3.3: Gas Fermi degenerado

El análisis de las propiedades a baja temperatura de un gas Fermi es muy sencillo en el límite\(T = 0\). En efecto, en este límite, la distribución Fermi-Dirac (\(2.8.5\)) es solo la función step:

\[\langle N(\varepsilon ) \rangle = \begin{cases} 1, & \text{ for } \varepsilon < \mu, \\ 0, & \text{ for } \mu < \varepsilon, \end{cases} \label{53}\]

- ver por la línea en negrita en la Figura\(\PageIndex{1a}\). Dado que\(\varepsilon = p^2/2m\) es isotrópico en el espacio de impulso, en ese espacio las partículas, a\(T = 0\), ocupan completamente todos los estados cuánticos posibles dentro de una esfera (frecuentemente llamada ya sea la esfera de Fermi o el mar de Fermi) con algún radio\(p_F\) (Figura\(\PageIndex{1b}\)), mientras que todos los estados sobre la superficie del mar están vacíos. Tal gas Fermi degenerado es una manifestación llamativa del principio Pauli: aunque en el equilibrio termodinámico\(T = 0\) todas las partículas intentan bajar sus energías tanto como sea posible, solo\(g\) de ellas pueden ocupar cada estado cuántico traslacional (“orbital”). Como resultado, el volumen de la esfera es proporcional al número de partículas\(N\), o más bien a su densidad\(n = N/V\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Representaciones del mar de Fermi: (a) en la parcela de distribución de Fermi, y (b) en el espacio de impulso.

De hecho, el radio\(p_F\) puede estar fácilmente relacionado con el número de partículas\(N\) usando la ecuación (\(3.2.10\)), con el signo superior, cuya integral en este límite es solo el volumen de la esfera Fermi:

\[N = \frac{gV}{(2\pi\hbar)^{3}} \int^{p_F}_0 4\pi p^2 dp = \frac{gV}{(2\pi\hbar)^{3}} \frac{4\pi}{3}p_F^3. \label{54}\]

Ahora podemos usar la Ecuación (\(3.1.3\)) para expresar a través\(N\) del potencial químico\(\mu\) (que, en el límite\(T = 0\), lleva el nombre especial de la energía Fermi\(\varepsilon_F\)) ²³:

Energía Fermi:

\[\boxed{ \varepsilon_F \equiv \mu\mid_{T=0} = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 6\pi^2 \frac{N}{gV}\right)^{2/3} \equiv \left(\frac{9\pi^{4}}{2}\right)^{1/3} T_0 \approx 7.595 T_0, } \label{55a}\]

donde\(T_0\) está la escala de temperatura cuántica definida por la ecuación (\(3.2.6\)). Esta fórmula cuantifica la tendencia a bajas temperaturas de la función\(\mu (T)\), claramente visible en la Figura\(3.2.1\), y en particular, explica la relación\(\varepsilon_F/T_0\) mencionada en la Sec. 2. Tenga en cuenta también una relación sencilla y muy útil,

\[ \varepsilon_F = \frac{3}{2}\frac{N}{g_3 (\varepsilon_F)}, \quad \text{ i.e. }g_3 (\varepsilon_F) = \frac{3}{2} \frac{N}{\varepsilon_F},\label{55b}\]

que se pueden obtener inmediatamente de la comparación de Eqs. (\(3.2.14\)) y (\ ref {54}).

La energía total del gas Fermi degenerado puede calcularse (igualmente fácilmente) a partir de la Ecuación (\(3.2.23\)):

\[E = \frac{gV}{(2\pi\hbar)^3} \int^{p_F}_0 \frac{p^2}{2m} 4\pi p^2 dp = \frac{gV}{(2\pi\hbar)^{3}} \frac{4\pi}{2m} \frac{p_F^5}{5} = \frac{3}{5} \varepsilon_F N, \label{56}\]

mostrando que la energía promedio,\(\langle \varepsilon \rangle \equiv E/N\), de una partícula dentro del mar Fermi es igual a 3/5 de la (\(\varepsilon_F\)) de las partículas en los estados más energéticos ocupados, en la superficie Fermi. Ya que, según las fórmulas del Capítulo 1, a temperatura cero\(H = G = N\mu \)\(F = E\), y, la única variable termodinámica aún por calcular es la presión del gas\(P\). Para ello, podríamos usar cualquiera de las relaciones termodinámicas\(P = (H – E)/V\) o\(P = –(\partial F/\partial V)_T\), pero es aún más fácil usar nuestro resultado reciente (\(3.2.19\)). Junto con la ecuación (\ ref {56}), rinde

\[ P = \frac{2}{3} \frac{E}{V} = \frac{2}{5} \varepsilon_F \frac{N}{V} = \left(\frac{36\pi^4}{125}\right)^{1/3} P_0 \approx 3.035 P_0, \quad \text{ where } P_0 \equiv nT_0 = \frac{\hbar^2n^{5/3}}{mg^{2/3}}. \label{57}\]

A partir de aquí, es sencillo calcular el módulo volumétrico (compresibilidad recíproca), ²⁴

\[K \equiv -V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T = \frac{2}{3} \varepsilon_F \frac{N}{V}, \label{58}\]

que puede ser más sencillo de medir experimentalmente que\(P\).

Quizás el ejemplo más importante ²⁵ del gas Fermi degenerado son los electrones de conducción en los metales —los electrones que pertenecen a las cáscaras externas de los átomos aislados pero que se comparten en metales sólidos, y como resultado, pueden moverse a través de la red cristalina casi libremente. Aunque los electrones (que son fermiones con espín\(s = 1/2\) y por lo tanto con la degeneración del espín\(g = 2s + 1 = 2\)) están cargados negativamente, la interacción de Coulomb de los electrones de conducción entre sí es sustancialmente compensada por los iones cargados positivamente de la red atómica, de modo que siguen el modelo simple discutido anteriormente, en el que la interacción es ignorada, razonablemente bien. Esto es especialmente cierto para los metales alcalinos (formando el Grupo 1 de la tabla periódica de elementos), cuyas superficies Fermi medidas experimentalmente son esféricas dentro de 1% —incluso dentro de 0.1% para Na.

Metal	\(\varepsilon_F\)(eV) Ecuación (\ ref {55a} -\ ref {55b})	\(K\)(GPa) Ecuación (\ ref {58})	\(K\)Experimento (GPa)	\(\gamma\)(mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) Ecuación (\ ref {69})	\(\gamma\)Experimento (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\))
Na	\ (\ varepsilon_f\) (eV) Ecuación (\ ref {55a} -\ ref {55b}) ">3.24	\ (K\) (GPa) Ecuación (\ ref {58}) ">923	\ (K\) (GPa) experimento">642	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) Ecuación (\ ref {69}) ">0.26	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) experimento">0.35
K	\ (\ varepsilon_f\) (eV) Ecuación (\ ref {55a} -\ ref {55b}) ">2.12	\ (K\) (GPa) Ecuación (\ ref {58}) ">319	\ (K\) (GPa) experimento">281	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) Ecuación (\ ref {69}) ">0.40	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) experimento">0.47
Rb	\ (\ varepsilon_f\) (eV) Ecuación (\ ref {55a} -\ ref {55b}) ">1.85	\ (K\) (GPa) Ecuación (\ ref {58}) ">230	\ (K\) (GPa) experimento">192	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) Ecuación (\ ref {69}) ">0.46	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) experimento">0.58
Cs	\ (\ varepsilon_f\) (eV) Ecuación (\ ref {55a} -\ ref {55b}) ">1.59	\ (K\) (GPa) Ecuación (\ ref {58}) ">154	\ (K\) (GPa) experimento">143	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) Ecuación (\ ref {69}) ">0.53	\ (\ gamma\) (mcal/mol\(\cdot\) K\(^2\)) experimento">0.77

Al observar los valores de\(\varepsilon_F\) enumerados en esta tabla, tenga en cuenta que las temperaturas ambiente (\(T_K \sim 300\)K) corresponden a\(T \sim 25\) MeV. Como resultado, prácticamente todos los experimentos con metales, al menos en su forma sólida o líquida, se realizan en el límite\(T << \varepsilon_F\). De acuerdo con la Ecuación (\(3.2.10\)), a tales temperaturas, el paso de ocupación descrito por la distribución Fermi-Dirac tiene un ancho distinto de cero pero relativamente pequeño del orden de\(T\) — ver la línea discontinua en la Figura\(\PageIndex{1a}\). Los cálculos para este caso se ven muy facilitados por el

llamado Sommerfeld expansión fórmula ²⁹ para las integrales como las de Eqs. (\(3.2.12\)) y (\(3.2.23\)):

Expansión de Sommerfeld:

\[\boxed{I(T) \equiv \int^{\infty}_{0} \varphi (\varepsilon) \langle N (\varepsilon)\rangle d\varepsilon \approx \int^{\mu}_0 \varphi (\varepsilon) d\varepsilon + \frac{\pi^2}{6} T^2 \frac{d\varphi (\mu )}{d\mu}, \text{ for } T<<\mu,} \label{59}\]

donde\(\phi (\varepsilon )\) es una función arbitraria que es suficientemente suave\(\varepsilon = \mu\) e integrable at\(\varepsilon = 0\). Para probar esta fórmula, introduzcamos otra función,

\[f(\varepsilon) \equiv \int^{\varepsilon}_0 \varphi (\varepsilon ' ) d\varepsilon', \quad \text{ so that } \varphi (\varepsilon ) = \frac{df( \varepsilon )}{d\varepsilon }, \label{60}\]

y elaborar la integral\(I(T)\) por partes:

\[I(T) \equiv \int^{\infty}_0 \frac{df(\varepsilon )}{d\varepsilon } \langle N(\varepsilon )\rangle d \varepsilon = \int^{\varepsilon = \infty}_{\varepsilon = 0} \langle N(\varepsilon)\rangle df \\ = [\langle N(\varepsilon)\rangle f(\varepsilon)]^{\varepsilon = \infty}_{\varepsilon =0} - \int^{\varepsilon = \infty}_{\varepsilon} f(\varepsilon ) d \langle N(\varepsilon)\rangle = \int^{\infty}_0 f(\varepsilon ) \left[ - \frac{\partial \langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon} \right] d \varepsilon . \label{61}\]

Como es evidente a partir de la Ecuación (\(2.8.5\)) y/o Figura\(\PageIndex{1a}\), en\(T << \mu\) la función\(–\partial \langle N(\varepsilon )\rangle /\partial \varepsilon\) está cerca de cero para todas las energías, además de un pico estrecho del área unitaria, at\(\varepsilon \approx \mu \). De ahí que si ampliamos la función\(f(\varepsilon )\) en la serie Taylor cerca de este punto, solo unos pocos términos principales de la expansión deberían darnos una buena aproximación:

\[\begin{align} I(T) \approx & \int_{0}^{\infty}\left[f(\mu)+\left.\frac{d f}{d \varepsilon}\right|_{\varepsilon=\mu}(\varepsilon-\mu)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} f}{d \varepsilon^{2}}\right|_{\varepsilon=\mu}(\varepsilon-\mu)^{2}\right]\left[-\frac{\partial\langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon}\right] d \varepsilon \nonumber\\ =& \int_{0}^{\mu} \varphi\left(\varepsilon^{\prime}\right) d \varepsilon^{\prime} \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{\partial\langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon}\right) d \varepsilon+\varphi(\mu) \int_{0}^{\infty}(\varepsilon-\mu)\left[-\frac{\partial\langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon}\right] d \varepsilon \nonumber\\ &+\frac{1}{2} \frac{d \varphi(\mu)}{d \mu} \int_{0}^{\infty}(\varepsilon-\mu)^{2}\left[-\frac{\partial\langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon}\right] d \varepsilon . \label{62}\end{align}\]

\[\int_{0}^{\infty}(\varepsilon-\mu)^{2}\left[-\frac{\partial\langle N(\varepsilon)\rangle}{\partial \varepsilon}\right] d \varepsilon \approx T^{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{2} \frac{d}{d \xi}\left(-\frac{1}{e^{\xi}+1}\right) d \xi=4 T^{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\xi d \xi}{e^{\xi}+1}=4 T^{2} \frac{\pi^{2}}{12}. \label{63}\]

Al estar enchufado a la Ecuación (\ ref {62}), este resultado prueba la fórmula de Sommerfeld (\ ref {59}).

El último paso preparatorio que debemos hacer es dar cuenta de una posible pequeña diferencia (como veremos a continuación, también proporcional a\(T^2\)) entre el potencial químico dependiente de la temperatura\(\mu (T)\) y la energía de Fermi definida como\(\varepsilon_F \equiv \mu (0)\), en el mayor (primer) término en el lado derecho de Ecuación (\ ref {59}), escribir

\[ I(T) \approx \int_{0}^{\varepsilon_{\mathrm{F}}} \varphi(\varepsilon) d \varepsilon+\left(\mu-\varepsilon_{\mathrm{F}}\right) \varphi(\mu)+\frac{\pi^{2}}{6} T^{2} \frac{d \varphi(\mu)}{d \mu} \equiv I(0)+\left(\mu-\varepsilon_{\mathrm{F}}\right) \varphi(\mu)+\frac{\pi^{2}}{6} T^{2} \frac{d \varphi(\mu)}{d \mu}. \label{64}\]

Ahora, aplicando esta fórmula a la Ecuación (\(3.2.12\)) y la última forma de la Ecuación (\(3.2.23\)), obtenemos los siguientes resultados (que son válidos para cualquier ley de dispersión\(\varepsilon (\mathbf{p})\) e incluso cualquier dimensionalidad del gas):

\[N(T) = N(0) + (\mu - \varepsilon_F) g(\mu) + \frac{\pi^2}{6} T^2 \frac{dg (\mu )}{d\mu}, \label{65}\]

\[E(T) = E(0) + (\mu - \varepsilon_F) \mu g(\mu) + \frac{\pi^2}{6} T^2 \frac{d}{d\mu}[\mu g (\mu )]. \label{66}\]

Si el número de partículas no cambia con la temperatura\(N(T) = N(0)\), como en la mayoría de los experimentos, la Ecuación (\ ref {65}) da la siguiente fórmula para encontrar el cambio inducido por la temperatura de\(\mu \):

\[\mu - \varepsilon_F = - \frac{\pi^2}{6} T^2 \frac{1}{g(\mu )} \frac{dg(\mu)}{d\mu}.\label{67}\]

Obsérvese que el cambio es cuadrático en\(T\) y negativo, de acuerdo con los resultados numéricos mostrados con la línea roja en la Figura\(3.2.1\). Conectando esta expresión (que solo es válida cuando la magnitud del cambio es mucho menor que\(\varepsilon_F\)) en la Ecuación (\ ref {66}), obtenemos la siguiente corrección de temperatura a la energía:

\[E(T)-E(0) = \frac{\pi^2}{6} g(\mu)T^2, \label{68}\]

donde dentro de la precisión de nuestra aproximación,\(\mu\) puede ser reemplazado por\(\varepsilon_F\). (Debido a la relación universal (\(3.2.19\)), este resultado también da la corrección de temperatura a la presión del gas Fermi). Ahora podemos usar la Ecuación (\ ref {68}) para calcular la capacidad calorífica del gas Fermi degenerado:

Capacidad de calor de baja T:

\[\boxed{C_V \equiv \left(\frac{\partial E}{\partial T } \right)_V = \gamma T, \quad \text{ with } \gamma = \frac{\pi^2}{3} g(\varepsilon_F).} \label{69}\]

Según la Ecuación (\ ref {55b}), en el caso particular de un gas 3D con la ley de dispersión isotrópica y parabólica (\(3.1.3\)), la ecuación (\ ref {69}) reduce a

\[\gamma = \frac{\pi^2}{2} \frac{N}{\varepsilon_F}, \quad \text{ i.e. } c_V \equiv \frac{C_V}{N} = \frac{\pi^2}{2} \frac{T}{\varepsilon_F} << 1. \label{70}\]

Este importante resultado merece una discusión. Primero, tenga en cuenta que dentro del rango de validez de la aproximación de Sommerfeld (\(T << \varepsilon_F\)), el calor específico del gas degenerado es mucho menor que el del gas clásico, incluso sin grados internos de libertad:\(c_V = 3/2\) — ver Ecuación (\(3.1.20\)). La razón física de una capacidad calorífica tan baja es que las partículas en lo profundo del mar Fermi no pueden captar excitaciones térmicas con energías disponibles del orden de\(T << \varepsilon_F\), debido a que los estados inmediatamente por encima de ellas ya están ocupados. Las únicas partículas (o más bien estados cuánticos, debido a la indistinguibilidad de las partículas) que pueden excitarse con energías tan pequeñas son las que se encuentran en la superficie de Fermi, más exactamente dentro de una capa superficial de espesor\(\Delta \varepsilon \sim T << \varepsilon_F\), y la Ecuación (\ ref {70}) presenta una manifestación muy vívida de este hecho.

La segunda característica importante de las Eqs. (\ ref {69}) - (\ ref {70}) es la dependencia lineal de la capacidad calorífica de la temperatura, que disminuye con una reducción\(T\) mucho más lenta que la de las vibraciones cristalinas — ver Ecuación (\(2.6.21\)). Esto significa que en los metales el calor específico a temperaturas\(T << T_D\) está dominado por los electrones de conducción. En efecto, los experimentos confirman no sólo la dependencia lineal (\ ref {70}) del calor específico, ³¹ sino también los valores del coeficiente de proporcionalidad\(\gamma \equiv C_V/T\) para los casos en los que se\(\varepsilon_F\) puede calcular de forma independiente, por ejemplo para los metales alcalinos — ver las dos columnas más a la derecha del Cuadro 1 anterior. Más típicamente, la Ecuación (\ ref {69}) se utiliza para la medición experimental de la densidad de estados en la superficie de Fermi,\(g(\varepsilon_F)\) el factor que participa en muchos resultados teóricos, en particular en las propiedades de transporte de los gases Fermi degenerados (ver Capítulo 6 a continuación).