6.2: La naturaleza de las olas

Introducción

En un sentido muy fundamental, las ondas que aquí nos interesan pueden verse como una manifestación de un flujo inestable de superficie libre sometido a fuerzas gravitacionales. Es decir, cualquier flujo inestable con una superficie libre deformable puede considerarse como una especie de onda.

No dejes que te moleste que las olas de agua reales impliquen cambios en la geometría de la superficie del agua incluso cuando sigas junto con las olas. Sabes por Física I que una función de la forma\(y = f (x - ct)\) representa una ola que viaja con velocidad\(c\) en la\(x\) dirección positiva y la forma de la ola no cambia si solo viajas junto con la ola. Y\(c\) podría ser una función de\(t\), es decir, que la velocidad de la ola cambia en todas partes con el tiempo pero la forma del tren de olas sigue siendo la misma. Pero ahora suponga que dio un paso adicional: dejar\(c\) ser una función de\(x\) más que\(t\). Entonces la forma de la ola cambia a medida que se mueve: no hay velocidad a la que puedas viajar, junto con la ola, para mantener la forma de onda con el mismo aspecto. La mejor manera de pensar sobre esta situación es que cada punto de la onda (se podría llamar a tales puntos ondículas) tiene su propia velocidad, de manera que, a medida que todos ellos se mueven, la forma general de la onda cambia con el tiempo.

En cuanto a las fuerzas involucradas en el movimiento de las olas, los movimientos del agua en el interior y la geometría de la superficie libre son resultado de la interacción entre las fuerzas de presión y las fuerzas de gravedad. Aunque puede o no ayudarte, una forma de pensar sobre las olas es considerar que la gravedad trata de igualar alguna no planaridad inicial de la superficie del agua, y al hacerlo produce un flujo inestable generalmente complejo en el que la geometría de la superficie del agua cambia en función del tiempo, pero la característica amplitud de la perturbación de la superficie del agua no tiene manera de disminuir a menos que las fuerzas viscosas actúen también.

Las ondas reales sí disminuyen en amplitud, por supuesto, debido a la ligera cizalladura y por lo tanto a la fricción viscosa en el interior del agua. Pero a menos que las olas produzcan movimientos de agua en la parte inferior, la tasa de disipación viscosa del movimiento de las olas es muy leve. Matemáticamente, esto significa que el término viscoso en la ecuación del movimiento puede ser ignorado. Solo cuando se desarrolla un límite oscilatorio en la parte inferior es sustancial la disipación viscosa.

Las ecuaciones del movimiento

La ecuación de movimiento que describe las ondas de agua es solo la ecuación de Navier—Stokes sin el término viscoso pero que incluye un término para gravedad. Resulta que esta ecuación para el flujo inviscido afectado por la gravedad se puede poner en forma de una ecuación de onda, por lo que matemáticamente la existencia de ondas no debería sorprenderte.

Si nunca antes habías engañado con olas, tu inclinación natural al leer el párrafo anterior probablemente sería tratar de resolver las ecuaciones para dar cuenta del comportamiento observado de las olas de agua. Y la gente viene haciendo esto desde mediados del siglo XIX. Pero hay dos serios impedimentos para soluciones simples:

1. La ecuación es no lineal, por la presencia del término de aceleración convectiva, que como se sabe del Capítulo 3 involucra productos de velocidades y derivadas espaciales de velocidades.
2. Un problema aún más grave es que una de las condiciones límite, la geometría de la superficie libre, ¡es en sí misma una de las incógnitas del problema!

Por lo que lamentablemente es cierto que no hay una solución general al problema. Por lo tanto, la gente ha tratado de hacer diversos supuestos simplificadores que permitan cierto progreso matemático en ciertos rangos de condiciones para las olas de agua. Mucho esfuerzo matemático se ha dedicado a desarrollar estos enfoques parciales y establecer sus límites de validez aproximada.

Clasificación de las Olas de Agua

Es notoriamente difícil desarrollar una clasificación racional de las olas de agua, básicamente por la complejidad matemática mencionada anteriormente. Una forma de clasificar las olas de agua que ya mencioné: ¿el agua se mueve con las olas (ondas traslorias), o el agua simplemente oscila a medida que pasa la ola, para volver a su posición original después de que la ola haya pasado (ondas oscilatorias)? Pero también mencioné un enfoque más fundamental: las ondas para las que se pueden descuidar los términos de inercia convectiva se llaman ondas lineales, y aquellas para las que los términos de inercia convectiva están al menos en parte incluidos en el análisis se denominan ondas no lineales.

Otro enfoque fundamental para la clasificación se basa en las magnitudes relativas de las tres escalas de longitud importantes en el problema: altura de ola\(H\)\(L\), longitud de onda y profundidad del agua\(d\). De estos tres se pueden hacer tres proporciones características:\(H/L\),\(H/d\), y\(L/d\). En aguas profundas,\(H/d\) y ambos\(L/d\) son pequeños, y el parámetro más importante es\(H/L\), llamado la inclinación de las olas. En aguas poco profundas, por otro lado,\(H/d\) ni\(L/d\) es probable que sea pequeño, y es probable que el parámetro más importante sea\(H/d\), llamado la altura relativa. En un rango intermedio de profundidades de agua, la situación es más complicada.