6.9: Problemas adicionales

6.27 ¿Y si no hubiera una regla de intercambio?

Supongamos que la regla de intercambio no aplicaba, de manera que las bases de la página 141 fueran la correcta para tres partículas idénticas. (Alternativamente, considere un gas de N partículas no idénticas). Encuentre y esboce la capacidad calorífica en función de la temperatura.

6.28 Presión y densidad de energía

(Este problema se inspiró en el problema Reif 9.5.) Cualquier gas ideal monatómico no relativista, ya sea clásico o quantal, satisface

\[ p=\frac{2}{3} \frac{E}{V}.\]

Este hecho notable se puede demostrar más fácilmente en el conjunto canónico. (A lo largo de este problema el número de partículas es fijo por lo que nunca se menciona explícitamente la dependencia N de las funciones).

a. Utilizar\(E = \frac{3}{2} Nk_B T\) para demostrar la relación del gas ideal monatómico clásico.

b. a partir de la termodinámica, muestran que

\[ E(T, V)=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} )_{V} \quad \text { and } \quad p(T, V)=\frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial V} )_{T}.\]

c. Argumentan que los valores propios de temperatura y energía entran en la función de partición canónica como cocientes:

\[ \ln Z(T, V)=\mathcal{F}\left(\beta \epsilon_{1}, \beta \epsilon_{2}, \ldots, \beta \epsilon_{M}\right)\]

d. Demostrar que en la mecánica cuántica no relativista los valores propios de la energía de las partículas libres dependen del volumen de la caja a través de

\[\frac{\partial \epsilon_{r}}{\partial V}=-\frac{2}{3} \frac{\epsilon_{r}}{V}.\]

e. Utilizar los tres últimos ítems juntos para probar la relación presión-densidad energética.

f. ¿Cómo se relacionan la presión y la densidad de energía para la radiación de cuerpo negro? ¿En qué etapa se descompone la prueba anterior en este caso?

6.29 Comparación de presión

(Este problema se modifica de uno en una prueba GRE Physics.)

Considera tres sistemas de partículas idénticas que no interactúan, cada una con la misma T, V y N. En un sistema las partículas son fermiones, en otro son bosones, y en un tercero se comportan clásicamente. ¿Qué sistema tiene la mayor presión? ¿Cuál tiene el más pequeño?

6.30 Desafío

Durante muchos años sospeché que el potencial químico µ de un gas ideal tendría que disminuir o al menos permanecer constante cuando la temperatura aumentara (con V y N constantes). Intenté demostrarlo de varias maneras, y en mis intentos me encontré con varios hechos interesantes (como los resultados del problema 3.36 y la parte (f.) del problema 6.11) pero nunca pude probar el resultado deseado. ¡Eso es porque el resultado es falso! El potencial químico aumenta con la temperatura para fermiones ideales en una dimensión. ¿Se puede mostrar esto?