1.2: ¡No vas a creer lo que puedes hacer con las matemáticas!

Te han dicho muchas veces que la meteorología es un campo intensivo en matemáticas. Lo es. Pero para este curso, ya sabes mucho de las matemáticas, y lo que no has visto, lo verás en el cálculo vectorial. Para prepararte para la meteorología y la ciencia atmosférica en este curso, necesitarás refrescar tu capacidad para resolver problemas matemáticos simples, incluyendo la resolución de problemas simples en cálculo diferencial e integral. Al mismo tiempo, le recordaremos la importancia de especificar correctamente cifras y unidades significativas en sus respuestas a los problemas. El objetivo de esta primera lección es aumentar tu confianza en las matemáticas que ya conoces.

¿Cuántas cifras debería haber en mi respuesta?

Supongamos que se le pide resolver el siguiente problema de palabras:

En el bucle radar, una línea de squall se orienta en dirección norte-sur y se dirige hacia el noreste a 57 km hr ^-1. En el último marco del bucle, la línea está a 17 km al oeste del campus Penn State. Estás fuera corriendo y sabes que puedes regresar a tu departamento en 25 minutos. ¿Volverás a tu departamento antes de empaparte?

Usted razona que la línea se mueve hacia el noreste, y así, en un ángulo de 45 ^o relativo al este. Por lo tanto, el movimiento hacia el este de la línea de la tormenta es solo la velocidad multiplicada por el coseno de 45 ^o. Eso te da la velocidad hacia el este. Decides dividir la distancia por la velocidad hacia el este para obtener la cantidad de tiempo antes de que la línea llegue al campus. Enchufa los números a tu calculadora y obtienes el siguiente resultado:

\[\begin{align*} \text{time} &= \dfrac{17\, \mathrm{km}}{(57\, \mathrm{km} / \mathrm{h}) \cdot \cos \left(45^{\circ}\right)} \\[4pt] &=0.42178\, \text{hours} \\[4pt] &=25.3070\, \text{minutes} \end{align*}\]

Según tu cálculo, lo harás de vuelta con 0.3 minutos (18 segundos) de sobra. Pero, ¿realmente puedes estar seguro de que la línea de socavas golpeará en 25.3070 minutos? A lo mejor deberías averiguar cuántas cifras significativas tiene realmente tu respuesta. Para hacer eso, debes recordar las reglas:

Reglas de cifras significativas

1. Los números distintos de cero (1,2,3,4,5,6,7,8,9) son SIEMPRE significativos.
2. Los ceros SIEMPRE son significativos:
   1. entre números distintos de cero
   2. SIMULTANEAMENTE a la derecha del punto decimal Y al final del número
   3. a la izquierda de un punto decimal escrito y parte de un número ≥ 10
3. En un cálculo que implique multiplicación o división, multiplique los números como los veas. Entonces la respuesta debería tener el mismo número de cifras significativas que el número con menos cifras significativas.
4. En un cálculo que implica suma y resta, el número de cifras significativas en la respuesta depende del número de cifras significativas a la derecha del punto decimal cuando todos los números sumados o restados se ponen en términos de la misma potencia de diez. Sumar o restar todos los números. La respuesta tiene el mismo número de cifras significativas que el número con el menor número de cifras significativas a la derecha del punto decimal.
5. El número de figuras significativas no cambia por funciones trigonométricas, logaritmos, exponenciación y otras funciones relacionadas.
6. Los números exactos nunca limitan el número de cifras significativas en el resultado de un cálculo y por lo tanto se puede considerar que tienen un número infinito de cifras significativas. Ejemplos comunes de números exactos son números enteros y factores de conversión. Por ejemplo, hay exactamente 4 lados a un cuadrado y exactamente 1000 m en un km.
7. Para los cálculos de varios pasos, cualquier resultado intermedio debe mantener al menos una cifra significativa adicional para evitar errores de redondeo. Las calculadoras y las hojas de cálculo normalmente mantendrán automáticamente estas cifras extra significativas.
8. Al redondear, los números que terminan con el último dígito > 5 se redondean hacia arriba; los números que terminan con el último dígito < 5 se redondean hacia abajo; los números que terminan en 5 se redondean hacia arriba si el dígito anterior es impar y hacia abajo si es

Ejemplos

Número (s)	Contestar	Número de cifras significativas	Razón
25+.3	25	2	25 tiene solo 2 cifras significativas
25·0.325·0.3	8	1	25·0.3=7.525·0.3=7.5, redondo a 8 porque 0.3 tiene solo 1 cifra significativa
\(1.5\left(10^{3}\right)+3.24\left(10^{2}\right)\)	1.8\(\left(10^{3}\right)\)	2	\(1.5\left(10^{3}\right)+0.324\left(10^{3}\right)=1.824\left(10^{3}\right)\), luego baja 2 para obtener 1.8\(\left(10^{3}\right)\)
\(1.5\left(10^{3}\right)+3.86\left(10^{2}\right)\)	1.9\(\left(10^{3}\right)\)	2	\(1.5\left(10^{3}\right)+3.86\left(10^{2}\right)=1.886\left(10^{3}\right)\), redondear y luego bajar 2 para obtener 1.9\(\left(10^{3}\right)\)
\(\frac{(57.3+6.41)}{15.6}\)	4.08	3	\(\frac{63.71}{15.6}=4.0840,\)recortar a 3 significativos, cifras para obtener 4.08
200 (3.142)	600	1	200. tiene 3 cifras significativas; 200 (sin punto decimal) tiene 1 pero es ambiguo
152\(\left(e^{-.52}\right)\)	90	2	número en exponente tiene solo 2 cifras significativas

¡Mira este video (11:23): Conversiones unitarias y cifras significativas para una breve explicación (1 minuto) de esas reglas! Empieza a ver a las 9:14 para obtener la información más relevante.

Conversiones unitarias y cifras significativas

Haga clic en Respuesta para obtener la transcripción del video Cifras Significativas.

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Ahora a la magia de averiguar cuántos higos sig debería tener tu respuesta. Hay dos reglas simples para esto. Si es suma o resta es solo el número de cifras después del punto decimal lo que importa. El número con la menor cantidad de cifras después del punto decimal decide cuántas cifras puede tener después del decimal en su respuesta. Entonces 1,495.2+1.9903 tú haces las matemáticas. Primero se obtiene 1,497.1903 y luego se redondea al primer decimal, porque ese primer número sólo tenía una cifra después del decimal. Entonces obtienes 1,497.2. Y para multiplicar, solo asegúrate de que la respuesta tenga los mismos higos sig que tu medición menos precisa. Entonces 60 x 5.0839 = 305.034, pero solo conocemos dos higos sig así que todo después de esos dos primeros números son ceros: 300. Por supuesto entonces tendríamos que señalar a todos que el segundo cero pero no el tercero es significativo así que lo escribiríamos con notación científica: 3.0 * 10^2. ¡Porque la ciencia! Ahora sé que se siente contrario a la intuición no mostrar todos los números que tienes a tu alcance, pero tienes que darte cuenta: ¿todos esos números más allá del número de higos sig que tienes? Son mentiras. Son grandes números mentirosos. No conoces esos números. Y si los anotas la gente asumirá que sí conoces esos números. Y les habrás mentido. Y ¿sabes qué hacemos con los mentirosos en química? ¡Los matamos! Gracias por ver este episodio de Crash Course Chemistry. Hoy aprendiste algunas claves para entender las matemáticas de la química, y quieres recordar este episodio en caso de que te atrapen más adelante en el camino: Cómo convertir entre unidades es una habilidad que usarás incluso cuando no estés haciendo química. La notación científica siempre te hará parecer que sabes de lo que estás hablando. Poder castigar a la gente por usar el número incorrecto de dígitos significativos es básicamente el equivalente matemático de ser un nazi gramatical. Así que disfruta de estos nuevos poderes que te he otorgado, y te veremos la próxima vez. Crash Course Chemistry fue filmado, editado y dirigido por Nick Jenkins. Este episodio fue escrito por mí, Michael Aranda es nuestro diseñador de sonido, y nuestro equipo gráfico es Thought Bubble. Si tienes alguna duda, comentario o idea para nosotros, siempre estamos abajo en los comentarios. Gracias por ver Crash Course Chemistry.

Crédito: Crash Course

 

¿Cuáles son los tipos típicos de variables?

Hay dos tipos de variables: escalares y vectores. Los escalares son solo de cantidad; los vectores también tienen dirección.

Dimensiones y unidades son tus amigos.

La mayoría de las variables tienen dimensiones. Los utilizados en meteorología son:

• L, largo
• T, tiempo
• θ, temperatura
• M, masa
• I, corriente eléctrica

Algunas constantes como no\(π\) tienen unidades, pero la mayoría sí.

Los números asociados a la mayoría de las variables tienen unidades. El sistema de unidades que usaremos es el Sistema Internacional (SI, del francés Système International), también conocido como el sistema MKS (metros-kilogramo-segundo), a pesar de que en algunas partes de la meteorología se utilizan unidades inglesas.

Utilizaremos las siguientes conversiones de temperatura:

\(K = ^{o} C + 273.15\)

\(\left(\frac{5}{9}\right)\left(^{o} F-32\right)=^{o} C\)

Utilizaremos las siguientes variables frecuentemente. Anote las dimensiones de las variables y las unidades MKS que van con sus números.

 

Variables con dimensiones asociadas y unidades MKS

La presión se utiliza para muchas aplicaciones.

\(p=\left(\text { normal force)/area }=(\text { mass } x \text { acceleration }) / \text { area }=M L / T^{2} L^{2}=\right.\)

\(1 \mathrm{Pa}=1 \mathrm{kg} \mathrm{m}^{-1} \mathrm{s}^{-2} ; 1 \mathrm{hPa}=100 \mathrm{Pa}=1 \mathrm{mb}=10^{-3} \mathrm{bar}(\mathrm{hPa}=\mathrm{hecto}\)Pascal)

\(1013.25 \mathrm{hPa}=1.01325 \times 10^{5} \mathrm{Pa}=1\)presión atmosférica estándar\(=\) 1\(\mathrm{atm}\)

La velocidad del viento es otra variable de uso frecuente.

El nudo (kt) es igual a una milla náutica (aproximadamente un minuto de latitud) por hora o exactamente 1.852 km/hr. La milla es nominalmente igual a 5280 pies y se ha estandarizado para ser exactamente 1,609.344 m.

Así, 1 m/s = 3.6 km/hr ≈ 1.944 kt y 1 kt ≈ 1.151 mph.

los vientos superficiales son típicamente de 10 kts ~ 5 m/s

Los vientos de 500 mb son de ~50 kts ~ 25 m/s

Los vientos de 250 mb son de ~100 kts ~ 50 m/s

La temperatura es una tercera variable de uso frecuente.

Kelvin (K) debe ser utilizado en todos los cálculos meteorológicos físicos y dinámicos. La temperatura superficial se reporta en ^o F o (^o C para METARS) y en ^o C para sondeos de aire superior.

La relación de mezcla de vapor de agua es otra variable de uso frecuente.

\[w=\dfrac{\operatorname{mass} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}{\text { mass dry air }}\]

Por lo general, las unidades para la relación de mezcla de vapor de agua son\(g \mathrm{kg}^{-1} .\) En el verano w puede ser 10\(\mathrm{g} \mathrm{kg}^{-1}\) en el invierno, puede ser 1.2\(\mathrm{g} \mathrm{kg}^{-1}\)

Las dimensiones realmente son tu amiga. Déjenme darles un ejemplo. Supongamos que tiene una ecuación ax + b = cT, y conoce la dimensión de b, x (a distancia), y T (a temperatura), pero no a y c. También sabes que cada término en la ecuación —los dos en el lado izquierdo y el del lado derecho deben tener todas las mismas unidades. Por lo tanto, si conoces b, sabes que las dimensiones de a deben ser las mismas que las dimensiones de b divididas por L (longitud) y las dimensiones de c deben ser las mismas que las dimensiones de b divididas por θ.

Además, si inviertes una ecuación desordenada y no estás seguro de que no cometiste un error, puedes verificar las dimensiones de los términos individuales y si no coinciden, es momento de buscar tu error. O bien, si tienes variables multiplicadas o divididas en un exponencial o un logaritmo, el producto resultante no debe tener unidades.

Siempre anota unidades y comprueba siempre las dimensiones si no estás seguro. De esa manera, no estrellarás tu nave espacial en la parte trasera de Marte. Ver el siguiente video (2:42).

Cuando la NASA perdió una nave espacial porque no usó métricas

Haga clic en Responder para obtener la transcripción del video de la NASA.

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¿Recuerdas cuando la NASA perdió una nave espacial porque simultáneamente utiliza mediciones imperiales y métricas en la misma misión? El Mars Climate Orbiter desapareció hace 15 años este mes y aquí hay un resumen muy breve de exactamente lo que salió mal. El Mars Climate Orbiter se lanzó el 11 de diciembre de 1998 en una misión para orbitar Marte. Este primer satélite meteorológico interplanetario fue diseñado para recopilar datos sobre el clima de Marte y también servir como estación de relevo para el Mars Polar Lander, misión que se lanzó unas semanas después. Pero no puedes simplemente lanzar una nave espacial hacia Marte y confiar en que va a llegar a donde va. Hay que vigilar su avance. Muchas naves espaciales tienen ruedas de reacción para mantenerlas orientadas correctamente y equipos de navegación detrás de naves espaciales interplanetarias que monitorean constantemente el momento angular y ajustan la trayectoria para asegurarse de que llegue exactamente a donde necesita ir. En el caso del Mars Climate Orbiter, el monitoreo de su trayectoria y momento angular implicó algunos pasos. Primero, los datos de la nave espacial fueron transferidos al suelo por telemetría. Allí fue procesado por un programa de software y almacenado en un archivo de desaturación de momento angular ese proceso de datos era lo que los científicos utilizaron para ajustar la trayectoria. Ajustes que se hicieron disparando los propulsores de la nave espacial. Cada vez que se dispararon los propulsores, el cambio resultante en la velocidad se midió dos veces una vez por el programa de software en la nave espacial y otra por el programa de software fuera del suelo. Y aquí es donde entra el problema. Resultó que los dos sistemas el software de procesamiento en la nave espacial y el software en tierra estamos usando dos unidades diferentes de medidas. El software en la nave espacial midió el impulso, o los cambios por propulsores en newton segundos una unidad métrica de medida comúnmente aceptada, mientras que el software de procesamiento en el suelo usa los segundos de libra imperial. Y desafortunadamente fueron los datos de la computadora terrestre los que los científicos utilizaron para actualizar la trayectoria de la nave espacial y debido a que una libra de fuerza equivale a 4.45 Newton, cada ajuste estaba apagado por un factor de 4.45. Para una nave espacial que viaja decenas de millones de millas hasta el destino, una serie de errores aparentemente pequeños realmente suman. Durante los Mars Climate Orbiters crucero de nueve meses a Marte se introdujeron siete errores en su trayectoria que significaron que cuando llegó al planeta rojo estaba 105 millas más cerca de la superficie marciana de lo esperado. Esto resultó ser una altitud insuperable baja para su encuentro en Marte cuando la nave espacial dispara su motor principal para la quemadura de inserción de órbita que fue diseñada para ponerla en una órbita elíptica no pasó nada. La NASA perdió contacto de manera bastante abrupta con la nave espacial. Entonces, si bien conocemos la causa raíz de lo que salió mal, nunca sabremos exactamente qué pasó con el orbitador climático de Marte. La pérdida del Mars Climate Orbiter ocurrió muy tristemente en el espacio. Deja tus preguntas y comentarios espaciosos a continuación, y no olvides suscribirte.

Crédito: Scientific American Space Lab

Quiz 1-1: Cifras, dimensiones y unidades significativas.

Ahora es el momento de hacer un quiz. Te recomiendo encarecidamente que comiences por tomar el Cuestionario de Práctica antes de completar el Quiz calificado. Los cuestionarios de práctica no se califican y no afectan tu calificación de ninguna manera (excepto para hacerte más competente y seguro para tomar los cuestionarios calificados:).

1. En Lienzo, encuentra Cuestionario de práctica 1-1. Puedes completar este cuestionario de práctica tantas veces como quieras. No está calificado, pero le permite verificar su nivel de preparación antes de realizar el cuestionario calificado.
2. Cuando sientas que estás listo, toma Quiz 1-1. Se te permitirá realizar este cuestionario solo una vez. Este cuestionario está cronometrado, por lo que después de comenzar, tendrá un tiempo limitado para completarlo y enviarlo. ¡Buena suerte!