6.6: Cambio al rojo gravitacional

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 126013

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Figura 6.7: Diagrama espacio-tiempo para explicar el desplazamiento gravitacional al rojo. ¿Por qué el intervalo AC es igual al intervalo BC? L es la longitud del intervalo invariante OB.

La luz emitida a un nivel inferior en un campo gravitacional tiene su frecuencia reducida a medida que viaja a un nivel superior. A este fenómeno se le llama el desplazamiento al rojo gravitacional. La Figura 6.26 muestra por qué sucede esto. Dado que experimentar una fuerza gravitacional equivale a estar en un marco de referencia acelerado, podemos utilizar las herramientas de relatividad especial para ver el proceso de emisión y absorción de luz desde el punto de vista del marco no acelerado o inercial. En este marco de referencia el observador de la luz está acelerando hacia la derecha, como lo indica la línea curva del mundo en la figura 6.26, lo que equivale a una fuerza gravitacional hacia la izquierda. La luz es emitida en el punto A con frecuencia ω por una fuente que está estacionaria en este instante. En este instante el observador también se encuentra estacionario en este marco. Sin embargo, para cuando la luz llega al observador, él o ella tiene una velocidad a la derecha lo que significa que el observador mide una frecuencia desplazada Doppler ω′ para la luz. Dado que el observador se está alejando de la fuente, ω′ < ω, como se indicó anteriormente.

El desplazamiento Doppler relativista viene dado por

\[\frac{\omega^{\prime}}{\omega}=\left(\frac{1-U / c}{1+U / c}\right)^{1 / 2}\label{6.25}\]

por lo que tenemos que computar\(\mathrm{U} / \mathrm{c}\). La línea de simultaneidad para el observador en el punto B pasa por el origen, y es así dada por el segmento de línea OB en la figura 6.26. La pendiente de esta línea es\(\mathrm{U} / \mathrm{c}\), donde U es la velocidad del observador en el punto B. De la figura vemos que esta pendiente también viene dada por la relación\(\mathrm{X}^{\prime} / \mathrm{X}\). Equiparando estos, eliminando\(X\) a favor de\(\mathrm{L}=\left(\mathrm{X}^{2}-\mathrm{X}^{\prime 2}\right)^{1 / 2}=\mathrm{c}^{2} / \mathrm{g}\), que es la distancia invariante real del observador desde el origen, y sustituyendo en la ecuación (\ ref {6.25}) da como resultado nuestra fórmula gravitacional de desplazamiento al rojo:

\[\frac{\omega^{\prime}}{\omega}=\left(\frac{X-X^{\prime}}{X+X^{\prime}}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{\left(L^{2}+X^{\prime 2}\right)^{1 / 2}-X^{\prime}}{\left(L^{2}+X^{\prime 2}\right)^{1 / 2}+X^{\prime}}\right)^{1 / 2}\label{6.26}\]

Si X′ = 0, entonces no hay desplazamiento al rojo, porque la fuente se coloca con el observador. Por otro lado, si la fuente se encuentra en el origen, entonces X′ = X, la frecuencia desplazada Doppler es cero. Además, la luz nunca llega al observador, ya que la línea del mundo es asintótica a la línea del mundo de la luz que pasa por el origen. Si la fuente se encuentra en un nivel superior en el campo gravitacional que el observador, de manera que X′ < 0, entonces la frecuencia se desplaza a un valor mayor, es decir, se convierte en un “desplazamiento azul”.

La ecuación (\ ref {6.26}) funciona para geometrías más complejas que las asociadas con un marco de referencia acelerado, por ejemplo, para el campo gravitacional g asociado a una estrella, siempre y cuando\(\left|X^{\prime}\right|<c^{2} / g\). En este caso ya no\(L\) es la distancia al centro de la estrella sino que se mantiene igual a\(\mathrm{c}^{2} / \mathrm{g}\).