientos de bolas convergen hacia el centro de la Tierra. La dimensión arriba-abajo del patrón, sin embargo, se alarga y el doble. ¿Por qué? Newton dice por la mayor aceleración gravitacional de la que está más cerca de la Tierra. Dice Einstein porque el estiramiento del dos por ciento en esa dimensión compensa la contracción del uno por ciento en las otras dos dimensiones y mantiene el volumen del patrón sin cambios. Curvatura espacio-temporal, sí; pero una curvatura totalmente no contráctil. La famosa ecuación de Einstein, expresada en términos simples, nos dice cómo la curvatura del espacio-tiempo responde a la masa:\[\begin{gathered} \left(\begin{array}{c} \text { appropriate measure of } \\ \text { spacetime contractile curvature } \\ \text { at any place, any time, } \\ \text { in any Lorentz frame } \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c} \text { a universal } \\ \text { constant } \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} \text { density of energy } \\ \text { at that locale } \\ \text { perceived in that } \\ \text { Lorentz frame } \end{array}\right) \end{gathered}\] Afuera, sin masa, sin energía, una curvatura espacio-temporal que es totalmente no contráctil. Dentro de la Tierra, sin embargo, hay masa, por lo tanto hay energía -o en un mov- El espacio-tiempo controla momenergia ¿Obediencia a los ojos de un cuerpo de contadores? No, Einstein nos enseñó. El organismo ejecutor no se encuentra muy lejos. Está al alcance de la mano. Es la geometría del espacio-tiempo, justo donde se produce el choque. El espacio-tiempo no solo agarra la masa aislada, diciéndole cómo moverse. Además, en un choque se encarga de que los participantes ni ganen ni pierdan momenergia. ¡Pero hay más! El espacio-tiempo, al actuar así, no puede ing frame, energía más flujo de energía-y por lo tanto la curvatura espacio-tiempo allí tiene un carácter contráctil. Los rodamientos de bolas -cuando se perforan ejes para ellos de manera que ninguno de ellos encuentre ningún obstáculo para el movimiento de la línea libre- comienzan a converger tanto vertical como horizontalmente. El volumen se encoge. Eso, pasar por alto los detalles, es a lo que nos referimos cuando decimos que “la masa agarra el espacio-tiempo, diciéndole cómo curvar”.

No hay masa terrestre afuera en la órbita de la Luna. Entonces, ¿cómo explica la geometría del espacio-tiempo de Einstein el movimiento de la Luna? Respuesta: La masa terrestre impone al espacio-tiempo una curvatura contráctil en todo el interior de la Tierra, ya que los pies de un saltador imponen una curvatura contráctil en un trampolín. Esa curvatura contráctil, donde empujan los pies, obliga a la tela no rasgada circundante a un estiramiento lateral correspondiente. Ese efecto se transmite en medida cada vez más diluida a las regiones cada vez más remotas del trampolín.

La deformación de la tela del trampolín no desgarrable bajo los pies del saltador y en otros lugares es análoga a la curvatura no rasgada de la geometría espacio-tiempo dentro de la Tierra y en otros lugares Del mismo modo el espacio-tiempo no se rompe. Su tejido justo por encima de la superficie de la Tierra experimenta la misma contractilidad lateral que justo debajo de la superficie. No es así con la curvatura en el dominio bidimensional definida por el tiempo y por la dirección perpendicular a la superficie de la Tierra. En ese plano, la curvatura dentro de la Tierra es contráctil pero de repente salta justo por encima de la superficie de la Tierra al carácter opuesto. De ahí el carácter productor de mareas de la curvatura espacio-temporal fuera de la Tierra. Un punto dos veces más lejos del centro de la Tierra se encuentra en una esfera imaginaria centrada en la Tierra que abarca ocho veces el volumen. Allí la curvatura productora de mareas experimenta ocho veces la dilución y tiene un octavo la fuerza A pesar de esta rápida dilución del poder productor de mareas con la distancia, tiene suficiente fuerza en la Luna, 60 radios terrestres alejados del centro de la Tierra, para deformar la Luna de esfera a elipsoide,\(1738.35\) kilómetros en radio a lo largo de la dirección Tierra-Luna,\(1738.15\) kilómetros en radio para cada una de las otras dos direcciones perpendiculares.

Tan fácil como es considerar a la Tierra como corriendo todo el espectáculo, la Luna también tiene su parte. Como un infante parado en el trampolín a cierta distancia de su madre, impone su propia pequeña curvatura encima de la curvatura evocada por la Tierra. Esa curvatura adicional, contráctil en el interior de Moon, tiene un carácter de conducción de mareas afuera. Si la Tierra fuera una esfera ideal cubierta por un océano ideal de profundidad uniforme, entonces la Luna atraería la superficie de ese océano\(35.6\) centímetros más alta que el promedio en dos dominios, uno directamente frente a la Luna, uno directamente opuesto a ella, bajando simultáneamente esas aguas\(17.8\) centímetros por debajo de la media en el círculo de puntos a medio camino entre los dos. (Estas cifras bajas muestran lo importante que es el canalización y el chapoteo resonante para determinar las alturas de las mareas oceánicas reales en la Tierra).

La curvatura contráctil local del espacio-tiempo en la ubicación de la Luna sumada a lo largo del camino de la Luna produce la aparición de gravitación de largo alcance, similar a la ilustrada en la Figura 9-6. El recuadro 2-1 cuenta un poco de las muchas influencias que hay que tener en cuenta en cualquier tratamiento más completo de las mareas.

mantener la perfección asumida en los libros de texto antiguos. A cada acción hay una reacción correspondiente. El espacio-tiempo actúa sobre la energía de la mamá, diciéndole que se incline para que se mueva; la momenergía reacciona de nuevo en el espacio-tiempo, diciéndole Este “apretón de manos” entre momen-

Momenergy le dice al espacio-tiempo cómo curvar la energía y el espacio-tiempo es el origen de la conservación de la energía mom-y la fuente de curvatura espacio-tiempo que conduce a la gravitación (Recuadro 9-1).