5: Curvatura
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La relatividad general describe la gravitación como una curvatura del espacio-tiempo, con la materia actuando como fuente de la curvatura de la misma manera que la carga eléctrica actúa como fuente de campos eléctricos. Nuestro objetivo es llegar a las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la curvatura intrínseca local con la materia localmente ambiental de la misma manera que la ley de Gauss relaciona la divergencia local del campo eléctrico con la densidad de carga. La localidad de las ecuaciones es necesaria porque la relatividad no tiene acción a distancia; causa y efecto se propagan a una velocidad máxima de\(c\).
- 5.1: Introducción a la Curvatura
- Es difícil definir la curvatura y puede ser complicado distinguir la curvatura intrínseca (real), de la curvatura extrínseca (nunca producir efectos observables). La notación tensora manifiestamente intrínseca nos protege de ser engañados en este sentido. Si podemos formular una definición de curvatura expresada utilizando únicamente tensores que se expresan sin referencia a ningún sistema de coordenadas preordenado, entonces sabemos que es físicamente observable, y no solo una característica superficial de un modelo en particular.
- 5.2: Curvatura de marea versus curvatura causada por fuentes locales
- Otra complicación es la necesidad de distinguir la curvatura de las mareas de la curvatura causada por fuentes locales.
- 5.3: El tensor Estrés-Energía
- En general, la curvatura del espacio-tiempo contendrá contribuciones tanto de las fuerzas mareales como de fuentes locales, superpuestas unas sobre otras. Para desarrollar la formulación correcta para las ecuaciones de campo de Einstein, necesitamos eliminar la parte de la marea. En términos generales, haremos esto promediando la curvatura seccional sobre los tres planos t−x, t−y y t−z, dando una medida de curvatura llamada curvatura Ricci.
- 5.4: Curvatura en Dos Dimensiones Espaciales
- Dado que los tensores de curvatura en 3+1 dimensiones son complicados, comencemos considerando dimensiones más bajas. La dimensión más baja interesante es, por lo tanto, dos.
- 5.5: Tensores de curvatura
- Si queremos expresar la curvatura como un tensor, debería tener rango par. También, en un sistema de coordenadas en el que las coordenadas tienen unidades de distancia (no son ángulos, por ejemplo, como en coordenadas esféricas), esperamos que las unidades de curvatura siempre sean de distancia inversa al cuadrado.
- 5.6: Algunas estimaciones de orden de magnitud
- Como propuesta general, calcular una estimación de orden de magnitud de un efecto físico requiere una comprensión del 50% de la física, mientras que un cálculo exacto requiere alrededor del 75%. Hemos llegado al punto en el que es razonable intentar una variedad de estimaciones de orden de magnitud.
- 5.7: El derivado covariante
- La derivada covariante es la derivada que bajo una transformación general de coordenadas se transforma covariantemente, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas.
- 5.8: La ecuación geodésica
- En esta sección, que se puede omitir en una primera lectura, mostramos cómo se pueden utilizar los símbolos de Christoffel para encontrar ecuaciones diferenciales que describen geodésicas. Un geodésico puede definirse como una línea mundial que conserva la tangencia bajo transporte paralelo.
- 5.9: Torsión
- En esta sección se describe el concepto de torsión gravitacional. Se puede omitir sin pérdida de continuidad, siempre que acepte la propiedad de simetría sin preocuparse por lo que significa físicamente o qué evidencia empírica la sustenta.
- 5.11: Colector (Parte 1)
- La relatividad general no asume una métrica de fondo predefinida, y esto crea un problema de pollo y huevo. Queremos definir una métrica en algún espacio, pero ¿cómo especificamos siquiera el conjunto de puntos que conforman ese espacio? La forma habitual de definir un conjunto de puntos sería por sus coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones podríamos definir el espacio como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y). Esto no funciona en la relatividad general, porque no se garantiza que el espacio tenga esta estructura.
- 5.12: Colectores (Parte 2)
- Una forma alternativa de caracterizar un colector n es como un objeto que puede describirse localmente por n coordenadas reales. Es decir, cualquier vecindario suficientemente pequeño es homeomórfico a un conjunto abierto en el espacio de n-tuplas de valor real de la forma (x1, x2,., xn). Por ejemplo, un semiplano cerrado no es un 2-manifold porque ninguna vecindad de un punto en su borde es homeomórfica a ningún conjunto abierto en el plano cartesiano.
- 5.13: Unidades en Relatividad General
- Analizar unidades, también conocidas como análisis dimensional, es una de las primeras cosas que aprendemos en física de primer año. Es una manera útil de verificar nuestras matemáticas, y parece que debería ser sencillo extender la técnica a la relatividad. Ciertamente se puede hacer, pero no es tan trivial como podría imaginarse, y lleva a algunas nuevas ideas físicas sorprendentes.
Colaboradores y Atribuciones
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- Thumbnail: The overall geometry of the universe is determined by whether the Omega cosmological parameter is less than, equal to or greater than 1. Shown from top to bottom are a closed universe with positive curvature, a hyperbolic universe with negative curvature and a flat universe with zero curvature. (Public Domain; NASA).