7.3: Modos normales para una cadena unidimensional
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
La matriz A es todo ceros excepto 2 en la diagonal y −2 en la superdiagonal. Pero esto realmente no nos ayuda a resolver el problema. ¡La solución proviene del conocimiento físico, no del artilucio matemático!
Relación de dispersión:
\[ \omega(k)=2 \sqrt{\frac{K}{m}}\left|\sin \left(\frac{1}{2} k a\right)\right|\]
Significado del término “relación de dispersión”:
Comience con un paquete de onda arbitraria, divida en componentes de Fourier.
Cada uno de esos componentes se mueve a una velocidad particular.
Después de algún tiempo, encuentra cómo se han movido todos los componentes, luego vuelve a coserlos juntos.
El paquete de ondas habrá cambiado de forma (generalmente ensanchado.. disperso).
Recuerda que no hemos hecho ninguna mecánica estadística en esta sección, ni siquiera mecánica cuántica. ¡Esto ha sido la mecánica clásica!