13.1: Coeficiente de Expansión

Notación: En un mundo ideal, usaría α, β, γ respectivamente para los coeficientes de expansión lineal, de área y de volumen. Desafortunadamente necesitamos γ para la relación de capacidades de calor. Mucha gente usa β para la expansión de volumen, así que voy a seguir eso. ¿Qué, entonces, usar para la expansión del área? Voy a usar b, así que ahora tenemos α, b, β, que es muy torpe. Sin embargo, rara vez necesitaremos b, así que tal vez podamos sobrevivir.

Coeficiente de expansión lineal: α

Coeficiente de expansión de área: b

Coeficiente de expansión volumétrica: β

Para rangos pequeños de temperatura, los aumentos en longitud, área y volumen con la temperatura pueden ser representados por

\[l_{2}=l_{1}\left[1+\widehat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

\[ A_{2}=A_{1}\left[1+\hat{b}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

y

\[ V_{2}=V_{1}\left[1+\widehat{\beta}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

Aquí\( \hat{\alpha}, \hat{b}\) y\( \widehat{\beta}\) están los coeficientes aproximados de expansión lineal, área y volumen respectivamente sobre el rango de temperatura _T1 a T ₂. Para las tres, las unidades son grado ⁻¹ —es decir, Cº ⁻¹ o K ⁻¹.

Para cristales anisotrópicos, el coeficiente puede ser diferente en diferentes direcciones, pero para materiales isotrópicos podemos escribir

\[ A_{2}=l_{2}^{2}=l_{1}^{2}\left[1+\hat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]^{2}=A_{1}\left[1+2 \tilde{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right] \]

\[ V_{2}=l_{2}^{3}=l_{1}^{3}\left[1+\hat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]^{3}=V_{1}\left[1+3 \tilde{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right]\]

Así para pequeñas expansiones,\( \hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) y\( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).

Las ecuaciones 13.1.1, 2 y 3 definen los coeficientes aproximados en un rango de temperatura finito. Los coeficientes a una temperatura particular se definen en términos de las derivadas, i.e.

\[ \alpha=\frac{1}{l}\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{P},\]

\[ b=\frac{1}{A}\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{P}\]

\[ \beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.\]

Las relaciones b = 2α y β = 3α son exactas.

Especificamos “a presión constante” porque obviamente no queremos, en nuestra definición, evitar que el material se expanda aumentando la presión sobre él cuando lo calentamos.

Para los sólidos, el coeficiente de expansión lineal suele ser el parámetro apropiado; para líquidos y gases el coeficiente de volumen suele ser apropiado. Para la mayoría de los metales comunes familiares, el coeficiente de expansión lineal es de orden 10 ⁻⁵ K ⁻¹. Aleaciones como la aleación de níquel-acero, “invar”, utilizada en la construcción de relojes, pueden tener coeficientes mucho más pequeños. El vidrio ordinario tiene un coeficiente solo un poco menor que el de los metales; el pyrex y el cuarzo fundido tienen una expansión mucho menor, de ahí su uso en espejos telescópicos. Para líquidos y gases suele ser el coeficiente de volumen el que se cotiza. El coeficiente de volumen de mercurio es de aproximadamente 0.00018 K ⁻¹. El agua en realidad se contrae entre 0 y 4 ^o C, y se expande por encima de esa temperatura. El coeficiente de volumen de aire a 0 ^o C es 0.0037 K ⁻¹.

A temperaturas ambiente y superiores, el coeficiente de expansión lineal de los metales no varía mucho con la temperatura, pero a bajas temperaturas el coeficiente de expansión varía mucho más rápidamente con la temperatura, y también lo hace la capacidad calorífica específica (ver Sección 8.10). En efecto, para un metal dado, la variación del coeficiente de expansión y la capacidad calorífica específica varían con la temperatura de una manera bastante similar, de manera que, para un metal dado, la relación α/ C _P es constante en un amplio rango de temperatura.

Ejercicio: Una placa metálica cuadrada tiene un agujero circular de área 300 cm ² en el medio de la misma. Si el coeficiente de expansión lineal es de 2 × 10 ⁻⁵ Cº ⁻¹, calcule el área del agujero cuando la temperatura de la placa se eleve 100 grados.

Ejercicio: Mostrar que el coeficiente de expansión de volumen de un gas ideal es 1/ T. Compare esto con el valor numérico para el aire dado anteriormente.

Aunque la termodinámica clásica no trata de procesos microscópicos detallados, es de interés preguntar por qué un material sólido se expande al calentarse. Imaginemos un sólido cristalino formado por átomos conectados entre sí por pequeños resortes, y cada resorte se rige por la Ley de Hooke, y en consecuencia cada átomo está vibrando en un pozo de potencial parabólico y se mueve en simple movimiento armónico. Si aumentamos la temperatura, aumentamos la amplitud de las vibraciones, pero no cambiamos las posiciones medias de los átomos. En consecuencia, en tal modelo, no esperaríamos ninguna expansión al calentar. Sin embargo, el potencial real no es parabólico, sino que está conformado, al menos cualitativamente, algo así como los potenciales de Lennard-Jones o Morse mencionados en el Capítulo 6, Sección 6.8. Si el material se calienta, la amplitud de las vibraciones aumenta y, debido a los términos de orden superior en el potencial, que le dan al potencial su forma anarmónica asimétrica, la separación media de los átomos sí aumenta, y así tenemos expansión. Así, la expansión al calentar un material sólido es consecuencia de la anarmónica de las vibraciones atómicas y de la asimetría del potencial en el que se mueven.

En los dos ejercicios siguientes, estaré pensando en la expansión de una varilla metálica a medida que se incremente la temperatura, y se asumirá que la presión es constante en todo momento. Así voy a suponer que la presión no es una variable en la discusión, y voy a definir el coeficiente de expansión lineal como\( \alpha=\frac{1}{l} \frac{d l}{d T}\) más que el más general\( \frac{1}{l}\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{P}\). Un pequeño punto que hago en esta etapa es este: Supongamos que la longitud de una varilla de metal aumenta linealmente con la temperatura, para\( \frac{d l}{d T}\) que esto no signifique que el coeficiente de expansión sea independiente de la temperatura. Y si α es independiente de la temperatura, l no aumenta linealmente con la temperatura. Los dos ejercicios siguientes lo ilustrarán, y también ilustrarán cómo\( \alpha=\frac{1}{l} \frac{d l}{d T}\) se relaciona el coeficiente exacto con lo que he llamado (por falta de un término mejor) el coeficiente “aproximado”\( \widehat{\alpha}=\frac{1}{l_{1}} \frac{l_{2}-l_{1}}{T_{2}-T_{1}}\).

Ejercicio. Supongamos que la longitud de una varilla metálica aumenta con la temperatura de acuerdo a\(l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right)\) donde l ₀ es la longitud a 0 K, y α ₀ es el coeficiente a 0 K. Esto significa que\( \frac{d l}{d T}\) y l α son independientes de la temperatura, y cada uno es igual a l ₀ α ₀. Demostrar que el coeficiente a temperatura T viene dado por

\[ \alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}.\]

Demostrar que\( \widehat{\alpha}\), el coeficiente aproximado sobre el rango de temperatura _T1 a T ₂, es igual al coeficiente exacto α evaluado en T = T ₁.

Ejercicio. Supongamos que el coeficiente α es independiente de la temperatura. Demostrar que la longitud de la varilla aumenta con la temperatura según\( l=l_{0} e^{a T}\), donde l ₀ es la longitud a 0 K. Mostrar también eso\( \hat{\alpha}=\frac{e^{\alpha\left(T_{i}-T_{1}\right)}-1}{T_{2}-T_{1}}\).

En este momento, se le puede haber ocurrido al lector que lo que hemos llamado α), a pesar de toda su utilidad en la ecuación\( l_{2}=l_{1}\left[1+\widehat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]\), no es “el” coeficiente de expansión a temperatura _T1, ni es el coeficiente medio en el rango de temperatura _T1 a T ₂. El coeficiente medio en este rango debe definirse por\( \overline{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \alpha d T\). Entonces ahora, un ejercicio más:

Ejercicio. Supongamos que la longitud de una varilla metálica aumenta con la temperatura según\(l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right)\), donde l ₀ es la longitud a 0 K, y α ₀ es el coeficiente a 0 K. Demostrar que

\[ \overline{\alpha}=\frac{1}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} \ln \left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right).\]

Resumen

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text { If } \frac{d l}{d T} \text { is constant } & \text { If } \alpha \text { is constant } \\ \hline l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right) & l=l_{0} e^{\alpha T} \\ \alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T} & \alpha=\alpha_{0} \\ \widehat{\alpha}=\alpha_{1} & \widehat{\alpha}=\frac{e^{\alpha\left(T_{i}-T\right)}-1}{T_{2}-T_{1}} \\ \overline{\alpha}=\frac{1}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} \ln \left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right) & \overline{\alpha}=\alpha \\ \hline \end{array}\]

Por supuesto, puede sentir que esta distinción entre\( \alpha, \alpha_{0}, \hat{\alpha}\) y\( \overline{\alpha}\) está dividiendo pelos. Descubramos por nosotros mismos en qué medida difieren, poniendo algunos números. Supongamos que α ₀ = 1.7 × 10 ⁻⁵ K ⁻¹ y que l ₀ = 1 m. Entonces, suponiendo que T ₁ = 280 K (6.85 °C) y T ₂ = 380 K (106.85 °C), obtenemos

\( \begin{array}{ll}{\text { If } \frac{d l}{d t} \text { is constant }} & {\text { If } \alpha \text { is constant }} \\ {l_{1}=1.004760 \mathrm{m}} & {1.004771 \mathrm{m}}\end{array}\)

\( \begin{array}{ll}{\alpha(280 \mathrm{K})=1.691946 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\alpha(280 \mathrm{K})=1.700000 \times 0^{-5} \mathrm{K}^{-1}} \\ {\widehat{\alpha}=1.691946 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\hat{\alpha}=1.701446 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} \\ {\overline{\alpha}=1.690516 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\overline{\alpha}=1.700000 \times 0^{-5} \mathrm{K}^{-1}}\end{array}\)

En general, si la longitud en T ₁ es l ₁, la longitud l ₂ en T ₂ vendrá dada por

\[ l_{2}=l_{1} \exp \left(\int_{T_{1}}^{T_{2}} \alpha d T\right).\]

En el caso en el que dL/dt es constante, de manera que\(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), esto se convierte

\[ l_{2}=l_{1}\left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right)=l_{1}\left(1+\alpha_{0}\left(T_{2}-T_{1}\right)-\alpha_{0}^{2} T_{1}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right).\]

En el caso donde α es constante, por lo que se convierte

\[ l_{2}=l_{1} \exp \left(\alpha\left(T_{2}-T_{1}\right)\right)=l_{1}\left(1+\alpha\left(T_{2}-T_{1}\right)+\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(T_{2}-T_{1}\right)^{2}+\ldots\right)\]

Así, al primer orden de pequeñas cantidades, todas las variedades de α son iguales.

Coeficiente de Expansión como Cantidad de Tensor. En el Capítulo 4, mencioné brevemente que, en el caso de un cristal anistópico, el coeficiente de conducción térmica es una cantidad de tensor. Lo mismo es cierto, para un cristal anisotrópico, del coeficiente de expansión. Así, si, durante un examen de física, se te pidiera dar ejemplos de cantidades de tensores, podrías darlas como ejemplos — ¡aunque podría haber un pequeño riesgo si tu maestro no hubiera pensado en estos como tensores! El coeficiente de expansión de un cristal anisotrópico puede variar en diferentes direcciones. (En Islandia Spar —carbonato de calcio— en una dirección el coeficiente es realmente negativo.) Si cortas un cristal anisotrópico en forma de cubo, cuyos bordes no son paralelos al eje cristalográfico, la muestra, al calentarse, no solo se expandirá en volumen, sino que cambiará de forma para convertirse en un paralelepípedo no rectangular. Sin embargo, es posible cortar el cristal en forma de cubo de tal manera que, al calentarse, la muestra se expande a un paralelepípedo rectangular. Los bordes del cubo (y el paralelepípedo resultante) son entonces paralelos a los ejes principales de expansión, y los coeficientes en estas direcciones son los coeficientes principales de expansión. Estas direcciones serán paralelas a los ejes cristalográficos si el cristal tiene uno o más ejes de simetría (pero obviamente no de otra manera)