1.3: Si pensabas que la práctica hace la perfección, podrías tener razón

El cálculo es una parte integral de la formación de un meteorólogo. La capacidad de resolver problemas con el cálculo diferencia a los meteorólogos de los lectores meteorológicos. Debes saber cómo realizar integrales tanto indefinidas como definidas. Refrescar las derivadas para variables elevadas a potencias, logaritmos y exponenciales. Tomaremos muchos derivados con respecto al tiempo y a la distancia.

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Integrales simples y derivadas que se utilizan frecuentemente para describir el comportamiento de los fenómenos atmosféricos

1. \(\frac{d a}{d t}=-k a\)

\(\frac{d a}{a}=-k d t\)

\(\int_{a_{o}}^{a_{1}} \frac{d a}{a}=-\int_{t_{o}}^{t_{1}} k d t\)

\(\ln \left(a_{1}\right)-\ln \left(a_{0}\right)=-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\)

\(\ln \left(a_{1} / a_{0}\right)=-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\)

\(a_{1} / a_{0}=e^{\left(-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\right)}=\exp \left(-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\right)\)

\(a_{1}=a_{0} e^{\left(-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\right)}=a_{0} \exp \left(-k\left(t_{1}-t_{0}\right)\right)\)

2. \(p=p_{o} e^{(-z / H)} \quad ; \quad \int_{0}^{\infty} p d z=? \quad\)(Hacer la integral definitiva.)

\(\int_{0}^{\infty} p d z=-\left.H p_{o} e^{-2 I H}\right|_{0} ^{\infty}=-H p_{o}(0-1)=p_{o} H\)

3. \(p=p_{0} e^{\left(-\frac{z}{H}\right)} ; \frac{1}{p} \frac{d p}{d z}=?\)

\(\frac{d p}{d z}=-\frac{1}{H} p_{0} e^{\frac{-z}{H}}=-\frac{1}{H} p ; \frac{1}{p} \frac{d p}{d z}=-\frac{1}{H}\)

4. \(\frac{d \ln (a x)}{d t}=? \quad \frac{d \ln (a x)}{d t}=\frac{1}{a x} \frac{d(a x)}{d t}=\frac{1}{a x} \frac{a d x}{d t}=\frac{1}{x} u,\)donde\(u=\) velocidad

5. \(d(\cos (x))=? \quad d(\cos (x))=-\sin (x) d x\)

Tienes el poder.

Muchas veces en meteorología y ciencias atmosféricas necesitarás manipular ecuaciones que tengan variables elevadas a potencias. En ocasiones, necesitarás multiplicar variables a diferentes potencias juntas y luego reorganizar tu respuesta para simplificarla y hacerla más útil. Además, es muy probable que necesites invertir una expresión para resolver para una variable. Las siguientes reglas deberían recordarte sobre los poderes de las variables.

Leyes de los exponentes

\(\begin{aligned} a^{x} a^{y} &=a^{x+y} \\(a b)^{x} &=a^{x} b^{y} \\\left(a^{x}\right)^{y} &=a^{x y} \\ a^{-x} &=\frac{1}{a^{x}} \\ \frac{a^{x}}{a^{y}} &=a^{x-y} \\ a^{0} &=1 \end{aligned}\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=a^{x}\left(\frac{1}{b}\right)^{x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x} b^{-x}=\left(\frac{b}{a}\right)^{-x}\)

\(\begin{aligned} \text { If } a=& b^{x}, \text { then raise both sides to the exponent } \frac{1}{x} \text { to move the } \\ & \text { exponent to the other side: } a^{\frac{1}{x}}=\left(b^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{x}{x}}=b \end{aligned}\)

Si\(a^{x} b^{y}\), y quieres obtener una ecuación con una potencia elevada a ninguna,
entonces eleva ambos lados al exponente\(\frac{1}{x}\):

$$
\ izquierda (a^ {x} b^ {y}\ derecha) ^ {\ frac {1} {x}} =\ izquierda (a^ {x}\ derecha) ^ {\ frac {1} {x}}\ izquierda (b^ {y}\ derecha) ^ {\ frac {1} {x}} =a b^ {\ frac {y} {x}} = texto {nueva constante}

Este breve video (7:42) resume estas importantes reglas:

Reglas de Exponentes

Haga clic en Respuesta para obtener la transcripción de las Reglas de Exponentes.

Responder

En este video vamos a estar hablando de todas las reglas básicas de los exponentes. Y recuerda, cuando estamos hablando de exponentes podemos tener un exponente aquí como X al cuarto donde x es la base lo que llamamos la base y cuatro es el exponente este pequeño número en la esquina superior derecha. Significa que vamos a multiplicar X por sí mismo cuatro veces o significa que tenemos cuatro factores de X multiplicados juntos. Entonces, si expandimos esto es x por X por X por X. si lo colapsamos su X a la cuarta. Entonces, ¿qué sucede cuando hacemos suma, resta, multiplicación y división de exponentes? Bueno, en todos los casos hay que tener mucho cuidado con términos similares. Por ejemplo, cuando sumamos términos que tienen exponentes en ellos juntos tanto las bases como los exponentes tienen que ser los mismos para que los sumemos juntos. Entonces, si miramos este primer ejemplo 3x al cuadrado más 2x al cuadrado la base aquí es X y la base aquí es X así que las bases son las mismas lo cual es bueno porque necesitamos eso. y los exponentes tenemos 2 y 2 que es bueno porque también necesitamos que los exponentes sean los mismos para sumar estos juntos. Entonces básicamente tenemos 3x cuadrado agregado a 2x cuadrado nos va a dar cinco de ellos, 5x al cuadrado. Entonces, si vas a hacer suma y resta las bases y los exponentes tienen que ser los mismos. En este caso tenemos X a la tercera más x al cuadrado nuestras bases X son las mismas pero nuestros exponentes son diferentes tenemos tres y dos. Estos no son como términos, así que no podemos sumar estos juntos no podemos simplificar esto en absoluto. Qué sucede cuando volvemos a restar bien estamos buscando bases similares así que tenemos X y X para nuestra base y luego tenemos exponentes de cuatro y cuatro. Entonces porque las bases y los exponentes de la escena podemos combinar estos términos como. Tenemos seis de ellos estaban restando y aplicaron uno de ellos lo cual nos va a dejar con cinco de ellos. Entonces 5 veces X a la cuarta, pero en este problema a pesar de tener la misma base van a tener una base de X tenemos diferentes exponentes tenemos un 4 y un 3 y porque estamos haciendo resta no podemos combinar estos. No podemos simplificar esto en absoluto. ¿Qué sucede cuando multiplicamos dos valores juntos donde están involucrados los exponentes? Bueno, aquí para simplificar lo único que nos importa es que las bases sean las mismas. Los exponentes no tienen que ser los mismos. Entonces aquí tenemos base X y base X y sabemos ya eso es todo lo que necesitamos para multiplicar estos juntos no importa que los exponentes también sean los mismos solo los agregamos. Entonces tenemos tres veces a estos son coeficientes en nuestros x términos cuadrados. Los multiplicamos juntos. Entonces tres veces dos es seis, así que esa va a ser la primera parte y luego tenemos x al cuadrado por x al cuadrado. Y si miramos ese x cuadrado veces x cuadrado lo que vamos a hacer es sumar los exponentes juntos. Y la razón es porque si expandimos estos sabemos que x al cuadrado son dos factores de X multiplicados juntos. Estamos multiplicando eso por otra x al cuadrado, así que estamos multiplicando eso por dos factores más de X multiplicados juntos. Todos juntos esto es X a la cuarta. Lo cual sabemos porque esto esencialmente se convierte en la regla x a la a x a x a la B es X a la a más B. Simplemente sumamos los exponentes juntos. Entonces dos más dos es cuatro obtenemos X a la cuarta. Aquí hay otro ejemplo que tenemos X a la tercera veces x al cuadrado recuerda que hay un coeficiente implícito delante de ambos cuando multiplicamos 1 x 1 obtenemos uno así que habrá un coeficiente implícito en nuestra respuesta final. x cúbico + x cuadrado. Simplemente nos importa que las bases sean las mismas y ambas tengan una base X así que sabemos que las podremos multiplicar juntas. Tenemos X a la tercera veces x al cuadrado y recuerda que va a ser X a los tres más dos así que cuando simplificamos conseguimos X a la quinta y eso debería tener sentido porque tenemos 3 factores de x x 2 factores de X sumando todos arriba obtenemos cinco factores de X entonces X a la quinta. La regla del cociente para los exponentes nos dice que de la misma manera que cuando nos multiplicamos no teníamos que tener el mismo exponente. Cuando dividimos tampoco tenemos que tener el mismo exponente solo nos importan las bases así que aquí tenemos como base. Tenemos base X para ambos de estos los exponentes pasó a ser lo mismo pero eso no importa sólo vamos a dejar este seis y nuestra respuesta final, así que vamos a conseguir seis aquí. Y entonces lo que vamos a hacer es restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador así el resultado va a ser X al 4 menos 4. Este es el cuatro del numerador este es el cuatro del denominador. 4-4 es 0 así que obtenemos 6 x 20 x al 0 es 1 así que esto es 6 veces 1 o apenas seis. Incluso si volvemos a tener números diferentes solo nos importan las bases ambas tienen la misma base de X así que nuevamente solo mantendremos nuestras dos y nuestra respuesta final y luego tendremos X al 4-3 porque decimos numerador exponente menos denominador exponente. Eso nos va a dar 2 veces X al 4 menos 3 es 1. entonces X a la primera que por supuesto es igual a 2x. ¿Qué pasa con una potencia elevada a otra potencia o un exponente elevado a otro exponente? Bueno, igual que antes en este ejemplo aquí cuando dijimos X al cuarto medio multiplicar X por sí mismo cuatro veces aquí estamos diciendo multiplicar x al cuadrado por sí mismo tres veces. Entonces esto va a ser igual a x cuadrado veces x cuadrado veces x cuadrado y ahora realmente estamos de vuelta en esto aquí mismo para multiplicar como bases juntas y sumamos los exponentes. Entonces, esto es lo mismo que X a los dos más dos más dos. Dos más dos más dos es seis así que conseguimos x a la sexta potencia. Lo que nos damos cuenta entonces es que podemos expandir esto y luego sumar los exponentes usando esta regla de aquí o simplemente podemos multiplicar estos dos exponentes juntos. Dos por tres nos da seis y así podemos hacerlo así también. Incluso podemos hacer esto cuando tenemos una base negativa. Entonces este problema aquí nos está diciendo multiplicar 3 factores de negativo x cuadrado juntos así que esto va a ser negativo x cuadrado veces negativo x cuadrado veces negativo x cuadrado veces negativo x cuadrado. Podemos tratar los negativos por separado. Recuerden que podemos cancelar cada dos negativos y ellos se vuelven positivos así que negativos y negativos se convierten en positivos solo nos quedamos con este único signo negativo aquí. así que nuestra respuesta será negativa y luego x cuadriculada veces x cuadrada veces x cuadrada sabemos que es X a la sexta. También puedes pensarlo de esta manera cuando tengas este signo negativo dentro de los paréntesis. Es lo mismo que decir negativo 1 veces x cuadrado todo elevado a la tercera potencia y luego puedes aplicar este exponente al negativo 1 negativo 1 veces negativo 1 veces negativo 1 veces negativo 1 te va a dar negativo 1 que es esta parte aquí mismo. Y luego x al cuadrado a la tercera va a ser X al 60 obtienes esta X a la sexta y cuando las multiplicas juntas obtienes x negativo a la sexta. Entonces esas son solo algunas de las reglas de exponentes más básicas que debes conocer. Crédito: Krista King

¿Estás listo para probarlo? Resuelve el siguiente problema por tu cuenta. Después de llegar a su propia respuesta, haga clic en el enlace para verificar su trabajo. Aquí vamos:

Ejercicio

\(x=a y^{b}\)
¿Qué es y igual?

Responder

\(x^{1 / b}=\left(a y^{b}\right)^{1 / b}=a^{1 / b}\left(y^{b}\right)^{1 / b}=a^{1 / b} y\)

\(y=x^{1 / b} / a^{1 / b}=\left(\frac{x}{a}\right)^{1 / b}\)

Quiz 1-2: Resolver integrales y diferenciales.

Ahora es el momento de hacer otro quiz. De nuevo, te recomiendo encarecidamente que comiences por tomar el Cuestionario de Práctica antes de completar el Quiz calificado, ya que te hará más competente y seguro para tomar el Quiz calificado:).

1. Ve al Lienzo y encuentra Cuestionario de práctica 1-2. Puedes completar este cuestionario de práctica tantas veces como quieras. No está calificado, pero le permite verificar su nivel de preparación antes de realizar el cuestionario calificado.
2. Cuando sientas que estás listo, toma el Quiz 1-2. Se te permitirá realizar este cuestionario solo una vez. Este cuestionario está cronometrado, por lo que después de comenzar, tendrá un tiempo limitado para completarlo y enviarlo. ¡Buena suerte!