11: Apéndice A - Teoría de ondas lineales
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En la teoría para las ondas lineales, se dan ecuaciones para propiedades como:
| la velocidad de las partículas\((u, w)\) a cualquier altura en la columna de agua | \(m/s\) |
| la aceleración de partículas\((a_x, a_z)\) a cualquier altura en la columna de agua | \(m^2/s\) |
| el desplazamiento de partículas\((\xi , \zeta)\) a cualquier altura en la columna de agua | \(m\) |
| la presión (\(p\)) a cualquier altura en la columna de agua | \(N/m^2\) |
| la velocidad de ola (\(c\)) | \(m/s\) |
| la velocidad del grupo de olas\((c_g)\) | \(m/s\) |
| la longitud de onda\((L)\) | \(m\) |
| el perfil de onda (\(\eta\)) | \(m\) |
| la energía de onda por longitud de onda por unidad de longitud de cresta\((E_t)\) | \(J/m\) |
| la energía por unidad de superficie de agua\((E)\) | \(J/m^2\) |
| la energía de las olas\((U)\) | \(J/m \times s\) |
Las ecuaciones generales para estas propiedades se pueden encontrar en el Cuadro A.2 en la columna 'Profundidad del agua transicional'. Las ecuaciones para la profundidad transicional del agua contienen funciones hiperbólicas. Puede ser útil usar tablas estándar que contengan los valores de las funciones hiperbólicas. Estas tablas se pueden encontrar en el Manual de Ingeniería Costera. Un extracto de estas tablas se da en el Cuadro A.3.
Cuadro A.1: Criterios para olas de aguas profundas y someras con un error del orden del 1%
Para los casos limitantes de aguas profundas y someras (ver Cuadro A.1), se pueden hacer simplificaciones en las funciones hiperbólicas (ver también Fig. A.1).
Para aguas profundas relativas (\(h > L/2\)entonces,\(kh > \pi\) dónde\(k = 2\pi /L\) está el número de onda):
\[\sinh kh = \dfrac{1}{2} (e^{kh} - e^{-kh}) = \dfrac{1}{2} e^{kh} \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to \infty\]
\[\cosh kh = \dfrac{1}{2} (e^{kh} + e^{-kh}) = \dfrac{1}{2} e^{kh} \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to \infty\]
\[\tanh kh = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to \infty\]
Para aguas relativamente poco profundas (\(h < L/20\)así\(kh < \pi /10\)):
\[\sinh kh = kh \ \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to 0\]
\[\cosh kh = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to 0\]
\[\tanh kh = kh \ \ \ \ \ \ \ \text{ for } kh \to 0\]
Cuadro A.2: Expresiones para cálculos de olas poco profundas, transicionales y profundas según la teoría de olas lineales. Obsérvese que a diferencia de las definiciones de los Capítulos 3 y 5,\(z = 0\) en la parte inferior (en lugar de\(z = -h\)) y\(z = h\) en el nivel medio del agua (en lugar de\(z = 0\)).
De las ecuaciones de la Tabla A.2 se utilizan frecuentemente en estas notas de clase:
\[\omega^2 = \left ( \dfrac{2\pi }{T} \right )^2 = gk \tanh kh \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ dispersion relation } [1/s^2]\]
\[k = \dfrac{2\pi}{L} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wavenumber} [1/m]\]
\[n = \dfrac{c_g}{c} = 0.5 \left ( 1 + \dfrac{2kh}{\sinh 2kh} \right ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [-]\]
Cuadro A.3: Funciones de onda lineal
La relación de dispersión es implícita en términos del número de onda. Esto significa que para resolver la ecuación para la profundidad del agua de transición se requiere un proceso iterativo (para calcular a\(L\) partir de dado\(h\) y\(T\)). También hay expresiones explícitas disponibles que aproximan de cerca la solución. Alternativamente, se puede hacer uso de una tabla de consulta como la Tabla A.3 que da\(h/L\) por dada\(h/L_0\) (con la longitud de onda de aguas profundas\(L_0 = gT^2/2\pi\)).
El desplazamiento de partículas de agua se muestra en la Fig. A.2 para una ola en aguas poco profundas y para una ola en aguas profundas. En aguas profundas el movimiento de las olas no se extiende hasta el lecho; en aguas poco profundas el agua realiza un movimiento oscilante sobre toda la profundidad. Cerca de la superficie las partículas de agua describen una trayectoria elíptica; cerca del fondo las partículas de agua hacen un movimiento oscilante horizontal.
La Figura A.3 muestra la relación entre la dirección de la velocidad y la aceleración de las partículas de agua en ciertas fases en el periodo de ola.