6.4: Aceleración en la Relatividad Especial
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Como se señaló anteriormente, la aceleración es solo la tasa de cambio de velocidad en el tiempo. Utilizamos los resultados anteriores para determinar cómo la aceleración se transforma de un marco de referencia a otro. La Figura 6.4 muestra la línea mundial de un marco de referencia acelerado, con una velocidad variable en el tiempo en\(\mathrm{U}(\mathrm{t})\) relación con el marco de reposo inercial no cebado. Definir\(\Delta \mathrm{U}=\mathrm{U}(\mathrm{T})-\mathrm{U}(0)\) como el cambio en la velocidad del cuadro acelerado (relativo al cuadro no cebado) entre los eventos A y C, podemos relacionarlo con el cambio de velocidad,\(\Delta \mathrm{U}^{\prime}\), del marco acelerado relativo a un marco inercial que se mueve con la velocidad inicial,\(\mathrm{U}(0)\).
Aplicando la ecuación para la adición relativista de velocidades, encontramos
\[U(T)=U(0)+\Delta U=\frac{U(0)+\Delta U^{\prime}}{1+U(0) \Delta U^{\prime} / c^{2}}\label{6.10}\]
Ahora notamos que la aceleración media del marco de referencia entre los eventos A y C en el resto del fotograma es justa\(\mathrm{a}=\Delta \mathrm{U} / \mathrm{T}\), mientras que la aceleración media en el fotograma cebado entre los mismos dos eventos lo es\(\mathrm{a}^{\prime}=\Delta \mathrm{U}^{\prime} / \mathrm{T}^{\prime}\). De la ecuación (\ ref {6.10}) encontramos que
\[\Delta U=\frac{\Delta U^{\prime}\left[1-U(0)^{2} / c^{2}\right]}{1+U(0) \Delta U^{\prime} / c^{2}}\label{6.11}\]
y la aceleración del marco de referencia cebado tal como aparece en el fotograma no cebado es
\[a=\frac{\Delta U}{T}=\frac{\Delta U^{\prime}\left[1-U(0)^{2} / c^{2}\right]}{T\left[1+U(0) \Delta U^{\prime} / c^{2}\right]}\label{6.12}\]
Ya que nos interesa la aceleración instantánea más que la media, dejamos que\(T\) se hagan pequeños. Esto tiene tres consecuencias. Primero,\(\Delta \mathrm{U} \text { and } \Delta \mathrm{U}^{\prime}\) volverse pequeño, lo que significa que el término\(\mathrm{U}(0) \Delta \mathrm{U}^{\prime} / \mathrm{c}^{2}\) en el denominador de la Ecuación\ ref {6.12} puede ignorarse en comparación con 1. Esto significa que
\[a \approx \frac{\Delta U^{\prime}\left[1-U(0)^{2} / c^{2}\right]}{T}\label{6.13}\]
con la aproximación llegando a ser exacta como T → 0. En segundo lugar, el “triángulo” con el lado curvo en la figura 6.4 se convierte en un verdadero triángulo, con el resultado que\(\mathrm{T}^{\prime}=\mathrm{T}\left[1-\mathrm{U}(0)^{2} / \mathrm{c}^{2}\right]^{1 / 2}\). Por lo tanto, se\(\mathrm{U}(0)\) puede escribir la aceleración del marco imprimado con respecto a un marco inercial que se mueve a velocidad
\[a^{\prime}=\frac{\Delta U^{\prime}}{T^{\prime}}=\frac{\Delta U^{\prime}}{T\left[1-U(0)^{2} / c^{2}\right]^{1 / 2}}\label{6.14}\]
Tercero, podemos reemplazar U (0) por U, ya que la velocidad del cuadro acelerado no cambia mucho en un corto intervalo de tiempo.
Dividir la ecuación (\ ref {6.13}) por la ecuación (\ ref {6.14}) da como resultado una relación entre las dos aceleraciones:
\[a=a^{\prime}\left(1-U^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}\label{6.15}\]
que muestra que la aceleración de un objeto que se mueve rápidamente, a, como se observa desde el fotograma de reposo, es menor que su aceleración relativa a un marco de referencia inercial en el que el objeto está casi estacionario\(\mathrm{a}^{\prime}\),, por el factor\(\left(1-U^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}\). Llamamos a esta última aceleración la aceleración intrínseca. Esta diferencia en la aceleración observada entre los dos marcos de referencia inerciales es puramente el resultado de la geometría del espacio-tiempo, pero tiene consecuencias interesantes.
Identificando un con\(\mathrm{dU} / \mathrm{dt}\), podemos integrar la ecuación de aceleración asumiendo que la aceleración intrínseca\(\mathrm{a}^{\prime}\) es constante y que la velocidad\(U = 0\) en el tiempo\(t = 0\). Obtenemos el siguiente resultado (verificar esto diferenciando con respecto al tiempo):
\[a^{\prime} t=\frac{U}{\left(1-U^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\label{6.16}\]
que podrán resolverse para\(\mathrm{U} / \mathrm{c}\):
\[\frac{U}{c}=\frac{a^{\prime} t / c}{\left[1+\left(a^{\prime} t / c\right)^{2}\right]^{1 / 2}}\label{6.17}\]
Esto se traza en la figura 6.5. Clásicamente, la velocidad U alcanzaría la velocidad de la luz cuando\(a^{\prime} t / c=1\). Sin embargo, como muestra la figura 6.5, la velocidad a la que la velocidad aumenta con el tiempo se ralentiza a medida que el objeto se mueve más rápido, de tal manera que U se acerca\(c\) asintóticamente, pero nunca lo alcanza.
Los resultados de esta sección son válidos solo para componentes de aceleración en la dirección del movimiento. Los componentes perpendiculares a esta dirección se comportan de manera diferente y se tratan en textos más avanzados.