7.1: El problema
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7.1 El Hamiltoniano armónico
El hamiltoniano para vibraciones de celosía, en la aproximación armónica, es
\[ \mathcal{H}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3 N} m_{i} \dot{x}_{i}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3 N} \sum_{j=1}^{3 N} x_{i} A_{i j} x_{j}.\]
Observe que este hamiltoniano permite la posibilidad de que los átomos en diferentes sitios de celosía puedan tener diferentes masas. Aceptar el hecho de que cualquier matriz simétrica real S puede ser diagonalizada a través de una transformación ortogonal, es decir, que para cualquiera de tales S existe una matriz B cuya inversa es su transposición y tal que
\[ \mathrm{BSB}^{-1}\]
es diagonal. Demostrar que el hamiltoniano puede ser lanzado en la forma
\[ \mathcal{H}=\frac{1}{2} \sum_{r=1}^{3 N}\left(\dot{q}_{r}^{2}+D_{r} q_{r}^{2}\right)\]
por un cambio lineal de variables. (Clue: Como primer paso, introducir el cambio de variable\(z_{i}=\sqrt{m_{i}} x_{i}\).)