5.7: Flujo Gradualmente Variado

Los flujos no uniformes para los cuales los cambios en profundidad y velocidad son tan bruscos que las aceleraciones radiales distorsionan la distribución vertical de la presión del fluido desde la condición hidrostática se denominan flujos rápidamente variados. El flujo sobre una presa o vertedero de cresta afilada y el flujo debajo de una compuerta son buenos ejemplos. Tales flujos son difíciles de tratar analíticamente, y no los voy a perseguir aquí, aunque son importantes en muchas aplicaciones de ingeniería.

Los flujos de canal abierto no uniformes para los cuales los cambios en profundidad y velocidad son lo suficientemente lentos en la dirección aguas abajo como para que la distribución vertical de la presión del fluido desde la superficie libre hasta el fondo no sea muy diferente de la hidrostática se denominan flujos gradualmente variados. Un ejemplo es la transición de flujo sobre un paso suave, introducido al inicio de este capítulo (Fig. 5.2.1). Se completa en una distancia suficientemente corta como para que la pérdida de energía de flujo por fricción pueda descuidarse, pero las aceleraciones de fluidos aún son lo suficientemente pequeñas como para que la distribución vertical de la presión del fluido esté cerca de ser hidrostática. En la mayoría de los flujos gradualmente variados, sin embargo, el cambio se produce a lo largo de una distancia suficientemente grande como para que no podamos asumir cero pérdidas de energía debido a la fricción del fondo El segundo ejemplo de transición de canal planteado al inicio de este capítulo cae dentro de esa categoría.

Para ver qué sucede con la elevación de la superficie del agua a través de una transición sobre una distancia tan larga que no se puede descuidar la fricción del fondo, necesitamos comenzar con la ecuación para la altura total en una sección transversal del flujo y diferenciar cada término con respecto a la distancia en la dirección del flujo. (En lo que sigue, voy a escribir\(\gamma\) en lugar de\(d\) para la profundidad del flujo.) Comience con la Ecuación 5.4.1, escrita usando la elevación del fondo del canal\(h_{\text{o}}\) (ver Ecuación 5.4.2):

\[E_{w}=\frac{U^{2}}{2 g}+y+h_{o} \label{5.22}\]

Diferenciar la Ecuación 5.5.1 con respecto a la dirección del flujo\(x\):

\[\frac{d E_{w}}{d x}=\frac{\mathrm{d}\left(U^{2} / 2 g\right)}{d x}+\frac{d y}{d x}+\frac{d h_{o}}{d x} \label{5.23} \]

El término en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {5.23} es la tasa de cambio en la energía total en la dirección aguas abajo. Esto siempre es negativo, porque la energía se pierde inevitablemente por la fricción. Piense en términos de la pendiente descendente de la línea formada por el trazado\(E_{w}\) en función de la distancia aguas abajo. Esta pendiente, denotada por\(S_{e}\), es lo que se llamó la pendiente de energía, o el gradiente de energía, o la pendiente de la línea de energía anteriormente en este capítulo. Por convención, tal pendiente negativa se considera positiva\(S_{e}\), por lo que reemplazamos\(d E_{w} / d x\) en la Ecuación\ ref {5.23} por\(-S_{e}\).

La pérdida por fricción en el flujo no uniforme no está bien estudiada, pero para llegar a algún lugar solo de una manera cualitativa podemos suponer que la pérdida por fricción en un flujo de poco a moderadamente no uniforme no es muy diferente de lo que sería en el flujo uniforme, y ya lo hemos tratado satisfactoriamente en el Capítulo 4. ¿Recuerdas el coeficiente Chézy que introduje en ese entonces? De acuerdo con la Ecuación 4.6.3, repetida aquí como Ecuación\ ref {5.24},

\[U=C(y \sin \alpha)^{1 / 2} \label{5.24} \]

Suponiendo eso\(\tan \alpha \approx \sin \alpha\), que es una muy buena aproximación para los ángulos pequeños que aquí estamos tratando, y teniendo en cuenta que la pendiente\(\tan \alpha\) es justa\(S_{e}\), y resolviendo\(S_{e}\),

\[S_{e}=\frac{U^{2}}{C^{2} y} \label{5.25} \]

Esto se puede escribir un poco más útilmente deshaciéndose del uso de\(U\) la relación\(q = Uy\); recuerde que la descarga por unidad de ancho de canal\(q\) (que es constante a lo largo del canal) está relacionada con la velocidad media\(U\) por esta relación. Entonces se puede escribir la ecuación\ ref {5.25}

\[S_{e}=\frac{q^{2}}{C^{2} y^{3}} \label{5.26} \]

Ahora para alguna manipulación del lado derecho de la Ecuación\ ref {5.23}. El primer término a la derecha puede ser masajeado de la siguiente manera para ponerlo en una forma más útil. En lo que sigue, nuevamente hay que tener en cuenta que la descarga por unidad de ancho de canal\(q\) está relacionada con la velocidad media\(U\) y la profundidad de flujo\(y\) por la ecuación\(q = Uy\).

\(\begin{aligned} \frac{d}{d x}\left(\frac{U^{2}}{2 g}\right) &=\frac{d}{d x}\left(\frac{q^{2}}{2 g y^{2}}\right) \\ &=\frac{q^{2}}{2 g} \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{y^{2}}\right) \\ &=\frac{q^{2}}{2 g}\left(\frac{-2}{y^{3}}\right) \frac{d y}{d x} \end{aligned}\)

\[=-\frac{q^{2}}{g y^{3}} \frac{d y}{d x} \label{5.27} \]

Para mayor comodidad, hay que hacer una cosa más con este resultado. Volver a la Ecuación 5.4.9, que da la relación entre\(q\) y\(y\) que se mantiene cuando el flujo es crítico, y escribe la profundidad como\(y\) en lugar de\(d\) (solo una cuestión de notación, como se explicó anteriormente), y sustituya esa ecuación en la Ecuación\ ref {5.27}. Lo que obtienes es

\[\frac{d}{d x}\left(\frac{U^{2}}{2 g}\right)=-\frac{y c^{3}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} \label{5.28} \]

Con respecto al segundo término a la derecha en la Ecuación\ ref {5.23}, no tenemos que hacer nada más con él, porque solo representa la velocidad de cambio de la profundidad del flujo en la dirección aguas abajo.

El último término en la Ecuación\ ref {5.23} representa la pendiente del fondo del canal (recordemos que\(h_{\text{o}}\) se definió como la elevación del fondo del canal), y debido a que en el reino de los flujos de canal la pendiente descendente se define arbitrariamente como positiva que el último término solo puede escribirse\(-S_{\text{o}}\), donde \(-S_{\text{o}}\)es la pendiente del fondo del canal. \(-S_{\text{o}}\)se puede escribir en una forma que verá es útil: piense en el hipotético flujo uniforme que podría pasar por la pendiente inferior dada (que, recuerde, en realidad tiene un flujo no uniforme a alguna profundidad diferente que pasa sobre él). La profundidad de este hipotético flujo uniforme sobre cualquier pendiente inferior dada se llama profundidad normal,\(y_{n}\). Al igual que con\(S_{e}\), puedes expresar\(-S_{\text{o}}\) en términos de la ecuación de Chézy usando esta profundidad normal\(y_{n}\):

\[S_{\mathrm{o}}=\frac{q^{2}}{C^{2} y_{n}^{3}} \label{5.29} \]

Así que ahora, tras la sustitución de todas estas formas reelaboradas de los diversos términos en la Ecuación\ ref {5.23}, y luego llevando los términos con\(dy/dx\) a la izquierda y los otros dos a la derecha, la ecuación dice lo siguiente:

\[\frac{d y}{d x}\left(1-\frac{y_c^{3}}{y^{3}}\right)=\frac{q^{2}}{C^{2} y_{n}^{3}}-\frac{q^{2}}{C^{2} y^{3}} \label{5.30} \]

Reescribir el segundo término a la derecha en el formulario

\(\frac{q^{2}}{C^{2}\left(\frac{y^{3}}{y_{n}^{3}}\right) y_{n}^{3}}\)

y aplicar a este término la expresión para\(S_{\text{o}}\) dada en la Ecuación\ ref {5.29} para obtener

\(S_{\text{o}}\left(\frac{y_{n}^{3}}{y^{3}}\right)\)

y sustituya ese resultado en Ecuación\ ref {5.30}, reemplazando el último término por\(S_{\text{o}}\) también. Por último, resuelve\(dy/dx\) para conseguir la gran final:

\[\frac{d y}{d x}=S_{o} \frac{1-\left(\frac{y_{n}}{y}\right)^{3}}{1-\left(\frac{y_{c}}{y}\right)^{3}} \label{5.31} \]

Para que vuelvas al suelo después de ese tortuoso (¿también tortuoso?) ejercicio de manipulación (ver Figura\(\PageIndex{1}\) para un resumen “hoja de ruta”), lo que hace la Ecuación\ ref {5.31} es dar, para un flujo que está cambiando lentamente su profundidad en la dirección aguas abajo, la tasa de cambio de profundidad con la distancia aguas abajo, en función de

1. El talud inferior\(S_{\text{o}}\)
2. La profundidad crítica\(y_{c}\) asociada con la descarga dada (es decir, la profundidad de flujo que vería si un flujo con esa descarga por unidad de ancho estuviera en forma de flujo crítico, que no lo es), y
3. La profundidad normal\(y_{n}\) asociada con la descarga dada (es decir, la profundidad de flujo que verías si un flujo con esa pendiente inferior y esa descarga por unidad de ancho fueran uniformes, lo cual no lo es).

Lo único que se interpone en el camino de la perfección es la suposición que hicimos de que la pérdida por fricción en el flujo no uniforme a una profundidad y descarga dadas es la misma que se vería en el flujo uniforme correspondiente a la misma profundidad y descarga.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una “hoja de ruta” para ayudar a seguir el análisis de las curvas de remanso en el texto.

Las personas realizan integraciones numéricas de la Ecuación\ ref {5.31} para obtener perfiles aproximados pero razonables de la superficie del agua en flujos reales gradualmente variados. Pero lo que también se suele hacer es simplemente usar la Ecuación\ ref {5.31} como guía cualitativa de la forma del perfil que se espera. Haremos un poco de eso aquí, para que finalmente podamos abordar el problema de cómo se ve la superficie del agua a medida que el río corre hacia el profundo embalse, y ese es solo uno de los muchos problemas importantes que pueden ser atacados por este enfoque.

Lo que hay que pensar es el signo de\(dy/dx\) en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {5.31}, porque si\(dy/dx\) es positivo entonces la profundidad del flujo aumenta aguas abajo, y si\(dy/dx\) es negativa entonces la profundidad del flujo disminuye aguas abajo— y esta es solo la información que necesitamos para hacer un seguimiento de lo que hace la superficie del agua en relación con el fondo del canal.

La derivada\(dy/dx\) es positiva (es decir, que la profundidad aumenta aguas abajo) si en la Ecuación\ ref {5.31} tanto el numerador como el denominador son positivos o si tanto el numerador como el denominador son negativos. Por el contrario,\(dy/dx\) es negativo, y la profundidad disminuye aguas abajo, si el numerador y el denominador tienen signo diferente.

Otra cosa que podemos hacer es pensar en las condiciones bajo las cuales

1. \(dy/dx\)se convierte en cero, lo que significa que el flujo se acerca a la condición uniforme, o
2. \(dy/dx\)se acerca al infinito, lo que significa que la superficie del agua se vuelve cada vez más empinada (¡obviamente, algo tiene que suceder antes de que llegue a ser vertical!) , o
3. \(dy/dx\)se vuelve igual a\(S_{\text{o}}\), lo que significa que la superficie del agua se acerca a la horizontalidad

Supongamos que nuestro flujo fluvial es subcrítico, como suele ser el caso de los ríos grandes, lo que significa que la profundidad es mayor que crítica y la velocidad es menor que crítica. Esto lo podemos expresar por la condición\(y > y_{c}\). Entonces el denominador en la fracción en el lado derecho de la Ecuación\ ref {5.31}, que en lo siguiente voy a llamar\(F\), siempre es menor que uno. Con respecto al numerador, ya sabes que cualquiera que sea la forma real del perfil de la superficie del agua, la profundidad en última instancia debe aumentar cuando se alcanza el embalse,\(y > y_{n}\) así también. También, porque dijimos que el río que se aproxima es subcrítico, ya lo sabes\(y_{n} > y_{c}\). Puedes convencerte fácilmente de que estas tres desigualdades garantizan que la fracción\(F\) debe ser positiva y menor de una, así\(dy/dx\) es positiva y menor que\(S_{\text{o}}\), lo que significa que la profundidad aumenta gradualmente aguas abajo.

A medida que\(y\) se hace cada vez más grande en el proceso, tanto el numerador como el denominador de\(F\) ir a uno, es decir\(S_{\text{o}}\), eso\(dy/dx\) va a, que si lo piensas un poco es lo mismo que decir que la propia superficie del agua se vuelve horizontal. Por lo que nuestra conclusión es que el perfil de la superficie del agua es como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) A: es asintótico al perfil de flujo uniforme aguas arriba, y a la superficie horizontal del agua del embalse aguas abajo. Este tipo de curva se llama curva de remanso, por razones supongo que son obvias.

Para llevar este análisis un poco más allá, ¿cuál es el efecto de suponer que el río río arriba fluye en condiciones más cercanas a ser crítico? Se puede ver por inspección de la fracción\(F\) que como\(y_{n} \rightarrow y_{c}\), en\(F\) sí misma se mantiene cada vez más cerca de uno para\(y > y_{n}\), lo que significa que la transición desde el flujo casi uniforme aguas arriba al nivel del reservorio horizontal aguas abajo es cada vez más aguda y más aguda (es decir, se lleva a cabo sobre un distancia más corta y más corta), hasta que, para el flujo crítico aguas arriba, el río se encuentra con el embalse en un ángulo agudo (Figura\(\PageIndex{2}\) B)!

Figura\(\PageIndex{2}\): Perfiles cualitativos de la superficie del agua cuando un río en A) flujo subcrítico y B) flujo supercrítico ingresa a un lago o embalse.

Para grandes ríos que fluyen muy por debajo de la condición crítica, el efecto remanso se siente no solo por kilómetros sino por decenas de kilómetros aguas arriba, y el peralte de la superficie real del agua por encima del hipotético punto de intersección entre el flujo uniforme y el nivel del reservorio puede ser de muchos metros. Se puede imaginar la importancia de poder predecir la magnitud de este peralte en todos los puntos aguas arriba, cuando se está preocupando de cuántas casas y granjas y negocios va a estar inundando cuando construya esa presa.

Acabo de rayar la superficie del negocio de analizar los efectos de remanso. Hay muchos tipos cualitativamente diferentes de curvas de remanso, dependiendo de si el flujo que se aproxima es subcrítico, crítico o supercrítico, y de si

1. \(y > y_{n}\)y\(y > y_{c}\),
2. \(y\)está entre\(y_{n}\) y\(y_{c}\), o
3. \(y<y_{n}\)y\(y<y_{c}\).