4.3: La Física del Movimiento de Aguas Subterráneas

Una vez que el agua superficial se infiltra por debajo de la superficie del suelo y continúa moviéndose hacia abajo por percolación, se ha convertido en agua subterránea. En este punto tenemos que lidiar con la física del movimiento de las aguas subterráneas. Esto viene bajo una rama de la dinámica de fluidos conocida como flujo a través de medios porosos. Las características esenciales del flujo a través de medios porosos son comunes con el flujo en tuberías y canales, (Capítulo 1), pero ciertos aspectos son distintivos del flujo de agua subterránea.

Diré algunas cosas sobre la naturaleza básica del movimiento del agua subterránea por medio de otro experimento gratificante en el hogar (Figura 4-6). Este es bastante sencillo de hacer y sería fácil y económico de instalar en poco tiempo en tu sótano o en tu patio trasero. Para este experimento necesitarás tener un recipiente grande, abierto en la parte superior, que retenga el agua sin demasiadas fugas. Podrías clavar algo de madera y hacerlo a prueba de fugas con una pistola de calafateo, o podrías pedir prestado o comprar un tambor de metal de 55 galones. Un gran barril de basura de plástico también sería bueno. Monte el cañón en un soporte sobre el piso o el suelo, y conecte una tubería horizontal a la pared del recipiente justo por encima del fondo. No se preocupe demasiado por el problema práctico de cómo unir la tubería al barril de una manera que sea a prueba de fugas o casi así. Pegue un trozo de apantallamiento de metal fino sobre la entrada de la tubería mientras sale del cañón. Desde el extremo aguas abajo de la tubería, rellene la tubería con algún material granular natural como el suelo de su jardín o la arena en su caja de arena. Cuando la tubería esté llena, conecte otra pieza de cribado de metal fino al extremo aguas abajo de la tubería.

Figura 4-6. Un experimento doméstico sobre el flujo de agua subterránea.

Pase su manguera de jardín en el recipiente hasta que el agua se desborde, y luego déjelo funcionando durante el experimento para asegurar un nivel constante de agua en el recipiente. Lo que se quiere hacer es medir la descarga (es decir, el caudal volumétrico) del agua a través del medio poroso y salir por el extremo aguas abajo de la tubería. Puede medir esto fácilmente usando una tina de captura en el extremo aguas abajo de la tubería y midiendo el volumen de agua atrapada en la tina de captura con una taza medidora y midiendo el tiempo de flujo con un cronómetro.

Piense ahora en la naturaleza del medio granular poroso en la tubería: consiste en una enorme cantidad de pequeñas partículas sólidas, de geometría más o menos irregular, cada una en contacto con algún pequeño número de partículas vecinas. Observe algún volumen unitario representativo del material poroso. Se compone de dos subvolúmenes diferentes (Figura 4-7): material granular sólido y espacios intersticiales vacíos, que podrían denominarse espacios vacíos o espacios porosos. Antes de comenzar el experimento, estos espacios porosos se llenan de aire. Una de las propiedades físicas importantes del medio poroso es la porosidad, definida como el volumen de espacios porosos dividido por el volumen volumétrico del material. Las arenas sueltas o gravas suelen tener porosidades de algo así como 20-30%, dependiendo principalmente de la distribución de tamaños del material: un material granular bien clasificado tiene una porosidad mayor, siendo iguales otras cosas, que un material granular mal clasificado.

Figura 4-7. Geometría de los espacios porosos en un medio granular poroso.

Lo que quiero que estudies en tu experimento es la descarga de agua a través de la tubería en función de la altura del agua en el recipiente. Se puede variar fácilmente la altura del agua en el cañón cortando agujeros en el costado del recipiente para que el exceso de agua salga del recipiente a diferentes niveles por encima de la entrada a la tubería.

Antes de discutir los resultados de este experimento, pensemos en la naturaleza del flujo a través del medio poroso en la tubería. No puedes observar fácilmente ese flujo, porque aunque hicieras la tubería de un material transparente como el vidrio o el plástico acrílico seguirías teniendo dificultades para observar los detalles del flujo entre los granos. Pero podrías imaginarte encogiéndote a un tamaño microscópico y haciendo un viaje submarino a través del medio poroso al derivar junto con el flujo.

El flujo a través del medio poroso es como el flujo a través de una gran cantidad de pequeñas tuberías de geometría muy irregular, ramificadas y reincorporadas, que se estrechan a medida que pasan alrededor de los granos y se ensanchan a medida que pasan entre los granos. Los lugares estrechos y constreñidos entre los granos se llaman gargantas porosas. Aunque los patrones de flujo son muy complicados en detalle, la naturaleza esencial del flujo no es muy diferente del flujo a través de una tubería; es solo que el “tubo” ahora es estrecho, tortuoso (con muchos giros y vueltas, es decir), y muy intrincado geométricamente.

Ahora surge la pregunta: ¿El flujo a través del medio poroso es laminar o turbulento? En el flujo laminar, el fluido se mueve a lo largo de trayectorias rectas regulares, sin mezclarse lateralmente. Cuando viertes un líquido rígido (es decir, muy viscoso) como el aceite o la pintura, estás observando el flujo laminar. El flujo de agua o aire a todas las velocidades menos lentas, sin embargo, es turbulento. Al poner pequeños trazadores flotantes en el flujo se puede observar cómo las trayectorias de flujo son sinuosas e irregulares. Una manera aún mejor de observar las turbulencias es observar el humo a medida que se eleva de una chimenea o chimenea: se pueden ver los remolinos irregulares, llamados remolinos turbulentos. Regrese al Capítulo 1 para obtener más detalles sobre el flujo laminar y turbulento.

Si un flujo de fluido es laminar o turbulento depende de cuatro factores: la velocidad del flujo, la profundidad o anchura del flujo, y la densidad y viscosidad del fluido que fluye. Cuanto más profundo y rápido sea el flujo, y cuanto mayor sea la densidad del fluido y menor sea la viscosidad del fluido, más probable es que el flujo sea turbulento. En el caso del flujo a través del medio poroso en la tubería, los pasajes son muy pequeños, y la velocidad del flujo es en casi todos los casos bastante pequeña, por lo que debe esperar que el flujo en medios porosos sea laminar en lugar de turbulento, excepto en situaciones inusuales donde los pasajes son muy grandes y las velocidades son muy grandes, como por ejemplo en gravas abiertas muy gruesas, o en ciertos tipos de flujos de basalto con grandes túneles o pasadizos conectados, o en túneles de solución en calizas (Figura 4-8).

Lo que impulsa el flujo a través de la tubería llena de arena es el gradiente de presión aguas abajo (es decir, la tasa de disminución de la presión del fluido con la distancia aguas abajo en la tubería). ¡Eso es lo mismo que hace que el agua fluya a través del sistema de tuberías de su hogar! Debe tener sentido para usted que la velocidad de flujo a través del medio poroso en la tubería dependa del gradiente de presión: cuanto mayor sea el gradiente de presión (la fuerza impulsora que causa el flujo), mayor será la velocidad del flujo. Pero debe esperar que otros dos factores también afecten la velocidad de flujo: el tamaño de las partículas sólidas del medio poroso y la viscosidad del fluido. El tamaño de partícula es importante porque las partículas más grandes significan más anchas las gargantas de los poros, y por lo tanto menos resistencia a la fricción al flujo, debido a que la fricción surge del contacto del fluido con superficies sólidas. (Regrese al Capítulo 2 y revise cómo aumenta la relación entre el área superficial y el volumen al disminuir el tamaño de partícula). La viscosidad del fluido es una medida de la resistencia del fluido a una fuerza deformante: cuanto mayor es la viscosidad, más difícil es hacer que el fluido fluya, como todos ustedes saben al tratar de hacer que la miel fluya fuera de la botella, en comparación con el agua.

Tema Avanzado: Análisis Matemático del Flujo a Través de Un Medio Poroso

Debe tener sentido para usted que debe haber alguna relación matemática entre las diversas cantidades físicas involucradas en el flujo descrito en los párrafos anteriores: la velocidad promedio del flujo V en la tubería, el gradiente de presión G, que impulsa el flujo a través de la tubería, el tamaño de grano D de las partículas que constituyen el medio poroso, y la viscosidad μ del fluido que fluye a través del medio poroso. Siempre que el flujo sea suficientemente lento, las aceleraciones del fluido a medida que fluye a través de los pequeños pasajes son muy pequeñas, por lo que podemos descuidar las propiedades inerciales del flujo tal como se materializan en la densidad ρ. Entonces alguna función de V, G, D y μ tiene que ser igual a una constante:

\[f (V, G, D, μ) = const_1 \label{2}\]

Debido a que el lado derecho de la Ecuación\ ref {2} es un número constante y no tiene dimensiones físicas, la variable o variables involucradas en el lado izquierdo de la ecuación tienen que ser adimensionales también. Puedes demostrar fácilmente por ti mismo que las dimensiones de masa, longitud y tiempo de la cantidad GD ²/V μ se cancelan, por lo que es una cantidad adimensional. Entonces la relación funcional tiene que verse así:

\[\frac{G D^{2}}{V \mu}=\text { const }_{1} \label{3}\]

Puede reorganizar fácilmente la Ecuación\ ref {3} para mostrar que la velocidad\(V\) de flujo a través del medio poroso está linealmente relacionada con la cantidad GD ² /μ:

\[V=\text { const }_{2} \cdot \frac{G D^{2}}{\mu} \label{4}\]

(donde const ₂ es solo la inversa de const ₁). El valor de const ₁ (o const ₂) depende de la forma y empaque de las partículas en la tubería.

Si ahora realizaras una serie de corridas con diferentes niveles de agua en tu tanque de suministro, obtendrías una gráfica de los resultados que se parece a la Figura 4-9: verías una relación lineal entre la velocidad V y la cantidad GD 2/μ. (Cómo se mide G y V, podrías estar pensando. Bueno, G es solo la diferencia entre la presión en el extremo aguas arriba de la tubería, que por la ecuación hidrostática es solo ρ gh, donde h es la altura de la entrada de la tubería debajo de la superficie del agua, y la presión en el extremo aguas abajo de la tubería, que es la misma que la presión atmosférica, dividida por la longitud de la tubería. Y V es igual a la descarga dividida por el área de sección transversal de la tubería.) Experimentos como este se han hecho muchas veces, y demuestran que existe una función como esta para todos los medios porosos. Pero debe esperar que el valor de la constante sea diferente para diferentes medios porosos, debido a las diferencias en la forma de las partículas y la geometría del empaque.

Figura 4-9. Gráfica de velocidad de flujo V contra GD ^₂ /μ para flujo a través de un medio poroso.

4. Por cierto, el hecho de que efectivamente encuentres una relación lineal en tu experimento te muestra que estábamos en lo cierto en nuestra suposición de que el flujo en el medio poroso es laminar y que, por lo tanto, se puede descuidar la densidad.

5. Los resultados del experimento de barril son una manifestación de una ley bien conocida en el flujo de medios porosos llamada ley de Darcy. La ley de Darcy establece que la velocidad de flujo a través de un medio poroso es directamente proporcional al gradiente de presión a través de ese medio, y directamente proporcional al cuadrado del tamaño característico de los espacios de poro del medio, e inversamente proporcional a la viscosidad del medio.

Lo que se suele hacer con la Ecuación 4 es absorber el D ² en la constante:

La constante const ₃ depende de la distribución del tamaño del medio poroso, así como de la forma de la partícula y empaque. Se llama permeabilidad intrínseca del medio poroso, y generalmente se denota con k pequeño. (Es engañoso llamar a esta cantidad una constante. ¡Es constante solo para el medio poroso particular que usamos en nuestro experimento casero! Cada medio poroso tiene su propio valor de permeabilidad intrínseca).

6. Un masaje final de la relación que comenzó como la Ecuación 3 conduce a otra medida de permeabilidad, llamada la conductividad hidráulica, que se usa más comúnmente para tratar específicamente el flujo de agua subterránea. Hay que hacer uso del concepto de cabezal hidráulico, que es el nivel al que se elevaría una columna de agua si se insertara una pequeña columna de prueba en cualquier parte del sistema de flujo (Figura 4-10). Esta altura h está relacionada con la presión p en el líquido por la ecuación hidrostática,

donde γ es el peso por unidad de volumen del líquido. Recuerde que el gradiente de presión G en la Ecuación 3 debería escribirse realmente Δ p /Δ x, donde x es la dirección hacia abajo de la tubería. La sustitución de la expresión para p en la Ecuación 6 en Δ h /Δ x da γ Δ h /Δ x, y sustituyendo esta cantidad resultante en la Ecuación 5 da

donde const ₃ (γ/μ) es la conductividad hidráulica. La conductividad hidráulica generalmente se denota con K mayúscula. Puedes ver fácilmente por ti mismo que las dimensiones de K son velocidad, porque Δ h /Δ x es una relación de variables de longitud, y por lo tanto adimensionales; los valores de K se citan comúnmente en metros por día.

Figura 2-10. Croquis que muestra el cabezal hidráulico en flujo a través de una tubería empaquetada con material poroso.

Lo que encontrarías, cuando ejecutas el experimento de barril, es que la velocidad de flujo es directamente proporcional al gradiente de presión, y directamente proporcional al tamaño de las partículas del medio poroso, e inversamente proporcional a la viscosidad del medio. Este resultado es una manifestación de una ley bien conocida en el flujo de medios porosos llamada ley de Darcy. Consulta el “tema avanzado” anterior para más detalles, si te interesa.

La forma en que la velocidad de flujo depende del gradiente de presión, el tamaño de partícula y la viscosidad del fluido de esta manera es un reflejo de una propiedad física del medio que se conoce como la permeabilidad del medio. En un sentido cualitativo, la permeabilidad es una medida de lo fácil que es forzar el fluido a través del medio poroso imponiendo un gradiente de presión. La permeabilidad está relacionada con la porosidad (la permeabilidad no puede ser muy alta a menos que haya porosidad sustancial), pero no es lo mismo que la porosidad. De hecho, es posible que el medio tenga una alta porosidad pero una baja permeabilidad, si los espacios de poro no están suficientemente bien conectados; de ahí el concepto de porosidad conectada. La permeabilidad del medio es de gran importancia para los estudios de aguas subterráneas, y también es muy importante en la industria petrolera: no se puede bombear petróleo y gas fuera de roca sedimentaria profunda a menos que tanto la porosidad como la permeabilidad sean suficientemente grandes.

El experimento doméstico sobre el flujo a través de un medio poroso es realista en todos los aspectos, pero uno importante: la dirección del flujo está restringida a ser recta por la tubería. Eso no es necesariamente relevante para fluir dentro de un gran volumen de medio poroso, como en el subsuelo de la Tierra. La pregunta crítica aquí es: ¿Qué determina la dirección particular del flujo de agua subterránea dentro de un gran volumen de un medio poroso? No puedo perseguir esa cuestión con ningún detalle aquí, porque depende de manera compleja de la dinámica del flujo de agua. Habrá un poco más sobre este asunto más adelante en el capítulo. Si desea obtener más información sobre los patrones de flujo, busque en el siguiente “tema avanzado”.

Tema Avanzado: Qué Controla el Patrón de Flujo de un Fluido

1. Piense en la presión del agua en algún tanque grande como el tanque de suministro para su experimento doméstico cuando el agua no se mueve. Piense en un área pequeña de la unidad en el fondo del tanque. La presión del agua en el fondo del tanque es igual al peso por unidad de área del agua en la columna que recubre esa pequeña unidad de área, multiplicada por la altura de la columna de agua por encima de esa área unitaria. Si el peso del agua por unidad de volumen es γ y la profundidad hasta el fondo del tanque es h, entonces la presión p en el fondo del tanque es solo γ h. Y por extensión de ese argumento, la presión del agua a cualquier profundidad h dentro del tanque también es igual a γ veces esa profundidad h. Esta presión de agua en agua sin gas se llama presión hidrostática.

2. La presión hidrostática dentro del agua sin gas en el tanque es una manifestación de un equilibrio entre el peso del agua que recubre un punto dado, que actúa verticalmente hacia abajo, y el gradiente de presión en ese punto, que actúa verticalmente hacia arriba. Entonces, aunque hay un gradiente de presión en el tanque, el agua no se mueve, porque ese gradiente de presión está compensado por una fuerza igual y opuesta, es decir, el peso del agua.

3. Ahora suponga que tomaste tu picahielo (¿alguien todavía tiene un picahielos?) y hizo un agujero en el costado del tanque de suministro. El agua saldría por el agujero. En el interior del tanque en las inmediaciones del agujero el agua está ahora en movimiento hacia el agujero. Lo que has hecho es imponer una baja presión (es decir, la presión atmosférica) sobre el agua en el agujero, igual que en la superficie superior del agua en el tanque. Al hacerlo, ha interrumpido la distribución previamente hidrostática de la presión cerca del futuro orificio y ha causado gradientes de presión no hidrostáticos en el agua cerca del orificio, es decir, gradientes de presión que ya no están equilibrados por el peso del agua. ¡Esa es la razón mecánica por la que el agua fluye desde el tanque!

4. La distribución exacta de la presión en las proximidades del agujero y los patrones resultantes de movimiento del agua son demasiado complicados para que podamos tratar aquí, pero este ejemplo sugiere que la dirección del movimiento del agua en cualquier punto es en la dirección en la que la diferencia entre la presión total y la presión hidrostática (una cantidad llamada presión dinámica) disminuye más rápidamente. Son las diferencias en esta presión dinámica las que hacen que el fluido en cualquier situación se mueva. Por lo que puede estar seguro de que, siempre que se trate de flujo de agua subterránea, el flujo siempre estará en la dirección de la disminución más rápida de la presión dinámica. La Figura 4-11 muestra cualitativamente las distribuciones de la presión total, la presión hidrostática y la presión dinámica en el tanque una vez que ha perforado el agujero y el agua fluye hacia afuera. Observe cómo las líneas de flujo están en todas partes normales a los contornos de la presión dinámica.

Figura 4-11. Distribuciones de presión hidrostática, presión dinámica y presión total en el flujo de salida a través de un pequeño agujero en la pared de un barril (cualitativa).

5. Por supuesto, las razones de la distribución de la presión dinámica siempre son muy complicadas, y realmente más allá del alcance de este curso. La predicción de la distribución espacial de la presión dinámica, y por tanto el patrón espacial y las velocidades de movimiento del agua en el medio poroso, son uno de los temas principales en el estudio de la hidráulica de aguas subterráneas. No estoy haciendo nada más que darte el sabor más puro de este empeño.

No sé qué le dice su intuición sobre las velocidades representativas de flujo en su experimento doméstico en función de la naturaleza del medio poroso, pero la Tabla 4-1 da algunos valores representativos para diversos tipos comunes de medios porosos dentro de la Tierra. Los valores van enormemente desde grava gruesa, en la que las velocidades son del orden de centímetros por segundo, hasta roca sólida (que en realidad es porosa debido a pequeños espacios en los límites de grano y otras fracturas diversas de roca), en las que las velocidades son del orden de milésima de milímetro por segundo. En el Cuadro 1 también se dan los correspondientes valores de conductividad hidráulica K, discutidos en el siguiente párrafo.

Cuadro 4-1. Valores representativos de conductividad hidráulica K para diversos tipos de medios porosos.

En la Figura 4-12 se muestra una aplicación práctica de los principios que tratamos a partir del experimento del hogar. Hay una superficie de tierra inclinada en la que el lecho rocoso más profundo está cubierto por una capa bastante uniforme pero quizás bastante gruesa de material suelto y mucho más permeable. En lo alto de la ladera hay una fuente de contaminantes, y más abajo de la pendiente, diez metros digamos, es tu hogar o lugar de verano, donde podrías tener un pozo de agua. El flujo de agua subterránea desciende directamente por la pendiente a través de la capa superficial porosa a cierta velocidad que depende de la permeabilidad intrínseca del medio poroso. Si conoces la pendiente del suelo y la permeabilidad intrínseca del material, puedes calcular el tiempo de viaje de un trazador contaminante desde el punto de entrada hasta el pozo de agua debajo de tu casa. Asumir por el bien de la discusión que la pendiente del terreno es de uno de cada diez. El gradiente en la cabeza hidráulica, Δ h /Δ x, dentro del medio poroso es entonces 0.1. Usando la Ecuación 7 encontramos que V, la velocidad característica del agua subterránea, es de 0.1 K. Utilizando los valores representativos para K dados en el Cuadro 4-1 se pueden obtener tiempos de viaje para diversos tipos de medio poroso (Cuadro 4-2). Se puede ver que dependiendo de la permeabilidad del medio el periodo de gracia entre el momento de introducción del contaminante y el tiempo en que contamina tu pozo de agua varía enormemente.

Figura 4-12. Un experimento de trazador en el flujo de agua subterránea.

Cuadro 4-2. Tiempos de recorrido de diez metros para los mismos tipos de medios porosos que en la Tabla 4-1.

Un experimento casero sobre el flujo de agua subterránea

Ahora es el momento de hacer un experimento más realista y ambicioso sobre el flujo de agua subterránea (Figura 4-13). Para ello necesitarás construir un tanque cuadrado poco profundo muy grande en tu patio trasero o usar una habitación libre completa en tu hogar. Si decides usar la habitación libre, es mejor que apuntes al piso con algunas maderas grandes, porque de lo contrario es probable que colapse.

Figura 4-13. Otro experimento casero sobre el flujo de agua subterránea.

Forre el tanque o la habitación con una gran lona nueva de polietileno metida cuidadosamente en las esquinas, y llene el espacio con algo así como un metro de arena. Acelera la capa de arena para que tenga profundidad máxima en un lado y profundidad cero en el otro lado, y a lo largo de ese último lado proporcione un drenaje o una bomba de sumidero en una esquina. Coloque varios agujeros de prueba o pozos a través del espacio y forre los orificios con cilindros de ventana para que la arena no caiga en los agujeros. Ahora conecte la manguera al fregadero de su cocina y rocíe la superficie de arena para simular una breve y fuerte tormenta.

Aquí tienes un resumen de los resultados que obtendrías:

• Habrá agua en el desagüe, y fluirá mucho después de que se detenga la lluvia.
• Habrá agua en todos los agujeros de prueba.
• El perfil que conecta el nivel del agua en los agujeros de prueba mostrará el mismo sentido de pendiente que la superficie de la arena; esto define el nivel freático. El nivel freático, también llamado el nivel freático, es el lugar de los puntos donde la presión del agua es igual a la presión atmosférica. Es la parte superior de la zona permanentemente saturada.
• La pendiente del nivel freático es menor que la pendiente de la superficie arenosa, y disminuye con el tiempo (ver la parte más baja de la Figura 4-13).
• El movimiento del agua subterránea es en dirección descendente, hacia el desagüe. Se puede decir esto inyectando colorante alimentario en el hoyo de prueba superior y viéndolo aparecer en agujeros sucesivos y finalmente en la superficie, en el desagüe.
• Si la lluvia es demasiado pesada habrá alguna escorrentía superficial hasta el desagüe, pero incluso en este caso la mayor parte del agua se infiltrará y pasará a formar parte del flujo de agua subterránea.

Se trata de un experimento muy realista en el flujo de agua subterránea. Los únicos problemas con ello son estos:

• La escala es demasiado pequeña, y las cosas pasan demasiado rápido.
• El material es uniforme y tiene un piso fijo y permeable. En la vida real suele haber una disminución gradual tanto de la porosidad como de la permeabilidad, aunque en las zonas glaciadas la estructura del subsuelo suele ser la misma que en este experimento.