2.9: Problemas de ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un famoso ejemplo de irreversibilidad macroscópica fue sugerido en 1907 por P. Ehrenfest. Dos perros comparten\(2N >> 1\) pulgas. Cada pulga puede saltar sobre otro perro, y la tasa\(\Gamma\) de tales eventos (es decir, la probabilidad de saltar por unidad de tiempo) no depende ni del tiempo ni de la ubicación de otras pulgas. Encontrar la evolución temporal del número promedio de pulgas en un perro, y de la parte relacionada con las pulgas de la entropía total de los perros (en condiciones iniciales arbitrarias), y demostrar que la entropía sólo puede crecer. ⁶⁹

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilizar la distribución microcanónica para calcular las propiedades termodinámicas (incluyendo la entropía, todos los potenciales termodinámicos relevantes y la capacidad calorífica), de un sistema de dos niveles en equilibrio termodinámico con su entorno, a una temperatura\(T\) comparable con la brecha energética\(\Delta \). Para cada variable, esboce su dependencia de la temperatura y encuentre sus valores asintóticos (o tendencias) en los límites de baja temperatura y alta temperatura.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resuelve el problema anterior usando la distribución de Gibbs. Además, calcula las probabilidades de ocupación del nivel energético, y da interpretaciones físicas de tus resultados, en ambos límites de temperatura.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Calcular la susceptibilidad magnética\(\chi\) de campo bajo de una partícula cuántica spin-1/2 con relación giromagnética\(\gamma \), en equilibrio térmico con un ambiente a temperatura\(T\), descuidando su movimiento orbital. Compara el resultado con el de un dipolo magnético espontáneo clásico\(\pmb{\mathscr{m}}\) de magnitud fija\(\mathscr{m}_0\), libre de cambiar su dirección en el espacio.

Sugerencia: La susceptibilidad magnética de campo bajo de una sola partícula se define ⁷¹ como

\[\xi = \frac{\partial \langle \mathscr{m}_z \rangle}{\partial \mathscr{H}} \mid_{\mathscr{H}\to0},\nonumber\]

donde el\(z\) eje -está alineado con la dirección del campo magnético externo\(\pmb{\mathscr{H}}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Calcular la susceptibilidad magnética de campo bajo de una partícula con un giro arbitrario (ya sea entero o semientero)\(s\), descuidando su movimiento orbital. Comparar el resultado con la solución del problema anterior.

Sugerencia: La mecánica cuántica ⁷² nos dice que el componente\(\mathscr{m}_z\) cartesiano del momento magnético de tal partícula, en la dirección del campo aplicado, tiene valores\((2s + 1)\) estacionarios:

\[\mathscr{m}_z=\gamma\hbar m_s, \quad \text{ with } m_s = -s, -s+1,...,s-1,s, \nonumber\]

donde\(\gamma\) es la relación giromagnética de la partícula, y\(\hbar\) es la constante de Planck.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)*

Analizar la posibilidad de utilizar un sistema de partículas spin-1/2 no interactuantes, colocadas en un campo magnético externo fuerte y controlable, para refrigeración.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

El rudimentario modelo de “cremallera” de replicación del ADN es una cadena de\(N\) eslabones que pueden estar abiertos o cerrados — ver la figura de la derecha.

Abrir un enlace aumenta la energía del sistema\(\Delta > 0\); un enlace puede cambiar su estado (ya sea abierto o cerrado) solo si todos los enlaces a la izquierda del mismo están abiertos, mientras que los que están a la derecha del mismo, están cerrados. Calcular el número promedio de enlaces abiertos en equilibrio térmico, y analizar su dependencia de la temperatura, especialmente para el caso\(N >> 1\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Utilizar la distribución microcanónica para calcular la entropía promedio, energía y presión de una partícula clásica de masa\(m\), sin grados internos de libertad, libre de movimiento en volumen\(V\), a temperatura\(T\).

Sugerencia: Trate de hacer un cálculo más preciso de lo que se ha hecho en la Sec. 2.2 para el sistema de osciladores\(N\) armónicos. Para eso, necesitará conocer el volumen\(V_d\) de una hiperesfera\(d\) -dimensional del radio de la unidad. Para evitar ser demasiado cruel, te lo estoy dando:

\[V_d = \pi^{d/2} / \Gamma \left(\frac{d}{2}+1\right), \nonumber\]

donde\(\Gamma (\xi )\) está la función gamma. ⁷³

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resolver el problema anterior a partir de la distribución de Gibbs.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcular la energía promedio, la entropía, la energía libre y la ecuación de estado de una partícula 2D clásica (sin grados internos de libertad), libre para moverse dentro del área\(A\), a temperatura\(T\), a partir de:

(i) la distribución microcanónica, y

ii) la distribución de Gibbs.

Sugerencia: Para la ecuación de estado, realizar la modificación apropiada de la noción de presión.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Una partícula cuántica de masa\(m\) se limita al movimiento libre a lo largo de un segmento 1D de longitud\(a\). Usando cualquier enfoque que desee, calcule la fuerza promedio que la partícula ejerce sobre las “paredes” (extremos) de tal “pozo de potencial 1D” en equilibrio térmico, y analice su dependencia de la temperatura, enfocándose en los límites de baja temperatura y alta temperatura.

Sugerencia: Puede considerar la serie\(\Theta(\xi) \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left\{-\xi n^{2}\right\}\) una función conocida de\(\xi \). ⁷⁴

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)*

Las propiedades rotacionales de las moléculas diatómicas (como\(\ce{N2}\), CO, etc.) pueden ser razonablemente bien descritas por el llamado modelo de mancuernas: partículas de dos puntos, de masas\(m_1\) y\(m_2\), con una distancia fija\(d\) entre ellas. Ignorando el movimiento traslacional de la molécula en su conjunto, utilice este modelo para calcular su capacidad calorífica, y deletrear el resultado en los límites de temperaturas bajas y altas. Discuta si su solución es válida para las llamadas moléculas homonucleares, que consiste en dos átomos similares\(\ce{H2}\), como\(\ce{O2}\),\(\ce{N2}\),, etc.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Calcular la capacidad calorífica de una molécula diatómica heteronuclear, utilizando el modelo simple descrito en el problema anterior, pero ahora asumiendo que la rotación está confinada a un plano. ⁷⁵

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Un cuerpo clásico, rígido y fuertemente alargado (como una aguja delgada), es libre de girar alrededor de su centro de masa y se encuentra en equilibrio térmico con su entorno. ¿El vector de velocidad angular\(\omega\) y el vector de momento angular\(\mathbf{L}\), en promedio, están dirigidos a lo largo del eje de elongación del cuerpo, o normales a éste?

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Dos dipolos eléctricos clásicos similares, de magnitud fija\(d\), están separados por una distancia fija\(r\). Suponiendo que cada momento dipolo\(\mathbf{d}\) puede tomar cualquier dirección espacial y que el sistema está en equilibrio térmico, escriba las expresiones generales para su suma estadística\(Z\), energía de interacción promedio\(E\)\(C\), capacidad calorífica y entropía\(S\), y calcule explícitamente en el límite de altas temperaturas.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Una partícula clásica de masa 1D\(m\), que reside en el pozo potencial

\[U(x) = \alpha |x|^{\gamma}, \quad \text{ with } \gamma >0, \nonumber\]

está en equilibrio térmico con su ambiente, a temperatura\(T\). Calcular los valores promedio de su energía potencial\(U\) y la energía total\(E\), utilizando dos enfoques:

(i) directamente de la distribución de Gibbs, y

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Para un conjunto de equilibrio térmico de osciladores 1D clásicos ligeramente anarmónicos, con masa\(m\) y energía potencial

\[U(q) = \frac{\kappa}{2}x^2 + \alpha x^3, \nonumber\]

con un coeficiente pequeño\(\alpha \), calcular\(\langle x\rangle\) en la primera aproximación en baja temperatura\(T\).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)*

Un pequeño conductor (en este contexto, generalmente llamado isla de un solo electrón) se coloca entre dos electrodos conductores, con voltaje\(V\) aplicado entre ellos. La brecha entre uno de los electrodos y la isla es tan estrecha que los electrones pueden hacer un túnel cuántico-mecánicamente a través de esta brecha (la “unión túnel débil”) — vea la figura a la derecha. Calcular la carga promedio de la isla en función de\(V\) a temperatura\(T\).

Sugerencia: La tunelización cuántico-mecánica de un electrón a través de una unión débil ⁷⁷ entre dos conductores macroscópicos y su posterior relajación energética, puede considerarse como un solo evento inelástico (disipación de energía), de manera que la única energía relevante para el equilibrio térmico de el sistema es su energía potencial electrostática.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Un\(LC\) circuito (ver la figura de la derecha) se encuentra en equilibrio termodinámico con su entorno. Calcular la fluctuación r.m.s.\(\delta V \equiv \langle V^2 \rangle^{1/2}\) del voltaje a través de él, para una relación arbitraria\(T/\hbar \omega \), donde\(\omega = (LC)^{-1/2}\) está la frecuencia de resonancia de este “circuito tanque”.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Derivar la ecuación (\(2.6.12-2.6.13\)) a partir de argumentos simplistas, que representan la radiación de cuerpo negro como un gas ideal de fotones tratados como partículas ultra relativistas clásicas. ¿Qué dan argumentos similares para un gas ideal de partículas clásicas pero no relativistas?

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Calcular la entalpía, la entropía y la energía Gibbs de la radiación electromagnética de cuerpo negro con temperatura\(T\) dentro del volumen\(V\), y luego usar estos resultados para encontrar la ley de temperatura y caída de presión en una expansión adiabática.

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Como se mencionó en la Sec. 6 (i), la relación entre las temperaturas\(T_{\oplus}\) de la superficie visible del Sol y la\((T_o)\) de la superficie de la Tierra se deriva del balance de la radiación térmica que emiten. Demostrar que la relación experimentalmente observada efectivamente sigue, con buena precisión, de un modelo sencillo en el que las superficies irradian como cuerpos negros perfectos con temperaturas constantes.

Sugerencia: Puede recoger los valores experimentales que necesita de cualquier fuente (confiable :-).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Si una superficie no absorbe perfectamente la radiación (“negra”), la potencia electromagnética de su radiación térmica difiere de la ley de radiación de Planck por un factor dependiente de la frecuencia\(\varepsilon < 1\), llamado emisividad. Demostrar que dicha superficie refleja la (\(1 – \varepsilon \)) fracción de la radiación incidente.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Si dos superficies negras, enfrentadas entre sí, tienen temperaturas diferentes (ver la figura de la derecha), entonces de acuerdo con la ley de radiación Stefan (\(2.6.8-2.6.9\)), hay un flujo neto de radiación térmica, desde una superficie más cálida a la más fría:

\[\frac{\mathscr{P}_{net}}{A} = \sigma (T^4_1 - T^4_2). \nonumber\]

Para muchas aplicaciones, especialmente incluyendo la mayoría de los experimentos a baja temperatura, este flujo es perjudicial. Una forma de suprimirla es reducir la emisividad\(\varepsilon\) (para su definición, ver el problema anterior) de ambas superficies —digamos cubriéndolas con películas metálicas brillantes. Una forma alternativa hacia el mismo objetivo es colocar, entre las superficies, una capa delgada (generalmente llamada escudo térmico), con una baja emisividad de ambas superficies — ver la línea discontinua en la Figura anterior. Asumiendo que la emisividad es la misma en ambos casos, averigua cuál es el camino más eficiente.

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Dos placas de área paralelas y bien conductoras\(A\) están separadas por un espacio libre de espesor constante\(t << A^{1/2}\). Calcular la energía del campo electromagnético inducido térmicamente dentro de la brecha en equilibrio térmico con temperatura\(T\) en el rango

\[\frac{\hbar c}{A^{1/2}} <<T<<\frac{\hbar c}{t}. \nonumber\]

¿El campo empuja las placas aparte?

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Utilice la teoría de Debye para estimar el calor específico del aluminio a temperatura ambiente (digamos, 300 K), y expresar el resultado en las siguientes unidades populares:

i) EV/k por átomo,

(ii) J/K por mol, y

(iii) J/K por gramo.

Compare el último número con el valor experimental (de un libro confiable o fuente en línea).

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

El calor específico a baja temperatura de algunos sólidos tiene una contribución considerable de la excitación térmica de las ondas de espín, cuya ley de dispersión se escala como\(\omega \propto k^2\) en\(\omega \rightarrow 0\). ⁷⁸ Despreciando la anisotropía, calcular la dependencia de la temperatura de esta contribución a bajas\(C_V\) temperaturas, y discutir las condiciones de su observación experimental.

Sugerencia: Así como los fotones y fonones discutidos en la sección 2.6, las excitaciones cuánticas de las ondas de espín (llamadas magnones) pueden considerarse como cuasipartículas bosónicas no interactuantes con potencial químico cero, cuyas estadísticas obedecen a la Ecuación (\(2.5.15\)).

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Derivar una expresión general para el calor específico de una cadena muy larga y recta de partículas similares de masa\(m\), confinada para moverse solo en la dirección de la cadena, e interactuando elásticamente con constantes elásticas efectivas\(\kappa\); vea la figura de la derecha. Deletrea el resultado en los límites de temperaturas muy bajas y muy altas.

Sugerencia: Es posible que desee utilizar la siguiente integral: ⁷⁹

\[\int^{+\infty}_{0} \frac{\xi^2 d \xi}{\sinh^2 \xi} = \frac{\pi^2}{6}.\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Calcular la fluctuación térmica r.m.s. del punto medio de una cuerda de guitarra uniforme de longitud\(l\), estirada por la fuerza\(\mathscr{T}\), a temperatura\(T\). Evalúa tu resultado para\(l = 0.7\) m,\(\mathscr{T} = 10^3\) N y temperatura ambiente.

Sugerencia: Es posible que te interese usar las siguientes series:

\[1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...\equiv \sum^{\infty}_{m\to 0} \frac{1}{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Utilice la Ecuación general (\(2.8.13\)) para volver a derivar la distribución de Fermi-Dirac (\(2.8.5\)) para un sistema en equilibrio.

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Cada una de dos partículas idénticas, que no interactúan directamente, puede estar en cualquiera de dos estados cuánticos, con energías de una sola partícula\(\varepsilon\) iguales a 0 y\(\Delta \). Anote la suma estadística\(Z\) del sistema, y utilícela para calcular su energía total promedio\(E\) a temperatura\(T\), para los casos en que las partículas sean:

i) distinguibles (digamos, por sus posiciones);

ii) fermiones indistinguibles;

iii) Bosones indistinguibles.

Analizar e interpretar la dependencia de la temperatura de\(E\) para cada caso, asumiendo que\(\Delta > 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Calcular el potencial químico de un sistema de fermiones\(N >> 1\) independientes, mantenidos a una temperatura fija\(T\), si cada partícula tiene dos niveles de energía no degenerados separados por gap\(\Delta \).

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Notas al pie

1. Para el lector interesado en un enfoque más riguroso, puedo recomendar, por ejemplo, el Capítulo 18 del manual de G. Korn y T. Korn — ver MA Sec. 16, inciso ii).
2. El contraejemplo más popular es un sistema de conservación de energía. Consideremos, por ejemplo, un sistema de partículas colocadas en un potencial que es una forma cuadrática de sus coordenadas. La teoría de las oscilaciones nos dice (ver, por ejemplo, CM Sec. 6.2) que este sistema es equivalente a un conjunto de osciladores armónicos que no interactúan. Cada uno de estos osciladores conserva su propia energía inicial\(E_j\) para siempre, de manera que las estadísticas de\(N\) mediciones de uno de esos sistemas pueden diferir de la de\(N\) diferentes sistemas con una distribución aleatoria de\(E_j\), aunque la energía total del sistema,\(E = \Sigma_jE_j\), sea la misma. Esa no ergodicidad, sin embargo, es un fenómeno bastante débil y es fácilmente destruida por cualquiera de muchos mecanismos, como la interacción débil con el medio ambiente (que conduce, en particular, a la amortiguación de oscilaciones), la anarmonicidad potencial (véase, por ejemplo, CM Capítulo 5) y el caos (CM Capítulo 9), todos ellos fuertemente mejorados aumentando el número de partículas en el sistema, es decir, el número de sus grados de libertad. Es por ello que una parte abrumadora de los sistemas de la vida real son ergódicos; para los lectores interesados en exóticos no ergódicos, puedo recomendar la monografía de V. Arnold y A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Addison Wesley, 1989.
3. Aquí, y en todas partes de esta serie, los corchetes angulares\(\langle \dots \rangle\) significan promediar sobre un conjunto estadístico, que generalmente es diferente de promediar a lo largo del tiempo —como será el caso en bastantes ejemplos que se consideran a continuación.
4. Véase, por ejemplo, QM Sec. 7.1.
5. Aquí utilizo la imagen Schrödinger de dinámica cuántica, en la que los elementos de la matriz\(f_{nn’}\) que representan operadores cuántico-mecánicos, no evolucionan en el tiempo. Los resultados finales de esta discusión no dependen del panorama particular — véase, por ejemplo, QM Sec. 4.6.
6. Personalmente, creo que el genio de J. Gibbs, elogiado por Albert Einstein como la “mente más grande de la historia estadounidense”, todavía no se reconoce suficientemente, y coincide con R. Millikan en que Gibbs “hizo por mecánica estadística y termodinámica lo que [...] Maxwell lo hizo por la electrodinámica”.
7. Los términos “microcanónico”, así como “canónico” (ver Sec. 4 abajo) aparentemente se deben a Gibbs y no pude averiguar su motivación para el nombre anterior. (“Canónico” en el sentido de “estándar” o “común” es bastante apropiado, pero ¿por qué “micro”? Tal vez para reflejar la pequeñez de\(\Delta E\)?)
8. Formalmente, el resultado principal de esta sección, Ecuación (\(2.2.1\)), es válido para cualquier\(M\) (incluyendo\(M = 1\)); solo es menos informativo para los pequeños\(M\) —y trivial para\(M = 1\).
9. Aunque tengo que seguir adelante, permítanme señalar que la distribución microcanónica (\(2.2.1\)) es un postulado muy no trivial, y mi consejo al lector es encontrar algo de tiempo para dar un pensamiento adicional a esta piedra angular de todo el edificio de la mecánica estadística.
10. Confiaré en el sentido común del lector y la comprensión intuitiva de lo que es la información, porque incluso en la teoría formal de la información, esta noción se postula esencialmente —véase, por ejemplo, el texto maravillosamente claro de J. Pierce, An Introduction to Information Theory, Dover, 1980.
11. Esto es por supuesto solo el cambio de un factor constante:\(S(M) = \ln M = \ln 2 \times \log_2M = \ln 2 \times I(M) \approx 0.693 I(M)\). Una revisión del Capítulo 1 muestra que nada en la termodinámica nos impide elegir arbitrariamente un coeficiente tan constante, con el cambio correspondiente de la escala de temperatura — ver Ecuación (1.9). En particular, en las unidades SI, donde se convierte la Ecuación (\(2.2.6\))\(S = –k_B \ln W_m\), un bit de información corresponde al cambio de entropía\(\Delta S = k_B \ln 2 \approx 0.693 k_B \approx 0.965\times 10^{-23}\) J/K. Por cierto, la fórmula “\(S = k \log W\)” está grabada en la lápida de L. Boltzmann en Viena.
12. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (2.3). A pesar del nombre intimidante, Equation (\(2.2.8\)) puede derivarse de manera muy simple. ¡Efectivamente,\(N\)! es solo el número de todas las posibles permutaciones de\(N\) bolas, es decir, las formas de colocarlas en ciertas posiciones —digamos, dentro de\(M\) cajas. Ahora para tomar en cuenta que el orden particular de las bolas en cada caja no es importante, ¡ese número debe dividirse por todos los números\(N_m\)! de posibles permutaciones de bolas dentro de cada caja — eso es todo.
13. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (2.10).
14. Estrictamente hablando, debería usar la notación\(\langle S \rangle\) aquí. No obstante, siguiendo el estilo aceptado en la termodinámica, bajaré los signos de promedio hasta que realmente los necesitemos para evitar confusiones. Nuevamente, esta taquigrafía no es tan mala porque las fluctuaciones relativas de la entropía (como las de cualquier variable macroscópica) son muy pequeñas en\(N >> 1\).
15. Con el reemplazo de\(\ln W_m\) con\(\log_2 W_m\) (es decir, división de ambos lados por\(\ln 2\)), Equation (\(2.2.11\)) se convierte en la famosa fórmula de Shannon (o “Boltzmann-Shannon”) para la información promedio\(I\) por símbolo en una cadena de comunicación larga usando\(M\) diferentes símbolos, con probabilidad\(W_m\) cada uno.
16. En algunos libros de texto, esta interpretación es incluso aceptada como la derivación de la Ecuación (\(2.2.11\)); sin embargo, evidentemente es menos estricta que la señalada anteriormente.
17. Véase, por ejemplo, QM Secs. 2.9 y 5.4.
18. Permítanme esperar que el lector sepa que la energía del estado fundamental es medible experimentalmente —por ejemplo, usando el famoso efecto Casimir — véase, por ejemplo, QM Sec. 9.1. (En la Sec. 5.5 a continuación voy a discutir brevemente otro método de observación experimental de esa energía.)
19. ¡El coeficiente\(1/N\)! en esta fórmula tiene el significado geométrico del (hiper) volumen de la pirámide derecha\(N\) -dimensional con lados unitarios.
20. Por la misma razón, la noción de presión\(P\) en tal sistema no está claramente definida, y tampoco lo están los potenciales termodinámicos sino\(E\) y\(F\).
21. Estoy usando esta fuente elegante para la masa para evitar cualquier posibilidad de su confusión con el número de estado.
22. Nótese nuevamente que si bien hemos comprometido la energía\(E_N\) de\(N\) los osciladores para ser fija (para aplicar la ecuación (\(2.2.18\)), válida solo para un conjunto microcanónico en equilibrio termodinámico), la energía del oscilador único\(E\) en nuestro análisis puede ser arbitraria, dentro de los límites \(\hbar \omega << E \leq E_N \sim NT\).
23. Como recordatorio, el hamiltoniano de cualquier sistema cuya función lagrangiana clásica sea una forma cuadrática arbitraria de sus coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas correspondientes, puede ser llevado a la forma (\(2.2.31\)) por una elección apropiada de “coordenadas normales”\(q_j\) que son ciertas combinaciones lineales de las coordenadas originales — véase, por ejemplo, CM Sec. 6.2.
24. Esto también significa que en el límite clásico, la capacidad calorífica de un sistema es igual a la mitad del número de sus medios grados de libertad (en las unidades SI, multiplicado por\(k_B\)).
25. Se exhorta encarecidamente al lector a resolver el Problema 2, cuya tarea es hacer un cálculo similar para otro sistema físico clave (“dos niveles”), y comparar los resultados.
26. Véase, por ejemplo, CM Capítulo 9 y literatura en él.
27. Para la definición de\(\lambda \), véase, por ejemplo, la Ecuación CM (9.9).
28. Para mayor discusión, véase, por ejemplo, ya sea la Sec. 6.2 de la monografía H. G. Schuster y W. Just, Deterministic Chaos,\(4^{th}\) ed., Wiley-VHS, 2005, o la monografía de Arnold y Avez, citada en la Sec. 1.
29. A este sistema se le suele llamar el motor Szilard, en honor a L. Szilard, quien publicó su detallada discusión teórica en 1929, pero es esencialmente una extensión directa del experimento mental sugerido por J. Maxwell ya en 1867.
30. Este procedimiento de la redefinición del conjunto estadístico es el punto central de la conexión entre la física y la teoría de la información, y es crucial en particular para cualquier discusión (o más bien cualquier :-) significativa de las mediciones en la mecánica cuántica — véase, por ejemplo, QM Secs. 2.5 y 10.1.
31. Véase, por ejemplo, A. Bérut et al., Nature 483, 187 (2012); J. Koski et al., PNAS USA 111, 13786 (2014); Y. Jun et al., Phys. Rev. 113, 190601 (2014); J. Peterson et al., Proc. Roy. Soc. A 472, 20150813 (2016).
32. C. Bennett, IBM J. Res. Devel. 17, 525 (1973); véase también C. Bennett, Int. J. Theor. Phys. 21, 905 (1982).
33. Para eso, todas las puertas tienen que ser físicamente reversibles, sin consumo de energía estática. Tales dispositivos lógicos sí existen, aunque todavía no son muy practicables —véase, por ejemplo, K. Likharev, Int. J. Theor. Phys. 21, 311 (1982). (Otra razón para citar, bastante a regañadientes, mi propio trabajo es que también dio pruebas constructivas de que el cálculo reversible también puede superar el “límite cuántico fundamental” percibido,\(\Delta E\Delta t > \hbar \), donde\(\Delta t\) está el tiempo de la operación lógica binaria).
34. Muchos esquemas actualmente explorados de computación cuántica también son reversibles; véase, por ejemplo, QM Sec. 8.5 y referencias en él.
35. Otro ejemplo famoso es la teoría de la evolución biológica de Charles Darwin.
36. La dependencia de la temperatura del tipo\(\text{exp}\{-const/T\}\), especialmente cuando se presenta en tasas de ciertos eventos, por ejemplo, reacciones químicas, también se suele llamar la ley Arrhenius —después del químico S. Arrhenius que ha notado esta ley en numerosos datos experimentales. En todos los casos que conozco, la distribución de Gibbs es la razón subyacente de la ley Arrhenius. (Veremos varios ejemplos de eso más adelante en este curso.)
37. Esta es la opinión de muchos físicos, entre ellos Richard Feynman —quien sube a esta “cumbre” ya en la primera página de su brillante libro Statistical Mechanics, CRC Press, 1998. (Se trata de una colección de conferencias sobre algunos temas diversos, en su mayoría avanzados, de la física estadística, más que su curso sistemático, por lo que difícilmente puede ser utilizado como el primer libro de texto sobre el tema. No obstante, puedo recomendar encarecidamente su primer capítulo a todos mis lectores.
38. La tarea de hacer un cálculo similar (e incluso más simple) para otro objeto cuántico-mecánico clave, el sistema de dos niveles, se deja para el ejercicio del lector.
39. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (2.8b).
40. Fue obtenido por primera vez en 1924 por S. Bose y a veces se le llama la distribución de Bose, un caso particular de la distribución de Bose-Einstein que se discutirá en la Sec. 8 a continuación.
41. Véase, por ejemplo, QM Sec. 2.10.
42. El cálculo se puede encontrar, e.g., en QM Sec. 7.2.
43. Como recordatorio: la igualdad de estos dos promedios, a temperatura arbitraria, ya quedó demostrada en la Sec. 2.
44. Véase, por ejemplo, EM Sec. 7.8.
45. En nuestro contexto actual, el volumen debe ser mucho mayor que\((c\hbar /T)^3\), donde\(c \approx 3\times 10^8\) m/s es la velocidad de la luz. Para la temperatura ambiente (\(T \approx k_B \times 300\)K\(\approx 4\times 10^{-21}\) J), este límite inferior es del orden de\(10^{-16} m^3\).
46. Véase, por ejemplo, QM Sec. 9.1.
47. Permítanme esperar que el lector sepa que esta ley fue sugerida por primera vez en 1900 por Max Planck como un ajuste empírico para los datos experimentales sobre la radiación de cuerpo negro, y este fue el punto histórico en el que se introdujo la constante de Planck\(\hbar\) (o mejor dicho\(h \equiv 2\pi \hbar \)) —véase, por ejemplo, QM Sec. 1.1.
48. El último paso de la Ecuación (\(2.6.7\)) utiliza una integral de tabla, igual a\(\Gamma (4)\zeta (4) = (3!)(\pi^4/90) = \pi^4/15\) — véase, por ejemplo, la Ecuación MA (6.8b)\(s = 4\), con, y luego MA Eqs. (6.7e), y (2.7b).
49. Obsérvese que la capacidad calorífica\(C_V \equiv (\partial E/\partial T)_V\), siguiendo la Ecuación (\(2.6.7\)), es proporcional\(T^3\) a cualquier temperatura, y por lo tanto no obedece la tendencia\(C_V \rightarrow\) const at\(T \rightarrow \infty \). Esto es el resultado del crecimiento ilimitado, con temperatura, del número de osciladores de campo que salen térmicamente con frecuencias\(\omega\) inferiores\(T/\hbar \).
50. Su parte funcional\((E \propto T^4)\) fue deducida en 1879 por Joseph Stefan de experimentos anteriores de John Tyndall. Teóricamente, fue probado en 1884 por L. Boltzmann, utilizando un resultado derivado anteriormente por Adolfo Bartoli a partir de las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético, todo mucho antes del trabajo de Max Planck.
51. Esta fórmula también puede derivarse de la expresión de las fuerzas ejercidas por la radiación electromagnética en las paredes (ver, por ejemplo EM Sec. 9.8), pero el cálculo anterior es mucho más sencillo.
52. Tenga en cuenta que de acuerdo con las Eqs. (\(1.4.21\)), (\(2.6.7\)) y (\(2.6.12-2.6.13\)), la diferencia entre las ecuaciones de estado del gas fotón y un gas ideal de partículas no relativistas, expresadas en la forma más habitual\(P = P(V, T)\), es mucho más dramática:\(P \propto T^4V^0\) vs\(P \propto T^1V^{-1}\).
53. Debido a una expansión de temperatura bastante baja de los sólidos, la diferencia entre sus\(C_V\) y\(C_P\) es pequeña.
54. En buenos conductores (e.g., metales), el calor específico es aportado (y a bajas temperaturas, dominado) por electrones libres — ver Sec. 3.3 abajo.
55. Véase, por ejemplo, CM Sec. 7.7.
56. Véase, por ejemplo, CM Sec. 6.3, en particular la Figura 6.5 y su discusión.
57. Véase, por ejemplo, CM Sec. 6.2.
58. En las unidades SI, la temperatura de Debye\(T_D\) es del orden de unos pocos cientos de K para la mayoría de los sólidos simples (por ejemplo,\(\sim 430\) K para aluminio y\(\sim 340\) K para cobre), con valores algo menores para cristales con átomos pesados (\(\sim 105\)K para plomo), y alcanza su valor más alto\(\sim 2200\) K para diamante, con sus átomos relativamente ligeros y celosía muy rígida.
59. Es por ello que existe la siguiente “regla general” en las ciencias cuantitativas: si trazas tus datos en una escala lineal en lugar de logarítmica, es mejor que tengas lista una buena excusa. (Un ejemplo de excusa válida: la variable que está trazando cambia su signo dentro del rango que desea exhibir.)
60. Este término deriva del hecho de que at\(k \rightarrow 0\), las ondas mecánicas correspondientes a estas ramas tienen velocidades de fase\(v_{ph} \equiv \omega (k)/k\) que son muy superiores a las de las ondas acústicas, y pueden acercarse a la velocidad de la luz. Como resultado, estas ondas pueden interactuar fuertemente con ondas electromagnéticas (prácticamente, ópticas) de la misma frecuencia, mientras que las ondas acústicas no pueden.
61. El índice adicional en la nueva notación\(E_{m,N}\) para la energía del sistema de interés refleja el hecho de que su espectro generalmente depende del número\(N\) de partículas en él.
62. El número promedio de partículas\(\langle N\rangle\) es exactamente lo que se llamó\(N\) en la termodinámica (ver Capítulo 1), pero aquí guardo esta notación explícita para hacer una clara distinción entre este valor promedio de la variable, y sus valores particulares que participan en Eqs. (\(2.7.1\)) - (\(2.7.10\)).
63. La distribución fue sugerida por primera vez en 1877 por L. Boltzmann. Para el caso particular cuando\(\varepsilon\) es la energía cinética de una partícula clásica libre (y por lo tanto tiene un espectro continuo), se reduce a la distribución de Maxwell (ver Sec. 3.1 más adelante), que se derivó antes —en 1860—.
64. Esto invita a una pregunta natural: ¿qué partículas son “lo suficientemente elementales” para su identidad? Por ejemplo, los protones y neutrones tienen una estructura interna, en cierto sentido consistente en quarks y gluones; ¿pueden considerarse elementales? A continuación, si los protones y neutrones son elementales, ¿son átomos? moléculas? ¿Qué pasa con las moléculas realmente grandes (como las proteínas)? virus? La respuesta general a estas preguntas, dadas por la mecánica cuántica (o más bien experimento: -), es que cualquier partícula/sistema, por grandes y complejos que sean, son idénticos si no solo tienen la misma estructura interna sino que también están exactamente en el mismo estado cuántico interno —por ejemplo, en el suelo estado de todos sus grados internos de libertad.
65. Para una discusión más detallada de este tema, véase, por ejemplo, QM Sec. 8.1.
66. Como el lector ciertamente sabe, para los osciladores de campo electromagnético, tales excitaciones se llaman fotones; para los modos de oscilación mecánica, fonones. Sin embargo, es importante no confundir estas excitaciones de modo con los osciladores como tales, y tener mucho cuidado al prescribirles ciertas ubicaciones espaciales — ver, por ejemplo, QM Sec. 9.1.
67. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (2.2).
68. Véase también Ecuación MA (2.4).
69. Se trata esencialmente de una versión más simple (y divertida: -) del modelo de dispersión de partículas utilizado por L. Boltzmann para probar su famoso\(H\) teorema (1872). Además de la significación histórica de ese teorema, el modelo utilizado en él (ver Sec. 6.2 más adelante) es tan caricaturesco, y no más general.
70. Véase, por ejemplo, QM Secs. 4.6 y 5.1, por ejemplo, Ecuación (4.167).
71. Esta susceptibilidad “atómica” (o “molecular”) debe distinguirse de la susceptibilidad “volumica”\(\chi_m \equiv \partial \mathscr{M}_z/\partial \mathscr{H}\), donde\(\pmb{\mathscr{M}}\) está la magnetización, es decir, el momento magnético de una unidad de volumen de un sistema — véase, por ejemplo, la Ecuación EM (5.111). Para un medio uniforme con dipolos\(n \equiv N/V\) no interaccionantes por unidad de volumen,\(\chi_m = n\chi \).
72. Véase, por ejemplo, QM Sec. 5.7, en particular la Ecuación (5.169).
73. Para su definición y propiedades principales, véase, e.g., MA Eqs. (6.6) - (6.9).
74. Se puede reducir a la llamada función theta elíptica\(\theta_3 (z, \tau )\) para un caso particular\(z = 0\) — véase, por ejemplo, Sec. 16.27 en el manual Abramowitz-Stegun citado en MA Sec. 16 (ii). Sin embargo, no necesitas ese (ni ningún otro) manual para resolver este problema.
75. Este es un modelo razonable de las restricciones impuestas a pequeños grupos atómicos (por ejemplo, ligandos) por su entorno atómico dentro de algunas moléculas grandes.
76. Véase, por ejemplo, CM Problema 1.12.
77. En este contexto particular, el adjetivo “débil” denota una unión con la transparencia de tunelización tan baja que la función de onda del electrón tunelizante pierde su coherencia cuántico-mecánica antes de que el electrón tenga la oportunidad de hacer un túnel hacia atrás. En una unión típica de un área macroscópica esta condición se cumple si su resistencia efectiva es mucho mayor que la unidad cuántica de resistencia (ver, e.g., QM Sec. 3.2),\(R_Q \equiv \pi \hbar /2e^2 \approx 6.5\) k\(\Omega \).
78. Tenga en cuenta que la misma ley de dispersión es típica para las ondas de flexión en varillas elásticas delgadas; véase, por ejemplo, CM Sec. 7.8.
79. Se puede reducir, vía integración por partes, a la tabla integral Ecuación MA (6.8d) con\(n = 1\).