9.4: ¿Cómo cambia la divergencia con el área de la parcela aérea?

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Vemos que la divergencia es positiva cuando el área de la parcela crece y es negativa cuando se contrae. Llamamos al crecimiento “divergencia” y disminución de “convergencia”. Deseamos saber si las parcelas aéreas se unen (convergen) o se separan (divergen) o si el área de la parcela aumenta con el tiempo (divergencia) o disminuye con el tiempo (convergencia).

Veamos cómo se relaciona la divergencia en las dos dimensiones horizontales con el cambio de área. Podemos hacer un análisis similar que relaciona la divergencia en tres dimensiones con un cambio de volumen, pero nos quedaremos con el caso bidimensional porque es más fácil de visualizar y además tiene aplicaciones importantes. Considera una caja con dimensiones Δx y Δy. Diferentes partes de la caja se mueven a diferentes velocidades (ver figura abajo).

2019-09-26 8.20.51.png — Una caja que se mueve a mayor velocidad para piezas que están en mayor x e y mayor.

Crédito: W. Brune

El área de la caja, A, viene dada por:

\(A=\Delta x \Delta y\)

\[\begin{aligned} \frac{d A}{d t}=& \frac{d(\Delta x \Delta y)}{d t}=\Delta x \frac{d(\Delta y)}{d t}+\Delta y \frac{d(\Delta x)}{d t}=\\ & \Delta x[v(y+\Delta y)-v(y)]+\Delta y[u(x+\Delta x)-u(x)] \end{aligned}\]

dividir por\(A=\Delta x \Delta y\)

\[\frac{1}{A} \frac{d A}{d t}=\frac{v(y+\Delta y)-v(y)}{\Delta y}+\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\]

Let\(\Delta y \rightarrow 0, \Delta x \rightarrow 0\)

\[\frac{1}{A} \frac{d A}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial v}=\vec{\nabla}_{H} \bullet \vec{U}_{H}\]

Entonces vemos que el cambio fraccionario en el área es igual a la divergencia horizontal. Tenga en cuenta que la dimensión de divergencia es el tiempo ^—1 y la unidad SI es s ^—1.

Podemos hacer este mismo análisis para el movimiento en tres dimensiones para obtener la ecuación:

\[\frac{1}{V} \frac{d V}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=\vec{\nabla}_{H} \cdot \vec{U}_{H}+\frac{\partial w}{\partial z}=\vec{\nabla} \cdot \vec{U}\]

donde V es el volumen de la parcela. Así, la divergencia 3-D es solo la tasa fraccionaria de cambio del volumen de una parcela aérea.

Ejercicio

Supongamos que una parcela aérea tiene una superficie de 10,000 km ² y está creciendo 1 km ² cada segundo. ¿Cuál es su divergencia?

Haga clic para obtener la respuesta.

\(\frac{\Delta A}{\Delta t}=1 \mathrm{km}^{2} \mathrm{s}^{-}\), entonces

\(\left(\frac{1}{A}\right)\left(\frac{\Delta A}{\Delta t}\right)=\left(\frac{1}{10^{4}} \mathrm{km}^{2}\right)\left(1 \mathrm{km}^{2} \mathrm{s}^{-1}\right)=10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\)

Supongamos que una parcela aérea tiene una superficie de 10,000 km ² y tiene una divergencia de —10 ^—4 s ^—1. ¿La parcela aérea está creciendo o disminuyendo?

Haga clic para obtener la respuesta.

divergencia\(=\delta=\left(\frac{1}{A}\right)\left(\frac{\Delta A}{A t}\right),\) o

\(\frac{\Delta A}{A}=\delta \Delta t=\left(-10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\right)(1 \mathrm{s})=-10^{-4}\). El paquete aéreo se está encogiendo.

Echa un vistazo a este video (1:33) para una explicación más detallada:

Área de divergencia

Haga clic aquí para ver la transcripción del video del Área de Divergencia.: Podemos usar una demostración muy simple para mostrar cómo las diferencias de velocidad de un extremo de un paquete aéreo al otro pueden causar cambios en el área. Dejemos que este sea nuestro paquete aéreo aquí, delineado en el azul oscuro. Varias cosas le pueden pasar a esta paquetería aérea. Uno, puede traducir. Así que simplemente puede moverse con cierta velocidad a través de izquierda a derecha. Lo segundo que puede hacer es que puede tener una velocidad cero aquí y tener una velocidad más alta aquí en este extremo. Y entonces puede crecer. Y así se ve que el área va aumentando a medida que pasa el tiempo. Para que podamos combinar estos dos movimientos y ver qué pasa. Y así tenemos algo de velocidad en la parcela, pero tenemos una mayor velocidad en el lado derecho. Y vemos que a medida que se mueve, crece. También es posible que a medida que se mueve, se contraiga porque la velocidad en este lado es menor que la velocidad en este lado. Entonces a medida que avanza, verás que en realidad la zona se contrae. Podemos hacer el mismo tipo de análisis en la dirección y. Y a partir de esto, podemos demostrar que de hecho, la diferencia de velocidad de aquí a aquí puede resultar en el crecimiento o la contracción del área de la parcela.

Quiz 9-1: La forma en que sopla el viento.

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