Apéndice

Para uso del instructor

Un apéndice lleno de gore matemático continuo puede parecer una extraña etiqueta en un libro destinado a enseñar a la gente sobre la relatividad utilizando principalmente imágenes, que contienen solo tantas ecuaciones como sean absolutamente necesarias. No obstante lo incluyo para instructores y esos pocos lectores a los que no les importa las matemáticas. Lo hago por tres razones. Primero, en el capítulo 4 de este libro se hace una afirmación de longitud de arco que se da sin pruebas visuales, y los lectores tal vez deseen saber que tal prueba existe. Segundo, uno puede querer determinar los factores de dilatación del tiempo exactamente para las porciones aceleradas de nuestro viaje a Alpha Centauri en el capítulo 3. En tercer lugar, las referencias que establecen relaciones relativistas que incluyen aceleración sin análisis tensor son casi inexistentes. Un libro agotado de Francis Sears y Robert Brehme * es el único que he encontrado.

Para mostrar que la longitud del arco en la figura 10 del capítulo 4 viene dada por la ecuación

\[\tau^{2}=1-\frac{2 A r}{c^{2}} t^{2}, \tag{A1}\]

(donde A = Gm/r ²) y, en última instancia, para obtener el radio Schwarzschild, primero se deben conocer las relaciones entre la posición, el tiempo de coordenadas y el tiempo adecuado en un sistema acelerado. Una primera define correctamente la aceleración en términos de derivadas de tiempo apropiado de las cuatro velocidades,

\[X=\{c t, \vec{r}\}, \tag{A2a}\]

\[V=\frac{d X}{d \tau}=\left\{V_{t}, \vec{V}_{r}\right\}=c \gamma, \frac{d \vec{r}}{d \tau}, \tag{A2b}\]

donde el superíndice μ toma los valores 0, 1, 2 y 3 referidos al tiempo y las tres coordenadas espaciales. Observe que V es la derivada de la posición X con respecto al tiempo adecuado y cuya derivada de tiempo apropiada es la aceleración:

\[A=\frac{d V}{d \tau}=\left\{A_{t}, \vec{A}_{r}\right\}. \tag{A2c}\]

También observamos que

\[\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t} \tag{A2d}\]

y

\[\gamma=\frac{d t}{d \tau}. \tag{A2e}\]

Ahora, a partir del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo superior en la figura 1, o usando la definición del intervalo de tiempo apropiado para una métrica plana,

\[ \eta_{v}= \ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \nonumber\]

con la convención de Einstein de que los índices repetidos implican una suma sobre todos los valores posibles),

\[c^{2} d \tau^{2} \equiv d X d X=\eta_{v} d X d X^{v}=c^{2} d t^{2}-d r^{2}=\left(c^{2}-v^{2}\right) d t^{2} . \tag{A3a}\]

Luego dividiendo por\( d \tau^{2}\),

\[ c^{2}=V_{t}^{2}-V_{r}^{2}\tag{A3b}\]

muestra que el triángulo inferior en la figura 1 es similar al triángulo superior. Finalmente, la\(\tau\) derivada de (A3b) da

\[0=V_{t} A_{t}-V_{r} A_{r}=V A. \tag{A3c}\]

En el marco de reposo instantáneo del cohete de aceleración uniforme,\(V_{r}=0\) y\(V_{t} = c\) para que el ángulo θ en la figura 1 vaya a 0. En este caso, (A3c) implica\(A_{t} = 0\). Entonces la parte espacial del cuatro vector de aceleración en el fotograma de reposo instantáneo del cohete (con θ = 0 en la figura 2, el triángulo equivalente a la figura 1 para la aceleración) da el tamaño de la aceleración invariante\(A_{r}^{2}=A^{2}\),, así como la parte temporal del momentum cuatro-vector en el instantáneo resto marco del cohete da la masa invariante,\(E_{0}=m c^{2}\). Un vector con las primeras propiedades se llama espacio-like, y aquellos con las últimas propiedades (más convencionales) se llaman tiempo-como. Esto significa que para θ > 0, la figura 2 debe tener\(A_{r}\) sobre la hipotenusa.

Entonces este triángulo es similar al de velocidad solo si la tres aceleración es paralela a la de tres velocidades. Todo lo siguiente asume esta restricción. Tomamos tanto de tres aceleraciones como de tres velocidades paralelas a la dirección x para mayor simplicidad; luego, de (A3c),\(A_{t} V_{t}=A_{x} V_{x}\). De las figuras 1 y 2,

\[\sin \theta=v / c=V_{x} / V_{t}=A_{t} / A_{x}, \tag{A4a}\]

\[\cos \theta=1 / \gamma=c / V_{t}=A / A_{x} \tag{A4b}\]

\[\tan \theta=\gamma v / c=V_{x} / c=A_{t} / A. \tag{A4c}\]

De\(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1\), uno puede demostrar que

\[A_{x}=A \sqrt{1+\left(V_{x} / c\right)^{2}} \tag{A5a}\]

o

\[\frac{d V_{x}}{\sqrt{1+\left(V_{x} / c\right)^{2}}}=A \ d \tau. \tag{A5b}\]

Dado que c y A son constantes invariantes, se puede integrar * para obtener

\[V_{x}=c \sinh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right), \tag{A6}\]

donde hemos establecido\( \tau_{o}=0\), y\(V_{x}\left(\tau=\tau_{0}=0\right)=V_{x 0} \). Nos integramos de nuevo † para obtener

\[X_{x}-X_{x 0}=\frac{c^{2}}{A}\left(\cosh \left[A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right)\right]-\sqrt{1+V_{x 0}^{2} / c^{2}}\right), \tag{A7}\]

donde hemos usado\(\operatorname{arcsinh}(y)=\operatorname{arccosh}\left(\sqrt{1+y^{2}}\right) \). Usando (A6) en (A5a),

\[A_{x}=A \cosh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right). \tag{A8}\]

Dividiendo (A6) por (A8) y usando (A4c) y (A4b), tenemos

\[v=c \tanh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right). \tag{A9a}\]

Ahora usando (A2e) y (A4b) en (A8) e integrando

\[d t=\gamma d \tau=\sec \Theta d \tau=\cosh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right) d \tau \tag{A10}\]

rendimientos

\[t=\frac{c}{A}\left(\sinh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(V_{x 0} / c\right)-V_{x 0} / c\right), \tag{A11}\]

donde tenemos relojes sincronizados en\( t_{0}=\tau_{o}=0\). Tenga en cuenta que esto no es\( \gamma \ \tau\): es sólo para diferenciales (\( d t=\gamma d \tau\)) donde esto es cierto para sistemas acelerados. Para duraciones extendidas, se debe usar (A11) y su relación inversa,

\[\tau=\frac{c}{A} \operatorname{arcsinh} \frac{A t+V_{x 0}}{c}-\frac{c}{A} \operatorname{arcsinh} \frac{V_{x 0}}{c}. \tag{A11a}\]

También tenga en cuenta que el límite es

\[t \rightarrow_{_{A \rightarrow 0}} \sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}} \tau. \tag{A11b}\]

Invertir (A9a) da

\[V_{x 0}=c \sinh -\frac{A \tau}{c}+\operatorname{arctanh} \frac{v}{c} \tag{A9b}\]

y tomando el mismo límite de la plaza de ésta, se recupera el resultado relativista especial,

\[t \rightarrow_{_{A \rightarrow 0}} \sqrt{1+\sinh ^{2}-\frac{A \tau}{c}+\operatorname{arctanh} \frac{v}{c}} \ \tau \rightarrow_{_{A \rightarrow 0}} \sqrt{1+\frac{v^{2}}{\left(c^{2}-v^{2}\right)}} \tau=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \tau. \tag{A11c}\]

Usando (A7) y (A11) en\( \cosh ^{2} \Phi-\sinh ^{2} \Phi=1\), se obtiene

\[\frac{A\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}}+\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}} ^{2}-\frac{A t}{c}+\frac{V_{x 0}}{c}^{2}=1, \tag{A12a}\]

que es la ecuación de una hipérbola, reduciendo a la ecuación para una parábola,

\[\left(X_{x}-X_{x 0}\right) \cong \frac{1}{2} A t^{2}+V_{x 0} t, \tag{A12b}\]

cuándo\(A t<<c\) y\(V_{x 0}<<c\). * La relación (A12a) también se puede derivar por integración de tiempo de coordenadas, como se muestra en Sears y Brehme. †

El uso de (A7) en (A12a) da

\[\sinh A \tau / c+\operatorname{arcsinh}\left(v_{x 0} / c\right)^{2}-\frac{A t}{c}+\frac{V_{x 0}}{c}^{2}=0. \tag{A12c}\]

Mover el segundo término al lado derecho y tomar la raíz cuadrada y luego la derivada de ambos lados da dos relaciones diferenciales útiles:

\[d t=\cosh \frac{A \tau}{c}+\operatorname{arcsinh} \frac{V_{x 0}}{c} \ d \tau=\sqrt{1+\frac{A t}{c}+{\frac{V_{x 0}}{c}}^{2}} d \tau. \tag{A13}\]

La primera igualdad también se puede encontrar usando (A4c)\(\gamma=V_{x 0} / v\), que es (A6) dividido por (A9).

También (A12a) da una tercera forma,

\[d t=\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}}+\frac{A\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}} d \tau \tag{A14a}\]

y de (A9b) y (A14a)

\[\gamma=\sqrt{1+\sinh ^{2}-A \tau / c+\operatorname{arctanh}(\mathrm{v} / c)}+\frac{A\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}}. \tag{A14b}\]

Para pequeños A, esto simplifica a

\[\gamma \rightarrow_{_{A \rightarrow 0}} \frac{1}{A \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+A\left(\frac{\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \frac{v \tau}{c^{2}}\right), \tag{A14c}\]

que reduce al valor no acelerado para A = 0.

Al invertir (A13) y expandir el denominador en una serie, se obtiene

\[(d \tau)^{2}=1-\frac{2 A\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}}-\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}+3 \frac{A\left(X_{x}-X_{x 0}\right)}{c^{2}}+\frac{1}{2} \frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}+\frac{1}{4} \frac{V_{x 0}^{4}}{c^{4}}+\ldots(d t)^{2}, \tag{A15c}\]

de los cuales (A1) es la primera aproximación si\( V_{x 0}=0\). Obsérvese que con A = 0, se recupera la ecuación relativista especial-relativista para dilatación de tiempo a velocidad constante\(V_{x 0}\) (que es igual\(v_{0}\) en el orden más bajo).

Por último, observamos que la aceleración uniforme del cohete en la misma dirección que el cambio de posición, como en la figura 2a del capítulo 4, se siente como (es equivalente a) aceleración gravitacional en dirección opuesta al cambio de posición en la figura 2b del capítulo 4. Entonces reemplazamos

\[A_{\text {thrusters}} \ x -A_{\text {gravity}} \ r=-\frac{F_{g}}{m} \quad r=(-1)^{2} \frac{V(r)}{m}=\frac{G M}{r} \tag{A16}\]

para dar * la solución Schwarzschild del capítulo 4,

\[t^{2}=\frac{1}{1-\frac{1}{r} \times \frac{2 G M}{c^{2}}} \tau^{2}. \tag{A15b}\]

Alternativamente, se puede probar que el arco en la figura 10 del capítulo 4 realmente tiene longitud

\[c t=1+\frac{A \quad x}{c^{2}} c \tau. \tag{A17}\]

Las relaciones derivadas anteriormente son necesarias para esta segunda prueba. La longitud del arco se define paramétricamente por

\[\begin{aligned} L &=c \int_{0}^{\tau} \sqrt{\frac{d x}{c d \tau}^{2}+\frac{d t}{d \tau}^{2}} d \tau \\ &=c \int_{0}^{\tau} \sqrt{1+2 \sinh ^{2} \frac{A \tau}{c}} d \tau. \end{aligned} \tag{A18}\]

donde hemos establecido\(V_{x 0}=0\).

Al igual que con las integrales elípticas, se expande el radical en el parámetro pequeño\(A \tau / d\) y se usa (A7) y (A11) para obtener

\[\begin{aligned} L &=c \int_{0}^{\tau} 1+\sinh ^{2} \frac{A \tau}{c}+\cdots d \tau \\ &=c \ \tau+\frac{c}{2 A} \sinh \frac{A \tau}{c} \cosh \frac{A \tau}{c}-\frac{1}{2} \tau+\cdots \\ &=\frac{c \tau}{2}+\frac{c^{2}}{2 A} \sinh \frac{A \tau}{c} \cosh \frac{A \tau}{c}-1+1+\cdots \\ &=\frac{c \tau}{2}+\frac{c t}{2} \frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}}+1+\cdots, \end{aligned} \tag{A19a}\]

donde hemos establecido\( X_{x}=x\) y\( X_{x o}=x_{o}\) para una notación más convencional.

Por último, supongamos que la longitud de este arco es\(L=c t\) a la primera aproximación, como se etiqueta en la figura 10 del capítulo 4; luego (A19a) se convierte

\[c t \ 1-\frac{1}{2} \frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}}+1+\cdots=\frac{c \tau}{2} \tag{A19b}\]

o

\[t \ 1-\frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}}+\cdots=\tau, \tag{A19c}\]

dando (A14a) a la primera aproximación. Por lo tanto, la suposición\(L=c t\) es consistente, mostrando que el factor gravitacional de desplazamiento al rojo es esencialmente solo la longitud de trayectoria estirada para un haz de luz en un campo gravitacional.

Finalmente, uno puede querer una relación como (A12a) que involucre solo posición y velocidad, que se puede obtener resolviendo (A7) y (A9) usando la relación\(\cosh ^{2} \Phi-\sinh ^{2} \Phi=1\),

\[v^{2}=\frac{V_{x 0}^{2}+2 A\left(x-x_{0}\right) \sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}}+\frac{A\left(x-x_{0}\right)^{2}}{c}}{c^{2}+V_{x 0}^{2}+2 A\left(x-x_{0}\right) \sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}+\frac{A\left(x-x_{0}\right)^{2}}{c}} }c^{2} \rightarrow_{_{V_{0}} \rightarrow 0} \frac{2 A\left(x-x_{0}\right)+\frac{A\left(x-x_{0}\right)^{2}}{c}}{c^{2}+2 A\left(x-x_{0}\right)+\frac{A\left(x-x_{0}\right)^{2}}{c}} c^{2}. \tag{A20a}\]

Cuando A es pequeño, esto se reduce a la forma no relativista para la constante A:

\[\frac{1}{2}\left(v^{2}-v_{0}^{2}\right)=\int v d v=\int A d x=A\left(x-x_{0}\right). \tag{A20b}\]

Generalmente es más conveniente calcular v a partir de A a través de la relación (A13):

\[d t=\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}}+\frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}} d \tau \equiv \gamma d \tau \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} d \tau, \tag{A21}\]

o

\[v \equiv c \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}=c \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}+\frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}}^{2}}}} \cong c \sqrt{1-\frac{1}{1+\frac{A\left(x-x_{0}\right)}{c^{2}}+\frac{1}{2} \frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}^{2}}}. \tag{A22}\]

Entonces podemos reescribir (A12a) como

\[\frac{A t}{c}+\frac{V_{x 0}}{c}=\gamma^{2}-1, \tag{A23a}\]

o

\[t=\frac{c}{A} \sqrt{\gamma^{2}-1}-\frac{V_{x 0}}{c}. \tag{A23b}\]

Podemos obtener la relación correspondiente entre distancia y\(\gamma\) resolviendo (A21) para\(x-x_{0}\), a la que también llamamos\(r\) en el capítulo 3.

\[r \equiv\left(x-x_{0}\right)=\frac{c^{2}}{A} \gamma-\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}}. \tag{A24}\]

ACELERACIÓN INICIAL HACIA ALFA CENTAURI

Usemos estos para encontrar cuánto tiempo lleva impulsar un cohete\(v=0.6 c \ (\gamma=1.25)\) a una aceleración de 1 g. * Si la velocidad inicial con\(V_{x 0}=0\), tenemos de (A23b) t = 0.726536 año. De igual manera (A24) da la distancia recorrida cuando se alcanza esta velocidad, r = 0.242179 c año.

Invertir (A9a),

\[\tau=\frac{c}{A}-\operatorname{arcsinh} \frac{V_{x 0}}{c}+\operatorname{arctanh} \frac{v}{c} \tag{A9c}\]

da\( \tau=0.671462 \ \mathrm{yr}\), al igual que la inversión (A11a),

\[\tau=\frac{c}{A} \operatorname{arcsinh} \frac{A t+V_{x 0}}{c}-\operatorname{arcsinh} \frac{V_{x 0}}{c}. \tag{A11d}\]

Podemos usar esto para confirmar la precaución después de la ecuación (A11) de que para periodos prolongados de aceleración, la relación de hecho no\(t / \tau=1.08\) es\(\gamma=1.25\) aunque todavía tenemos\(v=c \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}\) si\(\gamma\) se define como en la ecuación (A22).

ACELERACIÓN CONTINUA A CYGNUS X-1

Supongamos que queremos viajar al agujero negro Cygnus X-1, a 7,733 años luz de distancia * en el menor tiempo razonable. El cohete aceleraría a 1 g durante la mitad del viaje, voltearía y desaceleraría a 1 g por lo que resta del viaje. Ante esta aceleración, el cohete alcanzará el punto medio con un factor de dilatación temporal dado por (A21) de

\[\gamma=\sqrt{1+\frac{V_{x 0}^{2}}{c^{2}}}+\frac{A}{c} \frac{\left(x-x_{0}\right)}{c}=1+\frac{1}{0.98715 \ y r} \frac{(3866.5 \ c \ y r-0)}{c}, \nonumber\]

o\(\gamma=3,992.37\). La ecuación (A22) da la velocidad del cohete ya que apenas alcanza el punto medio,\(r=3,866.5 \ c \ y r\), as\(v=c \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}=0.99999997 \ c\). La ecuación (A23b), con\(V_{x 0}=0\), da el tiempo para el medio viaje en\(t=\frac{c}{A} \sqrt{\gamma^{2}-1}=3,867.47 \ y r\), donde utilizamos el año juliano de 365.25 días como lo prefiere la IAU. ^† Ambas ecuaciones (A9c) y (A11d) dan\(\tau=8.70418 \ \mathrm{yr}\).

En el capítulo 4, dijimos que bajo una aceleración grande, “la figura 1c se estirará como en la figura 1d, tanto es así que la trayectoria curva de la luz diferirá poco de la hipotenusa recta. Tanto las altas velocidades constantes como las grandes aceleraciones (a altas velocidades) dan una enorme dilatación de tiempo”. Ahora podemos cuantificar estas dos afirmaciones en el presente caso de aceleración de 1 g. La hipotenusa del triángulo bajo la curva hiperbólica mostrada en la figura 1d, cuyas patas son r y\(c \tau\) (como se calculó anteriormente usando la fórmula correcta para la aceleración [A9c] o [A11d]), es\(c t^{\prime}=3,866.51 \ c \ y r\), poco menos de 1 año luz más corta que la hipérbola, cuya longitud es c t = 3,867.47 año, un 0.02% diferencia.

La velocidad constante intermedia que daría tal triángulo es\(r / t=0.999997 \ c\), de hecho, una velocidad constante alta, que difiere en el sexto decimal de la velocidad del cohete ya que apenas alcanza el punto medio. Daría un factor de dilatación muy grande cuando se calcula de manera especial-relativista:\(t^{\prime} / \tau=444\). Pero el cambio de marco que sufre un cohete cuando se acelera a 1 g conduce a un factor de dilatación de tiempo casi diez veces mayor,\(\gamma=3,992.37\) cuando se calcula usando la fórmula correcta (y consistente) para la aceleración (A21). Vemos que nuestra conexión intuitiva entre los dos casos queda muy por debajo de la realidad, una divergencia que sólo crecerá a medida que vayamos a aceleraciones aún mayores (a velocidades mucho mayores).