10.1: Matemáticas

Si bien el estudio de la gemología no requiere una formación previa formal, un diploma de secundaria facilitaría la comprensión de las matemáticas básicas. El conocimiento de la trigonometría especialmente podría servirte bien.

A continuación se presentan algunos cálculos básicos que tal vez desee comprender.

Multiplicación cruzada

Algunas personas tienen problemas con las multiplicaciones cruzadas, mientras que es bastante fácil si se tiene en cuenta una ecuación simple.

\[5 = \frac{10}{2}\]

que es lo mismo que\[\frac{5}{1} = \frac{10}{2}\] porque 5 dividido por 1 = 5.

Digamos que quieres llevar el 10 a la izquierda de la ecuación. Obviamente 10 = 5 veces 2, así que cruzas multiplicas.

\[\frac{5}{1}\swarrow \frac{10}{2}\]multiplicamos 10 por 1 para llevarlo al lado izquierdo y:

\[\frac{5}{1}\searrow \frac{10}{2}\]multiplicamos 5 por 2, así obtenemos:\(10 * 1 = 5 * 2\) o\(10 = 5 * 2\)

Esto probablemente tendría más sentido en la siguiente ecuación:

\[\frac{6}{3}=\frac{4}{2}\]

Si te cruzaras, obtendrías\(4*3 = 12\) y\(6*2 = 12\), entonces\(12 = 12\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

Podemos hacerlo más fácil con la ayuda de un diagrama simple. En Figura\(\PageIndex{1}\), se ve un triángulo con la ecuación\(10 = 5 * 2\) (el "\(*\)" se deja fuera). Las barras horizontales dobles sirven como el signo\(=\) "" O como el signo\(/\) "" (división).
Con este sencillo diagrama en mente, puedes resolver la mayoría de las multiplicaciones cruzadas simples.

Cómo leer el triángulo:

• Empiezas en un número y luego vas al siguiente y luego al 3er
• Trabajas tu camino primero, luego abajo

Ejemplos:

• Digamos que empiezas a las 2
• Entonces subes y ves la señal\(=\) "”. Ahora tienes "\(2=\)”
• Entonces te mueves más allá, te encuentras con los 10, así que tienes "\(2=10\)”
• No puedes ir más arriba, así que debes bajar. Vuelves a encontrar las dobles líneas, pero no pueden ser un segundo "\(=\)“, así que sirven como división. Ahora tienes "\(2=10/\)”
• Se va más abajo y se ve el 5, que hace "\(2=10/5\)”

Funciona igual cuando comienzas con 5.

Ahora comencemos con 10:

• Empiezas con 10, entonces "\(10\)”
• No puedes ir más arriba, así que debes bajar. Te encuentras con las dobles líneas. Como son la primera vez que los ves, son los "\(=\)“, ahora tienes"\(10=\)”
• Entonces te encuentras con los 5 (o los 2 dependiendo si vas en sentido horario o antihorario), haciendo "\(10=5\)”
• No se puede ir más abajo, así que debe ir de lado. Se ve el 2, haciendo que el aspecto extraño "\(10=52\)”. Este es en realidad un buen estilo matemático pero es confuso, por lo que necesitamos colocar un "\(*\)" "entre ellos. El resultado es "\(10=5x2\)“, en el que estaría de acuerdo cualquier niño de preparatoria.

Esto por supuesto no es muy divertido porque se dan todas las respuestas. Pero este simple conocimiento es básico cuando se quiere resolver una ecuación como:

\[2.417 = \frac{300}{x}\]

Simplemente reemplace\(10=5*2\) "" por los números y el desconocido "\(x\)" de la nueva ecuación en el triángulo. (Pista: el "\(x\)" toma el lugar del "\(2\)“)

Pruébalo y mira si puedes calcular la velocidad de la luz dentro de un diamante con la ecuación anterior (el 300 es corto para 300,000 km/s, que es la velocidad de la luz en un vacío).

Si todo lo demás falla, ten\(5 = \frac{10}{2}\) en cuenta y sustituya los números por las incógnitas en la ecuación que necesitas resolver.

Seno, coseno y tangente

Figura\(\PageIndex{2}\)

El seno, el coseno y la tangente se utilizan para calcular los ángulos.

En la Figura\(\PageIndex{2}\), los 3 lados de un triángulo rectángulo (visto desde la esquina A) están etiquetados Lado adyacente, Lado opuesto e Hipotenusa. La hipotenusa es siempre el lado inclinado (y más largo) en un triángulo rectángulo.

Los lados opuestos y adyacentes son relativos a la esquina A. Si A estuviera en la otra esquina aguda, estarían invertidos.

Sine

Figura\(\PageIndex{3}\)

El seno generalmente se abrevia como pecado.

Se puede calcular el seno de una esquina en un triángulo rectángulo dividiendo el lado opuesto por la hipotenusa. Para ello necesitas conocer dos valores:

1. el valor del lado opuesto

2. el valor de la hipotenusa.

En la Figura\(\PageIndex{3}\) esos valores son 3 y 5, el seno de A o mejor sin (A) es 3/5 = 0.6

\[\sin = \frac{opposite\ side}{hypotenuse} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ahora que tienes el seno de la esquina A, te gustaría saber el ángulo de esa esquina.
El ángulo de la esquina A es el “seno inverso” (denotado como sin ^-1 o arcsin) del seno y se realiza mediante cálculo complejo. Por suerte tenemos calculadoras electrónicas para hacer el trabajo sucio por nosotros:

• escriba en 0.6
• presione el botón “INV”
• presione el botón “sin”

Esto debería darte aproximadamente 36.87, por lo que el ángulo de la esquina A es 36.87°

\[\arcsin \left(\sin A\right) = \arcsin \left(0.6\right) = 36.87\]

Cuando conoces el ángulo que forma una esquina, digamos 30°, puedes calcular el seno de la siguiente manera:

• escriba en 30
• prensa sin

Eso te debería dar 0.5

Uso práctico

Si conoces los ángulos de incidencia y refracción en una piedra preciosa, puedes calcular el índice de refracción de esa gema. O hacer otras cosas divertidas como:

\[index\ of\ refraction = \frac{sin\ i}{sin\ r}\]

El diamante tiene un índice de refracción de 2.417, por lo que si el ángulo de incidencia es de 30°, el ángulo de refracción se puede calcular como:

\[\sin r = \frac{\sin i}{n} = \frac{\sin 30}{2.417} = \frac{0.5}{2.417} = 0.207\]

así que usando el seno inverso:

\[\arcsin \left(\sin r \right) = \arcsin \left(0.207 \right) = 11.947 \Rightarrow angle\ of\ refraction = 11.947^\circ\]

No todo es ciencia espacial. Lee la página sobre refracción si no sabes qué se entiende por ángulo de incidencia y ángulo de refracción.

Cálculo del ángulo crítico

Calcular el ángulo crítico de una piedra preciosa es bastante fácil aunque la fórmula podría asustarte.

\[critical\ angle = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)\]

Donde n es el índice de refracción de la piedra preciosa.

La fórmula real es\(\arcsin(n_2 / n_1)\), pero como a nosotros los gemólogos generalmente solo nos preocupamos por el ángulo crítico entre el aire y la gema, n2 = 1.

El cálculo de esta fórmula es fácil, usaremos cuarzo con n = 1.54 como ejemplo.
Cuando uses una calculadora de Windows, asegúrate de estar en modo científico. Luego presione los siguientes botones:

• 1
• /
• 1.54
• =

Después marca la casilla de verificación “inv” y presiona el botón “sin”. Eso debería darle un valor aproximado de 40.493, por lo que el ángulo crítico para el cuarzo es de 40.5° (redondeado a un decimal).

Coseno

El coseno de una esquina en un triángulo rectángulo es similar al seno, sin embargo ahora el cálculo se realiza con la división del lado adyacente por la hipotenusa. El coseno se abrevia como “cos”

En la Figura\(\PageIndex{3}\), eso sería 4 dividido por 5 = 0.8

\[\cos = \frac{adjacent\ side}{hypotenuse} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Nuevamente como con el seno, la inversa del coseno son los arccos o cos ^-1:

• escriba en 0.8
• prensa INV
• prensa cos

Esto también debería darte 36.87, por lo que el ángulo permanece 36.87° (como se esperaba).

\[\arccos \left(\cos A\right) = \arccos \left(0.8\right) = 36.87\]

Tangente

La tercera forma de calcular un ángulo es a través de la tangente (o acortada a “bronceado”). La tangente de un ángulo es lado opuesto dividido por lado adyacente.

\[\tan = \frac{opposite\ side}{adjacent\ side}\]

Para la Figura\(\PageIndex{3}\), eso será 3/4 = 0.75 El
cálculo del ángulo es el anterior, pero usando el arctan o tan ^-1:

• escriba en 0.75
• prensa INV
• prensa de bronceado

Esto debería darte 36.87, por lo que a través de este método de cálculo el ángulo de la esquina A vuelve a ser 36.87°.

\[\arctan \left(\tan A\right) = \arctan \left(0.75\right) = 36.87\]

Un puente sencillo para recordar qué lados necesitas en los cálculos es el puente SOH-CAH-TOA.

• SOH = Sino-Opuesto-Hipotenusa
• CAH = cosino-adyacente-hipotenusa
• TOA = Tangente-Opuesto-Adyacente

Grados, minutos y segundos

Cuando pensamos en grados usualmente lo asociamos con temperatura y consideramos minutos y segundos como atributos de tiempo. Sin embargo, en la trigonometría, se utilizan para describir ángulos de un círculo y nos referimos a ellos como los valores de radianes.

Un círculo completo tiene 360 grados, o 360°.
Cada grado se puede dividir en 60 minutos (como en un reloj) en lugar de las 10 subdivisiones decimales.
Los minutos se anotan con un ', como en 26'.
Los minutos individuales se dividen además en 60 segundos y se describen con “, como en 23".

Esto puede parecer extraño al principio, pero no es muy difícil de entender.

Si tienes un ángulo de 24°26'23" (24 grados, 26 minutos y 23 segundos), esto significa que el valor decimal es:

• 24°
• 26 dividido por 60 o 26/60 = 0.433°
• 23/ (60 * 60) o 23/3600 = 0.0063°

Esto suma como 24 + 0.433 + 0.0063 = 24.439° en el valor decimal (que es el valor decimal del ángulo crítico del diamante).

Cuando desee calcular el valor de radián de 24.439°, haga lo siguiente:

• las 24 estancias 24 (porque eso no cambia)
• intenta encontrar cuántas veces 0.439 veces 60 encaja en el grado por: 60 veces 0.439 = 26.34, así que es 26 minutos completos (0.34 sobrantes)
• calculas los segundos a través de 60 veces 0.34 = 20.4 (o 20 segundos completos porque no contamos menos que segundos).

Esto da 24°26'20" (24° + 26' + 20") en lugar del 24°26'23". La diferencia de 3 segundos es causada por el redondeo a 3 decimales en el cálculo anterior. En gemología, usualmente ni siquiera mencionamos los segundos, por lo que se redondeará a ≈ 24°26'.

Aunque es posible que no necesite este conocimiento a menudo, es importante que al menos conozca su existencia ya que puede confundirse al leer artículos. A veces los valores se dan en grados decimales, otras veces en valores de radián.

Enlaces externos

• Introducción a las matemáticas
• Definición sinusoidal con demostración de Java
• Definición de coseno con demostración de Java
• Definición tangente con demostración de Java