9.2: Energía libre del modelo unidimensional de Ising

El modelo de Ising unidimensional N -spin consiste en una cadena horizontal de espines, s ₁, s ₂,.., s _N, donde s _i = ±1.

Se aplica un campo magnético vertical H, y solo los giros vecinos más cercanos interactúan, por lo que el hamiltoniano es

\[ \mathcal{H}_{N}=-J \sum_{i=1}^{N-1} s_{i} s_{i+1}-m H \sum_{i=1}^{N} s_{i}.\]

Para este sistema la función de partición es

\[ Z_{N}=\sum_{\text { states }} e^{-\beta \mathcal{H}_{N}}=\sum_{s_{1}=\pm 1} \sum_{s_{2}=\pm 1} \cdots \sum_{s_{N}=\pm 1} e^{K \sum_{i=1}^{N-1} s_{i} s_{i+1}+L \sum_{i=1}^{N} s_{i}},\]

donde

\[ K \equiv \frac{J}{k_{B} T} \quad \text { and } \quad L \equiv \frac{m H}{k_{B} T}.\]

Si J = 0, (el paramagnet ideal) la función de partición factoriza, y el problema se resuelve fácilmente usando el teorema de “sumar rendimientos hamiltonianos factorizing partition function” teorema. Si H = 0, la función de partición casi factoriza, y el problema no es demasiado difícil. (Ver problema 9.3.) Pero en general, no hay factorización.

Resolveremos el problema usando inducción en el tamaño del sistema. Si agregamos un giro más (número de giro N + 1), entonces el cambio en la energía del sistema depende únicamente del estado del nuevo giro y del giro anterior (número de giro N). Definir Z ^↑ _N como, no la suma sobre todos los estados, sino la suma sobre todos los estados en los que el último giro (es decir, N th) es hacia arriba, y define Z ^↓ _N como la suma sobre todos los estados en los que el último giro es hacia abajo, de modo que

\[ Z_{N}=Z_{N}^{\uparrow}+Z_{N}^{\downarrow}.\]

Ahora, si se agrega un giro más, el término extra en e ^−βH resulta en un factor de

\[ e^{K s_{N} s_{N+1}+L s_{N+1}}.\]

A partir de esto, es muy fácil ver que

\[ Z_{N+1}^{\uparrow}=Z_{N}^{\uparrow} e^{K+L}+Z_{N}^{\downarrow} e^{-K+L}\]

\[ Z_{N+1}^{\downarrow}=Z_{N}^{\uparrow} e^{-K-L}+Z_{N}^{\downarrow} e^{K-L}.\]

Este es realmente el fin de la física de esta derivación. El resto son matemáticas.

Así que ponte tus sombreros matemáticos y mira el par de ecuaciones anteriores. ¿Qué ves? ¡Una ecuación matricial!

\[ \left(\begin{array}{c}{Z_{N+1}^{\uparrow}} \\ {Z_{N+1}^{\downarrow}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e^{K+L}} & {e^{-K+L}} \\ {e^{-K-L}} & {e^{K-L}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{Z_{N}^{\uparrow}} \\ {Z_{N}^{\downarrow}}\end{array}\right).\]

Introducimos la notación

\[ \mathbf{w}_{N+1}=\mathbf{T} \mathbf{w}_{N}\]

para la ecuación matricial. La matriz 2 × 2 T, que actúa para agregar un giro más a la cadena, se denomina matriz de transferencia. Por supuesto, toda la cadena se puede construir aplicando T repetidamente a una cadena inicial de un sitio, es decir, que

\[ \mathbf{w}_{N+1}=\mathbf{T}^{N} \mathbf{w}_{1},\]

donde

\[ \mathbf{w}_{1}=\left(\begin{array}{c}{e^{L}} \\ {e^{-L}}\end{array}\right).\]

El hecho de que estemos elevando una matriz a una potencia sugiere que debemos diagonalizarla. La matriz de transferencia T tiene valores propios λ _A y λ _B (etiquetados de manera que |λ _A | > |λ _B |) y los vectores propios correspondientes x _A y x _B . Como cualquier otro vector, w ₁ se puede expandir en términos de los vectores propios

\[ \mathbf{w}_{1}=c_{A} \mathbf{x}_{A}+c_{B} \mathbf{x}_{B}\]

y en esta forma es muy fácil ver qué sucede cuando w ₁ se multiplica por T N veces:

\( \mathbf{w}_{N+1}=\mathbf{T}^{N} \mathbf{w}_{1}=c_{A} \top^{N} \mathbf{x}_{A}+c_{B} \mathbf{T}^{N} \mathbf{x}_{B}\)

\[ =c_{A} \lambda_{A}^{N} \mathbf{x}_{A}+c_{B} \lambda_{B}^{N} \mathbf{x}_{B}.\]

Entonces la función de partición es

\[ Z_{N+1}=Z_{N+1}^{\uparrow}+Z_{N+1}^{\downarrow}=c_{A} \lambda_{A}^{N}\left(x_{A}^{\uparrow}+x_{A}^{\downarrow}\right)+c_{B} \lambda_{B}^{N}\left(x_{B}^{\uparrow}+x_{B}^{\downarrow}\right).\]

Al diagonalizar la matriz T (es decir, al encontrar tanto sus valores propios como sus vectores propios) podríamos encontrar cada elemento en el lado derecho de la ecuación anterior, y por lo tanto podríamos encontrar la función de partición Z _N para cualquier N. Pero claro que estamos realmente interesados sólo en el límite termodinámico N → ∞. Porque |λ _A | > |λ _B |, λ ^N _A domina λ ^N _B en el límite termodinámico, y

\[ Z_{N+1} \approx c_{A} \lambda_{A}^{N}\left(x_{A}^{\uparrow}+x_{A}^{\downarrow}\right)\]

siempre que\( c_{A}\left(x_{A}^{\uparrow}+x_{A}^{\downarrow}\right) \neq 0\). Ahora,

\[ F_{N+1}=-k_{B} T \ln Z_{N+1} \approx-k_{B} T N \ln \lambda_{A}-k_{B} T \ln \left[c_{A}\left(x_{A}^{\uparrow}+x_{A}^{\downarrow}\right)\right],\]

y esta aproximación se hace exacta en el límite termodinámico. Por lo tanto, la energía libre por giro es

\[ f(K, L)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{F_{N+1}(K, L)}{N+1}=-k_{B} T \ln \lambda_{A}.\]

Entonces, para encontrar la energía libre solo necesitamos encontrar el valor propio más grande de T: ¡no necesitamos encontrar el valor propio más pequeño, y no necesitamos encontrar los vectores propios!

Es una cuestión sencilla encontrar los valores propios de nuestra matriz de transferencia T. Son las dos raíces de

\[ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}{e^{K+L}-\lambda} & {e^{-K+L}} \\ {e^{-K-L}} & {e^{K-L}-\lambda}\end{array}\right)=0\]

\[ \left(\lambda-e^{K+L}\right)\left(\lambda-e^{K-L}\right)-e^{-2 K}=0\]

\[ \lambda^{2}-2 e^{K} \cosh L \lambda+e^{2 K}-e^{-2 K}=0,\]

que son

\[ \lambda=e^{K}\left[\cosh L \pm \sqrt{\cosh ^{2} L-1+e^{-4 K}}\right].\]

Es claro que ambos valores propios son reales, y que el mayor es positivo, por lo que

\[ \lambda_{A}=e^{K}\left[\cosh L+\sqrt{\sinh ^{2} L+e^{-4 K}}\right].\]

Finalmente, usando la ecuación (9.17), encontramos la energía libre por giro

\[ f(T, H)=-J-k_{B} T \ln \left[\cosh \frac{m H}{k_{B} T}+\sqrt{\sinh ^{2} \frac{m H}{k_{B} T}+e^{-4 J / k_{B} T}}\right].\]

Resultados

Conociendo la energía libre, podemos tomar derivados para encontrar cualquier cantidad termodinámica (ver problema 9.2). Aquí esbozaré y discutiré los resultados obtenidos a través de esos derivados.

Aquí se esboza la capacidad calorífica a un campo magnético constante, que se desvanece:

¿Crees que un experimentalista necesita un imán para sondear fenómenos magnéticos? Esta gráfica muestra que no se requiere un imán: Los efectos magnéticos dan como resultado un bache en la capacidad calorífica cerca de k _B T = J, incluso cuando no se aplica campo magnético.

Aquí se esboza la susceptibilidad magnética:

Ya hemos visto que para los giros independientes (paramagnet, J = 0) la susceptibilidad cae como 1/ T con la temperatura (la “ley Curie”). Los giros interactuantes a alta temperatura\((k_B T \gg J)\) se comportan aproximadamente de la misma manera. Pero a bajas temperaturas, la susceptibilidad a un ferroimán excede a la susceptibilidad para un paramagnet, mientras que la susceptibilidad a un antiferroimán infravalora la susceptibilidad para un paramagnet. Esto tiene sentido: Para un paramagnet, el campo magnético externo está induciendo a que los giros se alineen. Para un ferroimán, tanto el campo magnético externo como la tendencia de los giros vecinos a alinearse están induciendo a los giros a alinearse. Para un antiferroimán, el campo magnético externo está induciendo a que los espines se alineen, pero la tendencia de los giros vecinos a antialinearse se opone a esa inducción.

Alinear los giros en un paramagnet es como el pastoreo de gatos: los giros individuales son independientes y no toman naturalmente apuntar todos en la misma dirección. Alinear los giros en un ferroimán es como pastoreo de vacas: los giros individuales quieren ir todos en la misma dirección y no les importa en qué dirección es. Alinear los giros en un antiferroimán es como pastoreo de hermanos en una familia disfuncional, donde cada hermano dice “Quiero ir al contrario de donde quiera que mi hermano/hermana quiera ir”.