3.9: Asentamiento de Esferas

Introducción

En esta sección se abordan algunas ideas básicas sobre el asentamiento de esferas sólidas bajo su propio peso a través de fluidos inmóviles. Este es un tema importante en meteorología (granizo), sedimentología (granos de sedimentos) y tecnología (balas de cañón y naves espaciales). En esta sección veremos la velocidad de sedimentación terminal de las esferas como un problema aplicado. Al final haré algunos comentarios sobre la complicada cuestión del tiempo y la distancia que tarda una esfera en alcanzar su velocidad de asentamiento terminal.

Si se coloca en suspensión en un fluido viscoso, un cuerpo sólido más denso que el fluido se asienta hacia abajo y un cuerpo sólido menos denso que el fluido se eleva hacia arriba. Sin embargo, aquí se necesita una calificación: el cuerpo no debe ser tan pequeño que su peso sumergido sea incluso menor que las fuerzas aleatorias ejercidas sobre él por el bombardeo de las moléculas de fluido en movimiento térmico. Tales pesos pequeños generalmente se asocian solo con las partículas más finas, en el rango de tamaño coloidal de pequeñas fracciones de una micra.

Cuando un cuerpo de flotación no neutra se libera del reposo en un fluido quieto, se acelera en respuesta a la fuerza de la gravedad. A medida que aumenta la velocidad del cuerpo, la fuerza de arrastre dirigida opuestamente ejercida por el fluido crece hasta que finalmente iguala el peso sumergido del cuerpo, con lo cual el cuerpo ya no acelera sino que cae (o sube) a su velocidad terminal, también llamada velocidad de caída o velocidad de sedimentación en el caso de cuerpos de sedimentación (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Obtención de la velocidad de caída terminal cuando una esfera cae del reposo en un recipiente de líquido inmóvil.

Remolque vs. Asentamiento

Te prometí en el capítulo 2 que haría algunos comentarios más adelante sobre las diferencias entre mover una esfera a través de un fluido quieto y pasar un fluido en movimiento por una esfera estacionaria. Este tema tiene relevancia para el asentamiento de esferas, por lo que voy a decir algunas cosas al respecto en este momento.

Debe tener sentido para usted que remolcar una esfera\(U\) a velocidad a través de un fluido inmóvil ejerciendo una fuerza constante\(F_{D}\) sobre ella sea equivalente a pasar una corriente constante y uniforme de fluido a velocidad\(U\) alrededor de una esfera que se mantiene fija en relación con los límites del flujo. Esto es en gran parte cierto, pero hay dos complicaciones. Primero, si la esfera se mantiene fija y el flujo pasa por ella, la fuerza de arrastre puede verse influenciada incluso por turbulencias débiles en el flujo que se aproxima, mientras que si la esfera es remolcada a través de fluido quieto no puede haber tal efecto. Segundo, has visto que, en algunos rangos de velocidad relativa, pueden formarse remolinos detrás de la esfera y romperse irregularmente; si la esfera está fija y el fluido fluye, esto hace que la fuerza fluctúe alrededor de algún valor promedio pero no afecta a la velocidad relativa, mientras que si la esfera es remolcada, o bien la velocidad fluctúa junto con la fuerza o, si por definición remolcamos con una fuerza constante, la velocidad fluctúa pero la fuerza es constante.

El asentamiento de una esfera a través de un fluido quieto bajo su propio peso es exactamente como remolcar la esfera verticalmente hacia abajo aplicando una fuerza de remolque constante, es decir, el peso de la esfera, que es simplemente la fuerza gravitacional de atracción de la Tierra sobre la esfera. El peso de la esfera es constante y totalmente independiente del estado de movimiento, y la esfera responde asentándose hacia abajo a cierta velocidad a través del fluido. (Como se señaló anteriormente, esta velocidad puede fluctuar ligeramente con el tiempo). Para las esferas se suele suponer que las diferencias entre el caso de esfera fija y el caso de la esfera de asentamiento son menores. De hecho, algunos de los datos de la Figura 2.3.1 para la fuerza de arrastre adimensional en función del número de Reynolds provienen de experimentos de asentamiento y algunos son de experimentos de túnel de viento con esferas fijas, y se puede observar que hay muy poca dispersión de la curva experimental combinada.

Análisis Dimensional

Para obtener una curva experimental para la velocidad de sedimentación, simplemente podemos transformar la curva de la Figura 2.3.1 para el coeficiente de arrastre frente al número de Reynolds para las esferas remolcadas en una curva basada en la velocidad de sedimentación. De hecho, gran parte de esta curva, especialmente para números bajos de Reynolds, se obtuvo mediante experimentos de asentamiento en primer lugar, con los resultados experimentales refundidos en forma de coeficientes de arrastre.

Cuando una esfera cae a velocidad terminal la fuerza de arrastre\(F_{D}\) es igual al peso sumergido de la partícula\((1 / 6) \pi D^{3} \gamma^{\prime}\), donde\(\gamma^{\prime}\) es el peso sumergido por unidad de volumen de la partícula, igual a\(g\left(\rho_{s}-\rho\right)\). Sustituyendo esto\(F_{D}\) en la definición del coeficiente de arrastre\(C_{D}\) en la Ecuación 2.3.2, usando la velocidad de sedimentación\(w\) en lugar de\(U\), y luego resolviendo\(C_{D}\),

\[C_{D}=\frac{4}{3} \frac{\gamma^{\prime} D}{\rho w^{2}} \label{3.22} \]

Esta expresión for\(C_{D}\), que puede verse como el “coeficiente de arrastre de asentamiento”, se puede utilizar en la relación para la fuerza de arrastre adimensional en función del número de Reynolds (Ecuación 2.3.2) para esferas que se mueven a través de un fluido viscoso:

\[\frac{\gamma^{\prime} D}{\rho w^{2}}=f\left(\frac{\rho w D}{\mu}\right) \label{3.23} \]

donde el factor\(4/3\) ha sido absorbido en la función, solo por conveniencia. La figura\(\PageIndex{2}\), que es la misma que la figura 2.3.1 con ejes reetiquetados y ajustados en escala para tener en cuenta el factor\(4/3\), es la gráfica correspondiente de esta función. No se muestran puntos de datos, porque la curva es exactamente la misma que en la Figura 2.3.2. La figura\(\PageIndex{2}\) da que la velocidad de sedimentación fue una función implícita de\(\rho\)\(U\),\(D\),, y\(\gamma^{\prime}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): “Coeficiente de arrastre de asentamiento”\(\gamma^{\prime} D / \rho w^{2}\) vs. número de Reynolds\(\rho w D / \mu\) basado en la velocidad de sedimentación.

La curva en la Figura aún no\(\PageIndex{2}\) es muy conveniente para encontrar la velocidad de sedimentación cuando se dan las otras variables. Esto se debe a que ambos\(w\) y\(D\) aparecen en las variables adimensionales a lo largo de ambos ejes. Encontrar\(w\) en un problema real requeriría un laborioso cálculo de prueba y error. Para sortear este problema la gráfica puede ser refundida aún más en una forma más conveniente en la que\(w\) aparece solo en una de las dos variables adimensionales. También, porque por lo general lo que se desea es\(w\) en función de\(D\), o viceversa, es conveniente disponer\(D\) para que aparezca sólo en la otra variable.

Recordemos del Capítulo 2 que si tienes un conjunto de variables adimensionales para un problema puedes multiplicar o dividir cualquiera de ellas por cualquier otra en el conjunto para obtener una nueva variable para reemplazar la anterior. Para obtener una variable adimensional con\(w\) pero no\(D\), invierta la variable de la izquierda en Ecuación\ ref {3.23} y multiplique el resultado por la variable de la derecha:

\[\left(\frac{\rho w^{2}}{\gamma^{\prime} D}\right)\left(\frac{\rho w D}{\mu}\right)=\frac{\rho^{2} w^{3}}{\gamma^{\prime} \mu} \label{3.24} \]

Y para obtener una variable adimensional con\(D\) pero no\(w\), cuadre la variable derecha en la Ecuación\ ref {3.23} y multiplícala por la variable de la izquierda:

\[\left(\frac{\rho w D}{\mu}\right)^{2}\left(\frac{\gamma^{\prime} D}{\rho w^{2}}\right)=\frac{\rho \gamma^{\prime} D^{3}}{\mu^{2}} \label{3.25} \]

Es conveniente, pero no necesario, llevar estas dos variables a la tercera potencia, para que\(w\) y\(D\) aparezcan a la primera potencia;\(w\left(\rho^{2} / \gamma^{\prime} \mu\right)^{1 / 3}\) puedan verse como una velocidad de asentamiento adimensional, y\(D\left(\rho \gamma^{\prime} / \mu^{2}\right)^{1 / 3}\) como un diámetro de esfera adimensional. Debido a que estas dos nuevas variables son equivalentes a\(C_{D}\) y\(\text{Re}\), la relación funcional para\(C_{D}\) vs.. también se\(\text{Re}\) puede escribir

\[\left(\frac{\rho^{2}}{\gamma^{\prime} \mu}\right)^{1 / 3} w=f\left(\frac{\rho \gamma^{\prime}}{\mu^{2}}\right)^{1 / 3} D \label{3.26} \]

La utilidad de la Ecuación\ ref {3.26} es que la velocidad de sedimentación aparece solo en el lado izquierdo y el diámetro de la esfera aparece solo en el lado derecho.

Figura\(\PageIndex{3}\): Velocidad de sedimentación adimensional vs. tamaño de esfera adimensional para la sedimentación de una esfera en un recipiente de líquido inmóvil.

Ahora es una cuestión simple de encontrar\(w\) para un fluido dado, tamaño de esfera y peso específico sumergido mediante el uso de Figura\(\PageIndex{3}\), que es una gráfica de velocidad de ajuste adimensional vs. diámetro de esfera adimensional. Esta curva se obtiene directamente de la Figura\(\PageIndex{2}\); se puede imaginar tomando los puntos de datos originales y formando las nuevas variables adimensionales en lugar de las antiguas para trazar la curva en los nuevos ejes de coordenadas de la Figura\(\PageIndex{3}\). Esto enfatiza que estas dos curvas son equivalentes porque se basan en el mismo conjunto de datos experimentales.

Figura\(\PageIndex{4}\): Esbozo de definición para el análisis dimensional de una esfera que se asienta a través de un fluido

Si no está satisfecho con la forma indirecta de llegar a la relación funcional expresada en la Ecuación\ ref {3.24}, podría considerar hacer un nuevo comienzo en el análisis dimensional del problema de asentamiento de una esfera a través de un fluido estacionario a velocidad terminal (Figura\(\PageIndex{4}\)). La velocidad de sedimentación\(w\), la variable dependiente, debe depender de la densidad del fluido\(\rho\), la viscosidad del fluido\(\mu\), el diámetro\(D\) de la esfera y el peso sumergido por unidad\(\gamma^{\prime}\) de volumen de la esfera. Cada uno de estos deberá ser incluido por las razones dadas en el Capítulo 2. Como antes, la aceleración de la gravedad y la densidad de esferas no tienen que aparecer por separado en la lista de variables porque son importantes sólo en virtud de su efecto combinado sobre\(\gamma^{\prime}\). Las cinco variables\(w\),\(\rho\),\(\mu\),\(D\), y luego\(\gamma^{\prime}\) deben combinarse en dos variables adimensionales. Puede organizar convenientemente que uno contenga\(w\) pero no\(D\) y el otro contenga\(D\) pero no\(w\) usando las otras tres variables como variables “repetitivas”. Podrías verificar por ti mismo que este procedimiento conduce a las dos variables adimensionales en la Ecuación\ ref {3.26}.

Asentarse en números bajos de Reynolds

Recuerde del Capítulo 3 que si el número de Reynolds basado en el diámetro de la esfera y la velocidad relativa del flujo es menor que aproximadamente uno, la fuerza de arrastre sobre la esfera viene dada exactamente por la Ley de Stokes,\(F_{D}=3 \pi \mu U D\). Esto se sostiene en particular para las esferas que se asientan bajo su propio peso. Usando la Ley de Stokes es fácil desarrollar una fórmula útil para la velocidad de sedimentación de esferas que sea válida en la gama Stokes (\(\text{Re} < 1\)). Escribir una ecuación que equilibre el peso sumergido de la esfera,\(\left(\pi D^{3} / 6\right) \gamma^{\prime}\), por la fuerza de arrastre, dada por la Ley de Stokes\(\pi D \mu w\), 3, donde he usado la velocidad de sedimentación\(w\) como la velocidad relativa del fluido y la esfera. Resolviendo para\(w\),

\[w=\frac{1}{18} \frac{\gamma^{\prime} D^{2}}{\mu} \label{3.27} \]

Esta ecuación es ampliamente citada y ampliamente utilizada en libros y artículos sobre el asentamiento de esferas y otros cuerpos, como partículas de sedimentos, que tienen la forma aproximada de una esfera, pero tenga en cuenta firmemente que solo se aplica en la gama Stokes de asentamiento de números de Reynolds\(\rho w D / \mu\).

El efecto de la turbulencia en la sedimentación de partículas

Un claro efecto de la turbulencia en el ajuste de partículas es la posibilidad de dispersión. Piense en organizar un experimento en el que se introduzca un lote o suministro continuo de partículas de sedimento en la superficie libre de un flujo de canal. Si el flujo es laminar, las partículas (si son idénticas en tamaño, forma y densidad) también son idénticas en su comportamiento de sedimentación, y todas aterrizan en el límite inferior del flujo en el mismo punto,. Si el flujo es turbulento, sin embargo, las partículas de sedimentación aterrizan en el fondo sobre un amplio rango de puntos a lo largo de la corriente, la razón obvia es que cada partícula atraviesa (o, quizás más exactamente, se encuentra dentro del dominio de) un conjunto diferente de remolinos durante su descenso, y así experimenta un diferente conjunto de velocidades de fluido locales. Tanto los componentes verticales como los horizontales de las velocidades del fluido dentro de los remolinos actúan para dispersar o dispersar las trayectorias de las partículas alrededor de la trayectoria promedio general.

Puede parecerle intuitivamente razonable asumir que el tiempo promedio de sedimentación de las partículas en el flujo turbulento es el mismo que el tiempo de sedimentación único y bien definido en el flujo laminar, porque las partículas en el flujo turbulento son, cuando se ven en la escala de las propias partículas, solo asentándose a través del fluido circundante que es el mismo que en el caso laminar, y los “ups” deben equilibrar los “bajados”, en promedio. Eso no puede ser del todo cierto, sin embargo, aunque sólo sea por la razón de que el coeficiente de arrastre de una esfera que se mueve a través de un fluido se ve afectado de manera no despreciable por las aceleraciones y desaceleraciones del fluido que se mueve con relación a la partícula, y eso es exactamente lo que sucede cuando la partícula está en un flujo turbulento campo.

Figura de G.V. Middleton.)

Pero hay otro efecto, y uno que no se puede ignorar, que casi con certeza se encuentra fuera de tu intuición: ¡bajo ciertas condiciones, una partícula sedimentadora que se encuentra dentro de un remolino giratorio tiende a quedar atrapada dentro de ese remolino! Este efecto ha sido estudiado por Tooby et al. (1977) y Nielsen (1984). En un vórtice ideal, girando alrededor de un eje horizontal, una partícula dentro de la extremidad ascendente describe una órbita circular, que idealmente estaría cerrada y no exhibiría ningún movimiento neto hacia abajo (Figura\(\PageIndex{5}\)). En la Figura\(\PageIndex{5}\), la velocidad tangencial del fluido, u, es proporcional a la distancia desde el centro del vórtice.
La simple adición de vectores\(u\) y\(w\), la velocidad de sedimentación de la partícula, produce una trayectoria circular de la partícula sedimentaria, sin sedimentación neta. En el experimento de Tooby et al. (1977), las partículas tendieron a espirar lentamente hacia afuera, de manera que finalmente se difundirían fuera del vórtice, pero sedimentos suficientemente finos quedarían atrapados en vórtices y se moverían con el vórtice hasta que se disiparan. El mecanismo no es muy sensible al tamaño de las partículas atrapadas, y debería tender a producir menos segregación vertical por tamaño de lo que predice la teoría difusional clásica.

Referencias Citadas

Lin, C.C., 1955, La teoría de la inestabilidad hidrodinámica: Cambridge, Reino Unido, Cambridge University Press, 155 p.

Nielsen, P., 1984, Sobre el movimiento de partículas de arena suspendidas: Journal of Geophysical Research, v. 89, p. 616-626.

Reynolds, O., 1883, Una investigación experimental de las circunstancias que determinan si el movimiento del agua será directo o sinuoso, y la ley de resistencia en canales paralelos: Royal Society [Londres], Philosophical Transactions, v. 174, p. 935-982.

Schubauer, G.B., y Skramstad, H.K., 1947, Oscilaciones laminares de capa límite y estabilidad del flujo laminar: Journal of Aeronautical Science, 14 (2), p. 69-78.

Stokes, G.G., 1851, Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos en el movimiento de los péndulos: Cambridge Philosophical Society, Transactions, v. 9, núm. 8, p. 287.

Tooby, P.F., Wick, G.L., e Isaacs, J.D., 1977, El movimiento de una pequeña esfera en un campo de velocidad de rotación: un posible mecanismo para suspender partículas en turbulencia: Journal of Geophysical Research, v. 82, p. 2096-2100.

Tritton, D.J., 1988, Physical Fluid Dynamics, 2a Edición: Oxford, Reino Unido, Oxford University Press, 519 p.